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1 [2024 河北]节能环保已成为人们的共识. 淇淇家计划购买 500 kW·h 电,若平均每天用电x kW·h,则能使用y天.下列说法错误的是 (
A.若$x=5$,则$y=100$
B.若$y=125$,则$x=4$
C.若$x$减小,则$y$也减小
D.若$x$减小一半,则$y$增大一倍
C
)A.若$x=5$,则$y=100$
B.若$y=125$,则$x=4$
C.若$x$减小,则$y$也减小
D.若$x$减小一半,则$y$增大一倍
答案
1. C
解析
【分析】
这是反比例函数在实际生活中的应用类题目，解题思路如下：第一步先根据“总用电量=平均每天用电量×可使用天数”的等量关系，推导得到x与y的函数关系式，确定y是x的反比例函数；第二步结合反比例函数的性质，逐一验证四个选项的说法是否正确，最终选出错误的选项即可。
【解析】
根据题意，总用电量为500kW·h，因此可得等量关系：$xy=500$，即$y=\frac{500}{x}(x＞0)$，y是x的反比例函数，且比例系数$k=500＞0$。
选项A：当$x=5$时，代入函数式得$y=\frac{500}{5}=100$，说法正确，不符合题意；
选项B：当$y=125$时，代入函数式得$x=\frac{500}{125}=4$，说法正确，不符合题意；
选项C：对于反比例函数$y=\frac{500}{x}(x＞0)$，$k＞0$，因此y随x的减小而增大，不是减小，说法错误，符合题意；
选项D：若x减小一半，即变为$\frac{x}{2}$，则新的使用天数$y'=\frac{500}{\frac{x}{2}}=\frac{1000}{x}=2y$，即y增大一倍，说法正确，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的实际应用，反比例函数的性质
【点评】
本题结合生活热点背景考查反比例函数的基础应用，解题核心是先根据题意建立正确的反比例函数模型，再结合函数性质逐一判断选项，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
这是反比例函数在实际生活中的应用类题目，解题思路如下：第一步先根据“总用电量=平均每天用电量×可使用天数”的等量关系，推导得到x与y的函数关系式，确定y是x的反比例函数；第二步结合反比例函数的性质，逐一验证四个选项的说法是否正确，最终选出错误的选项即可。
【解析】
根据题意，总用电量为500kW·h，因此可得等量关系：$xy=500$，即$y=\frac{500}{x}(x＞0)$，y是x的反比例函数，且比例系数$k=500＞0$。
选项A：当$x=5$时，代入函数式得$y=\frac{500}{5}=100$，说法正确，不符合题意；
选项B：当$y=125$时，代入函数式得$x=\frac{500}{125}=4$，说法正确，不符合题意；
选项C：对于反比例函数$y=\frac{500}{x}(x＞0)$，$k＞0$，因此y随x的减小而增大，不是减小，说法错误，符合题意；
选项D：若x减小一半，即变为$\frac{x}{2}$，则新的使用天数$y'=\frac{500}{\frac{x}{2}}=\frac{1000}{x}=2y$，即y增大一倍，说法正确，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的实际应用，反比例函数的性质
【点评】
本题结合生活热点背景考查反比例函数的基础应用，解题核心是先根据题意建立正确的反比例函数模型，再结合函数性质逐一判断选项，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
2 为了建设生态文明，某工厂自去年1月开始限产，进行治污改造，其月利润y(万元)与月份x之间的关系如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列结论错误的是（
A.4月的利润为50万元
B.治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C.治污改造完成前、后共有4个月的利润低于100万元
D.9月该工厂的利润达到200万元
C
）A.4月的利润为50万元
B.治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C.治污改造完成前、后共有4个月的利润低于100万元
D.9月该工厂的利润达到200万元
答案
2. C
解析
【分析】
本题是分段函数的实际应用问题，分为两段求解：①1~4月为反比例函数，先利用已知点(1,200)求出反比例函数解析式，可计算4月利润，验证A选项；②4月后为一次函数，利用(4,4月利润)和(6,110)求出一次函数解析式，根据斜率可判断每月利润增长量，验证B选项；再分别在两段函数中求解利润低于100万元对应的月份范围，统计月份数验证C选项；代入x=9计算利润验证D选项，最终选出错误结论。
【解析】
1. 求治污改造前（$1≤ x≤4$）的反比例函数解析式：
设反比例函数为$ y=\frac{k}{x} $，将点$(1,200)$代入得$ 200=\frac{k}{1} $，解得$ k=200 $，即$ y=\frac{200}{x}(1≤ x≤4) $。
当$x=4$时，$ y=\frac{200}{4}=50 $，即4月利润为50万元，A选项正确，不符合题意。
2. 求治污改造后（$x≥4$）的一次函数解析式：
设一次函数为$ y=ax+b $，将点$(4,50)$、$(6,110)$代入得：
$\begin{cases}4a+b=50 \\6a+b=110\end{cases}$
两式相减得$ 2a=60 $，解得$ a=30 $，代入得$ b=-70 $，即一次函数为$ y=30x-70(x≥4) $。
一次函数斜率为30，即每月利润比前一个月增加30万元，B选项正确，不符合题意。
3. 统计利润低于100万元的月份：
① 反比例段$ y＜100 $，即$ \frac{200}{x}＜100 $，解得$ x＞2 $，结合$1≤ x≤4$且$x$为正整数，得$x=3、4$，共2个月；
② 一次段$ y＜100 $，即$ 30x-70＜100 $，解得$ x＜\frac{17}{3}\approx5.67 $，结合$x≥4$且$x$为正整数，得$x=5$，共1个月；
合计共3个月利润低于100万元，C选项错误，符合题意。
4. 验证D选项：当$x=9$时，$ y=30×9-70=200 $，即9月利润达到200万元，D选项正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数应用；一次函数应用；分段函数求值
【点评】
本题结合治污改造的实际场景，考查分段函数的解析式求解与性质应用，需要分别对两段函数分析计算，再逐一验证选项，解题时要注意自变量的取值范围和实际意义。
【难度系数】
0.7
本题是分段函数的实际应用问题，分为两段求解：①1~4月为反比例函数，先利用已知点(1,200)求出反比例函数解析式，可计算4月利润，验证A选项；②4月后为一次函数，利用(4,4月利润)和(6,110)求出一次函数解析式，根据斜率可判断每月利润增长量，验证B选项；再分别在两段函数中求解利润低于100万元对应的月份范围，统计月份数验证C选项；代入x=9计算利润验证D选项，最终选出错误结论。
【解析】
1. 求治污改造前（$1≤ x≤4$）的反比例函数解析式：
设反比例函数为$ y=\frac{k}{x} $，将点$(1,200)$代入得$ 200=\frac{k}{1} $，解得$ k=200 $，即$ y=\frac{200}{x}(1≤ x≤4) $。
当$x=4$时，$ y=\frac{200}{4}=50 $，即4月利润为50万元，A选项正确，不符合题意。
2. 求治污改造后（$x≥4$）的一次函数解析式：
设一次函数为$ y=ax+b $，将点$(4,50)$、$(6,110)$代入得：
$\begin{cases}4a+b=50 \\6a+b=110\end{cases}$
两式相减得$ 2a=60 $，解得$ a=30 $，代入得$ b=-70 $，即一次函数为$ y=30x-70(x≥4) $。
一次函数斜率为30，即每月利润比前一个月增加30万元，B选项正确，不符合题意。
3. 统计利润低于100万元的月份：
① 反比例段$ y＜100 $，即$ \frac{200}{x}＜100 $，解得$ x＞2 $，结合$1≤ x≤4$且$x$为正整数，得$x=3、4$，共2个月；
② 一次段$ y＜100 $，即$ 30x-70＜100 $，解得$ x＜\frac{17}{3}\approx5.67 $，结合$x≥4$且$x$为正整数，得$x=5$，共1个月；
合计共3个月利润低于100万元，C选项错误，符合题意。
4. 验证D选项：当$x=9$时，$ y=30×9-70=200 $，即9月利润达到200万元，D选项正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数应用；一次函数应用；分段函数求值
【点评】
本题结合治污改造的实际场景，考查分段函数的解析式求解与性质应用，需要分别对两段函数分析计算，再逐一验证选项，解题时要注意自变量的取值范围和实际意义。
【难度系数】
0.7
3 把一块棱长为40 cm的正方体钢锭锻造成横截面面积为S cm²、长为h cm的钢筋，则S关于h的函数表达式为
$S=\frac{64000}{h}$
。答案
3. $S=\frac{64000}{h}$
解析
【分析】
解题核心是抓住锻造前后钢锭的体积不变这一关键规律。首先计算原正方体钢锭的体积，再根据锻造后钢筋（柱体）的体积公式“体积=横截面积×长度”建立等量关系，最后将等式变形为S关于h的表达式即可，同时要注意长度h的实际取值需为正数。
【解析】
第一步：计算正方体钢锭的体积
根据正方体体积公式$V=a^3$（$a$为正方体棱长），已知棱长$a=40\mathrm{cm}$，可得：
$V=40^3=40×40×40=64000\mathrm{cm}^3$
第二步：根据等积关系列等式
锻造前后体积不变，钢筋为柱体，柱体体积公式为$V=S· h$，因此有：
$S· h=64000$
第三步：变形得到函数表达式
将等式两边同时除以h（$h＞0$），可得$S=\frac{64000}{h}$。
【答案】
$S=\frac{64000}{h}$
【知识点】
反比例函数的应用；等积变形；柱体体积计算
【点评】
本题是反比例函数实际应用的基础题型，重点考查对“等积变换”规律的理解，结合体积公式建立等量关系即可顺利求解，解题时要注意结合实际场景明确自变量的取值限制。
【难度系数】
0.8
解题核心是抓住锻造前后钢锭的体积不变这一关键规律。首先计算原正方体钢锭的体积，再根据锻造后钢筋（柱体）的体积公式“体积=横截面积×长度”建立等量关系，最后将等式变形为S关于h的表达式即可，同时要注意长度h的实际取值需为正数。
【解析】
第一步：计算正方体钢锭的体积
根据正方体体积公式$V=a^3$（$a$为正方体棱长），已知棱长$a=40\mathrm{cm}$，可得：
$V=40^3=40×40×40=64000\mathrm{cm}^3$
第二步：根据等积关系列等式
锻造前后体积不变，钢筋为柱体，柱体体积公式为$V=S· h$，因此有：
$S· h=64000$
第三步：变形得到函数表达式
将等式两边同时除以h（$h＞0$），可得$S=\frac{64000}{h}$。
【答案】
$S=\frac{64000}{h}$
【知识点】
反比例函数的应用；等积变形；柱体体积计算
【点评】
本题是反比例函数实际应用的基础题型，重点考查对“等积变换”规律的理解，结合体积公式建立等量关系即可顺利求解，解题时要注意结合实际场景明确自变量的取值限制。
【难度系数】
0.8
4 张叔叔驾驶小汽车匀速地从 A 地行驶到 B 地，行驶路程为 480 km.设小汽车的行驶时间为 t h，行驶速度为 v km/h，且全程速度限定为不超过 120 km/h.
(1) v 关于 t 的函数表达式为
(2) 张叔叔 8:00 驾驶小汽车从 A 地出发.
① 若张叔叔需在当天 12:48 至 14:00 间(含 12:48 和 14:00)到达 B 地，求 v 的取值范围；
② 张叔叔
(1) v 关于 t 的函数表达式为
$v=\frac{480}{t}(t≥4)$
（写出自变量 t 的取值范围）.(2) 张叔叔 8:00 驾驶小汽车从 A 地出发.
① 若张叔叔需在当天 12:48 至 14:00 间(含 12:48 和 14:00)到达 B 地，求 v 的取值范围；
② 张叔叔
不能
（填“能”或“不能”）在当天 11:30 前到达 B 地.答案
4. (1) $v=\frac{480}{t}(t≥4)$
(2) ① $\because$ 8:00 至 12:48 的时长为 4.8 h,8:00至14:00的时长为6 h,$\therefore 4.8≤ t≤6$.将$t=6$代入$v=\frac{480}{t}$,得$v=80$;将$t=4.8$代入$v=\frac{480}{t}$,得$v=100$. $\therefore v$ 的取值范围是 $80≤ v≤100$
② 不能
【解析】$\because$ 8:00 至 11:30 的时长为 3.5 h,$\therefore$ 若张叔叔要在当天 11:30 前到达 B 地,则必须满足 $t＜3.5$,此时 $v＞\frac{960}{7}$. $\because v≤120$,$\therefore$ 会超过限定速度,$\therefore$ 张叔叔不能在当天 11:30 前到达 B 地.
(2) ① $\because$ 8:00 至 12:48 的时长为 4.8 h,8:00至14:00的时长为6 h,$\therefore 4.8≤ t≤6$.将$t=6$代入$v=\frac{480}{t}$,得$v=80$;将$t=4.8$代入$v=\frac{480}{t}$,得$v=100$. $\therefore v$ 的取值范围是 $80≤ v≤100$
② 不能
【解析】$\because$ 8:00 至 11:30 的时长为 3.5 h,$\therefore$ 若张叔叔要在当天 11:30 前到达 B 地,则必须满足 $t＜3.5$,此时 $v＞\frac{960}{7}$. $\because v≤120$,$\therefore$ 会超过限定速度,$\therefore$ 张叔叔不能在当天 11:30 前到达 B 地.
解析
【分析】
本题考查反比例函数在行程问题中的实际应用，解题思路如下：(1) 依据“路程=速度×时间”的等量关系推导v与t的函数表达式，再结合全程限速不超过120km/h的条件，计算出自变量t的最小取值，确定取值范围；(2) ① 先计算8:00到12:48、14:00对应的行驶时长，得到t的取值范围，再根据反比例函数k＞0时v随t的增大而减小的性质，代入端点值即可求出v的取值范围；② 先计算8:00到11:30的时长，求出对应需要的行驶速度，和限速120km/h对比，判断是否符合要求。
【解析】
(1) 由行程公式：路程=速度×时间，可得$vt=480$，变形得$v=\frac{480}{t}$。
已知全程速度不超过120km/h，即$v≤120$，代入得$\frac{480}{t}≤120$，解得$t≥4$。
因此v关于t的函数表达式为$v=\frac{480}{t}(t≥4)$。
(2) ① 先计算行驶时长：8:00至12:48的时长为$4+\frac{48}{60}=4.8$h，8:00至14:00的时长为$14-8=6$h，因此行驶时间t的范围为$4.8≤t≤6$。
因为$v=\frac{480}{t}$中$k=480＞0$，在$t＞0$时v随t的增大而减小：
当$t=6$时，$v=\frac{480}{6}=80$；当$t=4.8$时，$v=\frac{480}{4.8}=100$。
因此v的取值范围是$80≤v≤100$。
② 8:00至11:30的时长为$3.5$h，若要在11:30前到达，则行驶时间$t＜3.5$，此时对应的速度$v＞\frac{480}{3.5}=\frac{960}{7}\approx137.14$km/h。
已知全程限速$v≤120$km/h，所需速度超过限速，因此张叔叔不能在当天11:30前到达B地。
【答案】
(1) $v=\frac{480}{t}(t≥4)$
(2) ① $80≤v≤100$；② 不能
【知识点】
反比例函数的实际应用，行程问题公式，函数自变量取值范围
【点评】
本题结合日常出行场景考查反比例函数的基础应用，解题核心是抓住路程不变的等量关系建立函数模型，结合限制条件和反比例函数的单调性求解对应量的范围，贴合生活实际，注重对基础知识和应用能力的考查。
【难度系数】
0.75
本题考查反比例函数在行程问题中的实际应用，解题思路如下：(1) 依据“路程=速度×时间”的等量关系推导v与t的函数表达式，再结合全程限速不超过120km/h的条件，计算出自变量t的最小取值，确定取值范围；(2) ① 先计算8:00到12:48、14:00对应的行驶时长，得到t的取值范围，再根据反比例函数k＞0时v随t的增大而减小的性质，代入端点值即可求出v的取值范围；② 先计算8:00到11:30的时长，求出对应需要的行驶速度，和限速120km/h对比，判断是否符合要求。
【解析】
(1) 由行程公式：路程=速度×时间，可得$vt=480$，变形得$v=\frac{480}{t}$。
已知全程速度不超过120km/h，即$v≤120$，代入得$\frac{480}{t}≤120$，解得$t≥4$。
因此v关于t的函数表达式为$v=\frac{480}{t}(t≥4)$。
(2) ① 先计算行驶时长：8:00至12:48的时长为$4+\frac{48}{60}=4.8$h，8:00至14:00的时长为$14-8=6$h，因此行驶时间t的范围为$4.8≤t≤6$。
因为$v=\frac{480}{t}$中$k=480＞0$，在$t＞0$时v随t的增大而减小：
当$t=6$时，$v=\frac{480}{6}=80$；当$t=4.8$时，$v=\frac{480}{4.8}=100$。
因此v的取值范围是$80≤v≤100$。
② 8:00至11:30的时长为$3.5$h，若要在11:30前到达，则行驶时间$t＜3.5$，此时对应的速度$v＞\frac{480}{3.5}=\frac{960}{7}\approx137.14$km/h。
已知全程限速$v≤120$km/h，所需速度超过限速，因此张叔叔不能在当天11:30前到达B地。
【答案】
(1) $v=\frac{480}{t}(t≥4)$
(2) ① $80≤v≤100$；② 不能
【知识点】
反比例函数的实际应用，行程问题公式，函数自变量取值范围
【点评】
本题结合日常出行场景考查反比例函数的基础应用，解题核心是抓住路程不变的等量关系建立函数模型，结合限制条件和反比例函数的单调性求解对应量的范围，贴合生活实际，注重对基础知识和应用能力的考查。
【难度系数】
0.75
5 如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点（抓拍点）之间的路段（测速区间）上平均速度的方法.小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度$v(\mathrm{km/h})$与行驶时间$t(\mathrm{h})$是反比例关系（如图②）.已知高速公路上行驶的小型载客汽车
最高车速不得超过120 km/h，最低车速不得低于60 km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是 （
A.10 min
B.11 min
C.15 min
D.25 min
最高车速不得超过120 km/h，最低车速不得低于60 km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是 （
C
）A.10 min
B.11 min
C.15 min
D.25 min
答案
5. C
【解析】由题图②,得限速区间 AB 段的总路程为 $80×0.3=24(\mathrm{km}).\because$ 最高车速为 120 km/h,$\therefore$ 在最高车速 120 km/h 下的行驶时间为 $\frac{24}{120}=0.2(\mathrm{h})$.同理,可得在最低车速 60 km/h 下的行驶时间为 $\frac{24}{60}=0.4(\mathrm{h}).\therefore$ 通过 AB 段限速区间的行驶时间应该在 12～24 min之间,$\therefore$ C 选项符合题意.
【解析】由题图②,得限速区间 AB 段的总路程为 $80×0.3=24(\mathrm{km}).\because$ 最高车速为 120 km/h,$\therefore$ 在最高车速 120 km/h 下的行驶时间为 $\frac{24}{120}=0.2(\mathrm{h})$.同理,可得在最低车速 60 km/h 下的行驶时间为 $\frac{24}{60}=0.4(\mathrm{h}).\therefore$ 通过 AB 段限速区间的行驶时间应该在 12～24 min之间,$\therefore$ C 选项符合题意.
解析
【分析】
本题考查反比例函数在行程问题中的实际应用，解题思路可分为三步：首先，由v与t成反比例关系可知路程s=vt为定值，结合图②给出的一组v、t对应值可求出测速区间AB的总路程；其次，根据题目给出的最高、最低限速，利用“时间=路程÷速度”分别算出最短行驶时间和最长行驶时间，得到允许的行驶时间范围；最后对比四个选项，选出在时间范围内的结果即可。
【解析】
1. 求AB段总路程：由图②可知，当$t=0.3\mathrm{h}$时，$v=80\mathrm{km/h}$，因v与t成反比例，故总路程$s=vt=80×0.3=24\mathrm{km}$。
2. 计算行驶时间的范围：已知车速范围为$60\mathrm{km/h}≤ v≤120\mathrm{km/h}$，根据$t=\frac{s}{v}$：
车速最高为120km/h时，行驶时间最短：$t_{\mathrm{最短}}=\frac{24}{120}=0.2\mathrm{h}=12\mathrm{min}$；
车速最低为60km/h时，行驶时间最长：$t_{\mathrm{最长}}=\frac{24}{60}=0.4\mathrm{h}=24\mathrm{min}$；
因此通过AB段的时间需满足$12\mathrm{min}≤ t≤24\mathrm{min}$。
3. 匹配选项：四个选项中只有15min在12min~24min的范围内，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数实际应用，行程问题公式，取值范围判断
【点评】
本题以生活中常见的区间测速场景为载体，结合反比例函数知识考查行程问题的计算，解题关键是抓住反比例关系中路程不变的核心特点，结合限速条件推导时间的取值范围，贴近生活实际，能有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题考查反比例函数在行程问题中的实际应用，解题思路可分为三步：首先，由v与t成反比例关系可知路程s=vt为定值，结合图②给出的一组v、t对应值可求出测速区间AB的总路程；其次，根据题目给出的最高、最低限速，利用“时间=路程÷速度”分别算出最短行驶时间和最长行驶时间，得到允许的行驶时间范围；最后对比四个选项，选出在时间范围内的结果即可。
【解析】
1. 求AB段总路程：由图②可知，当$t=0.3\mathrm{h}$时，$v=80\mathrm{km/h}$，因v与t成反比例，故总路程$s=vt=80×0.3=24\mathrm{km}$。
2. 计算行驶时间的范围：已知车速范围为$60\mathrm{km/h}≤ v≤120\mathrm{km/h}$，根据$t=\frac{s}{v}$：
车速最高为120km/h时，行驶时间最短：$t_{\mathrm{最短}}=\frac{24}{120}=0.2\mathrm{h}=12\mathrm{min}$；
车速最低为60km/h时，行驶时间最长：$t_{\mathrm{最长}}=\frac{24}{60}=0.4\mathrm{h}=24\mathrm{min}$；
因此通过AB段的时间需满足$12\mathrm{min}≤ t≤24\mathrm{min}$。
3. 匹配选项：四个选项中只有15min在12min~24min的范围内，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数实际应用，行程问题公式，取值范围判断
【点评】
本题以生活中常见的区间测速场景为载体，结合反比例函数知识考查行程问题的计算，解题关键是抓住反比例关系中路程不变的核心特点，结合限速条件推导时间的取值范围，贴近生活实际，能有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
