6 已知一艘轮船上装有100 t货物，轮船到达目的地后开始卸货.设平均卸货速度为v t/h，卸完这批货物所需的时间为t h.
（1）v关于t的函数表达式为；
（2）若要求不超过5 h卸完该轮船上的这批货物，则平均每小时至少要卸货t.

6. (1) $v=\frac{100}{t}$
(2) 20
【解析】$\because$ 要求不超过 5 h 卸完该轮船上的这批货物,$\therefore t≤5$.由 $v=\frac{100}{t}$,得 $t=\frac{100}{v}$,$\therefore \frac{100}{v}≤5$. 又$\because v＞0$,$\therefore 5v≥100$,即$v≥20$,$\therefore$ 平均每小时至少要卸货 20 t.

【分析】
本题解题核心是抓住“卸货总量=平均卸货速度×卸货时间”这一不变的等量关系。第(1)问直接根据该等量关系变形，即可得到v关于t的函数表达式，注意卸货时间t为正数；第(2)问先将“不超过5h卸完”转化为不等式$t≤5$，再将第一问的函数式变形后代入不等式，结合卸货速度v为正数的隐含条件解不等式，就能得到v的最小值。
【解析】
(1) 已知货物总质量为100t，根据卸货总量的计算公式可得：$vt=100$，变形后得到$v=\frac{100}{t}$（$t＞0$）。
(2) 由卸货时间不超过5h，可得$t≤5$。
将$v=\frac{100}{t}$变形为$t=\frac{100}{v}$，代入不等式得：$\frac{100}{v}≤5$。
因为卸货速度$v＞0$，不等式两边同时乘v，不等号方向不变，可得$100≤5v$，
两边同时除以5，解得$v≥20$，即平均每小时至少要卸货20t。
【答案】
(1) $\boldsymbol{v=\frac{100}{t}}$；(2) $\boldsymbol{20}$
【知识点】
反比例函数实际应用、一元一次不等式求解
【点评】
本题结合生活中的卸货场景考查数学知识的应用，解题关键是找准总量不变的等量关系列出函数式，再将时间限制转化为不等关系求解，注重对基础知识和实际应用能力的考查。
【难度系数】
0.8

7 [2024 沭阳期末]制作一种产品,需先将材料加热达到$800°\mathrm{C}$(加热期间可以进行加工),然后停止加热,经过一段时间的冷却,材料温度降为$600°\mathrm{C}$.如图,加热时,温度$y(°\mathrm{C})$与时间$x(\mathrm{min})$成一次函数关系;停止加热后,温度$y(°\mathrm{C})$与时间$x(\mathrm{min})$成反比例关系.已知该材料的初始温度是$20°\mathrm{C}$.
(1) 求材料加热时和停止加热后$y$关于$x$的函数表达式;
(2) 根据工艺要求,当材料温度不低于$480°\mathrm{C}$时,可以对材料进行加工,那么加工的时间有多长?

7. (1) 停止加热后,设 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$,将$(8,600)$代入 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$,得 $600=\frac{k}{8}$,$\therefore k=4\ 800$,$\therefore$ 停止加热后 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式为$y=\frac{4\ 800}{x}$. 当 $y=800$ 时,$\frac{4\ 800}{x}=800$,解得 $x=6$,$\therefore$ 点 B 的坐标为$(6,800)$.加热时,设 $y=ax+b$,将$(0,20)$,$(6,800)$代入 $y=ax+b$,得$\begin{cases}6a+b=800,\\b=20,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=130,\\b=20,\end{cases}$ $\therefore$ 加热时 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y=130x+20$
(2) 在材料加热时,$y=130x+20$,当 $y=480$ 时,$130x+20=480$,解得 $x=\frac{46}{13}$. 材料停止加热时,$y=\frac{4\ 800}{x}$,当 $y=480$ 时,$\frac{4\ 800}{x}=480$,解得 $x=10$. $\because 10-\frac{46}{13}=\frac{84}{13}(\mathrm{min})$,$\therefore$ 加工的时间为$\frac{84}{13}\mathrm{min}$

【分析】
本题考查分段函数的实际应用，解题思路如下：
(1) 停止加热后温度与时间成反比例关系，已知冷却阶段的点$C(8,600)$，先用待定系数法求出反比例函数表达式；加热结束的点B温度为$800℃$，且点B在反比例函数图象上，代入即可求得点B的坐标，即加热停止的时间；加热阶段是一次函数，已知初始点$A(0,20)$和点B的坐标，再用待定系数法就能求出加热阶段的一次函数表达式。
(2) 工艺要求温度不低于$480℃$时可加工，因此分别在加热阶段的一次函数、冷却阶段的反比例函数中，令$y=480$，求出对应的两个x值，两个x的差值就是可加工的总时长。
【解析】
(1) 先求停止加热后的反比例函数表达式：
设停止加热后函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将点$C(8,600)$代入得：
$600=\frac{k}{8}$，解得$k=4800$，
因此停止加热后$y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{4800}{x}$。
加热结束时温度为$800℃$，即点B的纵坐标为800，将$y=800$代入反比例函数得：
$\frac{4800}{x}=800$，解得$x=6$，即点B的坐标为$(6,800)$。
再求加热阶段的一次函数表达式：
设加热时函数表达式为$y=ax+b(a≠0)$，已知初始温度为$20℃$，即函数过点$A(0,20)$，且过点$B(6,800)$，代入得：
$\begin{cases}6a+b=800\\b=20\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=130\\b=20\end{cases}$
因此加热时$y$关于$x$的函数表达式为$y=130x+20$（$0≤ x≤6$）。
(2) 求可加工的时间：
①加热阶段，令$y=480$，代入$y=130x+20$得：
$130x+20=480$，解得$x=\frac{46}{13}$，即加热$\frac{46}{13}\mathrm{min}$时温度首次达到$480℃$。
②冷却阶段，令$y=480$，代入$y=\frac{4800}{x}$得：
$\frac{4800}{x}=480$，解得$x=10$，即冷却到10min时温度降至$480℃$。
因此可加工的总时长为$10-\frac{46}{13}=\frac{84}{13}(\mathrm{min})$。
【答案】
(1) 加热时：$y=130x+20$（$0≤ x≤6$）；停止加热后：$y=\frac{4800}{x}$（$x≥6$）
(2) $\frac{84}{13}\mathrm{min}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，反比例函数的应用
【点评】
本题结合生产实际考查分段函数的应用，解题关键是明确不同温度变化阶段对应的函数类型，准确找到函数经过的定点代入求解，第二问需分别计算两个阶段温度为$480℃$对应的时间，再求差值即可得到可加工时长，整体考查对函数基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

8 [2024 沭阳期末]在一次煤矿安全事故的调查中发现:如图,从0 h起,井内空气中CO(一氧化碳)的浓度达到4 mg/L,此后浓度直线上升,在7 h时达到最高浓度46 mg/L,此时发生爆炸,爆炸后空气中CO的浓度下降,此时空气中CO的浓度y(mg/L)与时间x(h)成反比例.根据题中相关信息,回答下列问题:
(1) 求爆炸前、后空气中CO的浓度 y(mg/L)与时间 x(h)之间的函数表达式,并写出相应的自变量 x 的取值范围.
(2) 当空气中的 CO 浓度达到 34 mg/L 时,井下 3 km 处的矿工接到自动报警信号,这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生?
(3) 矿工只有在空气中 CO 的浓度降到 4 mg/L 及以下时,才能回到矿井开展生产救援工作,则矿工至少在爆炸后多长时间才能下井?

8. (1) 设爆炸前空气中 CO 的浓度 $y(\mathrm{mg/L})$ 与时间 $x(\mathrm{h})$ 之间的函数表达式为 $y=k_1x+b(k_1≠0)$. 由题图,可知直线 $y=k_1x+b$ 过点$(0,4),(7,46),\therefore \begin{cases}b=4,\\7k_1+b=46,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_1=6,\\b=4,\end{cases}$ $\therefore y=6x+4$. 此时自变量$x$ 的取值范围是 $0≤ x≤7$. $\because$ 爆炸后空气中 CO 的浓度下降,且空气中 CO 的浓度 $y(\mathrm{mg/L})$ 与时间 $x(\mathrm{h})$ 成反比例,$\therefore$ 可设 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$. 由题图,可知函数 $y=\frac{k_2}{x}$ 的图象过点$(7,46),\therefore \frac{k_2}{7}=46$,解得 $k_2=322$,$\therefore y=\frac{322}{x}$,此时自变量 $x$ 的取值范围是$x＞7$
(2) 在 $y=6x+4$ 中,令 $y=34$,得 $6x+4=34$,解得 $x=5$. $\therefore$ 撤离的最长时间为 $7-5=2(\mathrm{h})$,$\therefore$ 撤离的最慢速度为 $3÷2=1.5(\mathrm{km/h})$,即他们至少要以 1.5 km/h 的速度撤离才能在爆炸前逃生
(3) 在 $y=\frac{322}{x}$ 中,令 $y≤4$,解得 $x≥80.5$. $\because 80.5-7=73.5(\mathrm{h})$,$\therefore$ 矿工至少在爆炸后 73.5 h 才能下井

【分析】
(1) 爆炸前CO浓度呈直线上升，符合一次函数模型，已知函数图象过(0,4)和(7,46)两点，用待定系数法设解析式代入即可求解，自变量范围为爆炸前的时间段$0≤x≤7$；爆炸后浓度与时间成反比例，符合反比例函数模型，图象过(7,46)，代入反比例函数解析式求参数即可，自变量范围为爆炸后的时间段$x＞7$。
(2) 先将$y=34$代入爆炸前的一次函数解析式，求出接到报警的时间，再计算距离爆炸的剩余时长，用撤离路程除以剩余时长即可得到最低撤离速度。
(3) 将$y=4$代入爆炸后的反比例函数解析式，求出浓度降到4mg/L对应的总时间，减去爆炸发生的时间7h，就是爆炸后需要等待的最短时间。
【解析】
(1) ①爆炸前：设CO浓度$y$与时间$x$的函数表达式为$y=k_1x+b(k_1≠0)$，
将点$(0,4)$、$(7,46)$代入得：
$\begin{cases}b=4\\7k_1+b=46\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1=6\\b=4\end{cases}$，
因此爆炸前函数表达式为$y=6x+4$，自变量取值范围是$0≤x≤7$。
②爆炸后：设CO浓度$y$与时间$x$的函数表达式为$y=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$，
将点$(7,46)$代入得：$\frac{k_2}{7}=46$，解得$k_2=322$，
因此爆炸后函数表达式为$y=\frac{322}{x}$，自变量取值范围是$x＞7$。
(2) 将$y=34$代入$y=6x+4$得：
$6x+4=34$，解得$x=5$，
距离爆炸的剩余时间为$7-5=2(\mathrm{h})$，
最低撤离速度为$3÷2=1.5(\mathrm{km/h})$。
(3) 将$y=4$代入$y=\frac{322}{x}$得：
$\frac{322}{x}≤4$，解得$x≥80.5$，
爆炸后需要等待的时间为$80.5-7=73.5(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) 爆炸前：$\boldsymbol{y=6x+4(0≤x≤7)}$；爆炸后：$\boldsymbol{y=\frac{322}{x}(x＞7)}$
(2) 至少要以$\boldsymbol{1.5\ \mathrm{km/h}}$的速度撤离
(3) 至少在爆炸后$\boldsymbol{73.5\ \mathrm{h}}$才能下井
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，反比例函数的应用
【点评】
本题结合实际安全场景考查分段函数的应用，需要根据不同阶段的变化特征选择对应函数模型求解，解题时要注意结合实际意义判断所求量的范围，易错点为第三问所求为爆炸后的等待时长，需减去爆炸发生的时间点。
【难度系数】
0.7