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1 已知P是$\odot O$内一点，过点P的最长弦的长为10 cm，最短弦的长为6 cm，则OP的长为（
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
B
）A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先明确圆内过任意一点的最长弦是圆的直径，由此可先求出圆的半径；其次圆内过该点的最短弦是与过该点的直径互相垂直的弦，此时可结合垂径定理求出最短弦的一半长度，最后在直角三角形中利用勾股定理即可求出OP的长度。
【解析】
解：
∵过⊙O内点P的最长弦为直径，且最长弦长为10 cm
∴⊙O的直径为10 cm，半径OA = 10÷2 = 5 cm
∵过点P的最短弦是与过P的直径垂直的弦，最短弦长为6 cm，设该弦为AB，OP⊥AB于点P
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得：
AP = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×6 = 3 cm
在Rt△OPA中，由勾股定理得：
OP = $\sqrt{OA^2 - AP^2}$ = $\sqrt{5^2 - 3^2}$ = $\sqrt{25 - 9}$ = $\sqrt{16}$ = 4 cm
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆的有关概念；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题核心是掌握圆内过定点的最长弦、最短弦的特征，结合垂径定理构造直角三角形求解，属于常考基础题型，牢记相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确圆内过任意一点的最长弦是圆的直径，由此可先求出圆的半径；其次圆内过该点的最短弦是与过该点的直径互相垂直的弦，此时可结合垂径定理求出最短弦的一半长度，最后在直角三角形中利用勾股定理即可求出OP的长度。
【解析】
解：
∵过⊙O内点P的最长弦为直径，且最长弦长为10 cm
∴⊙O的直径为10 cm，半径OA = 10÷2 = 5 cm
∵过点P的最短弦是与过P的直径垂直的弦，最短弦长为6 cm，设该弦为AB，OP⊥AB于点P
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得：
AP = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×6 = 3 cm
在Rt△OPA中，由勾股定理得：
OP = $\sqrt{OA^2 - AP^2}$ = $\sqrt{5^2 - 3^2}$ = $\sqrt{25 - 9}$ = $\sqrt{16}$ = 4 cm
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆的有关概念；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题核心是掌握圆内过定点的最长弦、最短弦的特征，结合垂径定理构造直角三角形求解，属于常考基础题型，牢记相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2 一题多解 如图，AB为$\odot O$的直径，C，D为$\odot O$上两点.若$∠ BCD=38°$，则$∠ ABD$的度数为（
A.$76°$
B.$52°$
C.$50°$
D.$38°$
B
）A.$76°$
B.$52°$
C.$50°$
D.$38°$
答案
2. B 【解析】解法一:如图①,连接AD,
∵ AB 为$\odot O$的直径,
$\therefore ∠ ADB=90°.\because ∠ A=∠ BCD=38°,\therefore ∠ ABD=90°-38°=52°.$
解法二:如图②,连接 OD,根据圆周角定理,得$∠ DOB=2∠ DCB=76°,\because OD=OB,\therefore ∠ ODB=∠ ABD,\therefore$ 在$△ DOB$ 中,$∠ ABD=\frac{180°-∠ DOB}{2}=\frac{180°-76°}{2}=52°.$
解析
【分析】
要求$∠ ABD$的度数，已知$∠ BCD=38°$，结合$AB$是$\odot O$的直径的条件，可从两个方向思考：①连接$AD$，利用直径所对圆周角为直角得到$Rt△ ADB$，再根据同弧所对圆周角相等得到$∠ A=∠ BCD$，即可用直角三角形两锐角互余求出$∠ ABD$；②连接$OD$，利用圆周角定理求出圆心角$∠ DOB$的度数，再结合$OD=OB$，$△ ODB$为等腰三角形，用三角形内角和求出底角$∠ ABD$。
【解析】
解法一：如图①，连接$AD$，
∵$AB$为$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$。
∵$∠ A$与$∠ BCD$均为弧$BD$所对的圆周角，
∴$∠ A=∠ BCD=38°$，
∴$∠ ABD=90°-∠ A=90°-38°=52°$。
解法二：如图②，连接$OD$，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得$∠ DOB=2∠ DCB=2×38°=76°$，
∵$OD=OB$（都是$\odot O$的半径），
∴$∠ ODB=∠ ABD$，
在$△ DOB$中，$∠ ABD=\frac{180°-∠ DOB}{2}=\frac{180°-76°}{2}=52°$。
【答案】B
【知识点】
圆周角定理；直径的性质；等腰三角形性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，两种解题思路分别运用了圆周角的性质、圆心角与圆周角的关系，结合特殊三角形的性质求解，有助于巩固圆的核心性质，提升多角度解题的能力。
【难度系数】
0.8
要求$∠ ABD$的度数，已知$∠ BCD=38°$，结合$AB$是$\odot O$的直径的条件，可从两个方向思考：①连接$AD$，利用直径所对圆周角为直角得到$Rt△ ADB$，再根据同弧所对圆周角相等得到$∠ A=∠ BCD$，即可用直角三角形两锐角互余求出$∠ ABD$；②连接$OD$，利用圆周角定理求出圆心角$∠ DOB$的度数，再结合$OD=OB$，$△ ODB$为等腰三角形，用三角形内角和求出底角$∠ ABD$。
【解析】
解法一：如图①，连接$AD$，
∵$AB$为$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$。
∵$∠ A$与$∠ BCD$均为弧$BD$所对的圆周角，
∴$∠ A=∠ BCD=38°$，
∴$∠ ABD=90°-∠ A=90°-38°=52°$。
解法二：如图②，连接$OD$，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得$∠ DOB=2∠ DCB=2×38°=76°$，
∵$OD=OB$（都是$\odot O$的半径），
∴$∠ ODB=∠ ABD$，
在$△ DOB$中，$∠ ABD=\frac{180°-∠ DOB}{2}=\frac{180°-76°}{2}=52°$。
【答案】B
【知识点】
圆周角定理；直径的性质；等腰三角形性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，两种解题思路分别运用了圆周角的性质、圆心角与圆周角的关系，结合特殊三角形的性质求解，有助于巩固圆的核心性质，提升多角度解题的能力。
【难度系数】
0.8
3 如图,在$\odot O$中,半径$OA$,$OB$互相垂直,点$C$在$\overset{\frown}{AB}$上.若$∠ ABC=19°$,则$∠ BAC$的度数为（
A.$23°$
B.$24°$
C.$25°$
D.$26°$
D
）A.$23°$
B.$24°$
C.$25°$
D.$26°$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时先根据OA与OB垂直的条件，得到圆心角∠AOB的度数，进而得到弧AB的度数；再利用圆周角定理，由已知的∠ABC的度数求出它所对的弧AC的度数；接着计算出弧BC的度数，最后再次利用圆周角定理，求出弧BC所对的圆周角∠BAC的度数即可。
【解析】
解：
∵ OA⊥OB，
∴ ∠AOB=90°，即弧AB的度数为90°。
∵ ∠ABC是圆周角，所对的弧为弧AC，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，
∴ 弧AC的度数=2×∠ABC=2×19°=38°。
∴ 弧BC的度数=弧AB的度数 - 弧AC的度数=90°-38°=52°。
又
∵ ∠BAC是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BAC=1/2×弧BC的度数=1/2×52°=26°。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，圆心角与弧的关系，垂直的定义
【点评】
本题是圆的基础题型，解题核心是准确找到圆周角对应的弧，结合圆周角定理逐步推导角度，理清角与弧的对应关系是避免出错的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先根据OA与OB垂直的条件，得到圆心角∠AOB的度数，进而得到弧AB的度数；再利用圆周角定理，由已知的∠ABC的度数求出它所对的弧AC的度数；接着计算出弧BC的度数，最后再次利用圆周角定理，求出弧BC所对的圆周角∠BAC的度数即可。
【解析】
解：
∵ OA⊥OB，
∴ ∠AOB=90°，即弧AB的度数为90°。
∵ ∠ABC是圆周角，所对的弧为弧AC，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，
∴ 弧AC的度数=2×∠ABC=2×19°=38°。
∴ 弧BC的度数=弧AB的度数 - 弧AC的度数=90°-38°=52°。
又
∵ ∠BAC是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BAC=1/2×弧BC的度数=1/2×52°=26°。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，圆心角与弧的关系，垂直的定义
【点评】
本题是圆的基础题型，解题核心是准确找到圆周角对应的弧，结合圆周角定理逐步推导角度，理清角与弧的对应关系是避免出错的关键。
【难度系数】
0.7
4 [2025 扬州]如图,点A,B,C在$\odot O$上,$∠ BAC=50°$,则$∠ OBC=$
40
°.答案
4. 40
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，观察已知角∠BAC是弧BC所对的圆周角，要求的∠OBC在△OBC中，首先根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，先求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；第二步，由于OB、OC都是圆的半径，长度相等，可知△OBC是等腰三角形，结合三角形内角和为180°，即可求出∠OBC的度数。
【解析】
∵ ∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角
∴ 根据圆周角定理，∠BOC = 2∠BAC
已知∠BAC=50°，代入得∠BOC=2×50°=100°
∵ OB和OC都是⊙O的半径
∴ OB=OC，即△OBC是等腰三角形，∠OBC=∠OCB
根据三角形内角和为180°，可得：
∠OBC = (180° - ∠BOC)÷2 = (180° - 100°)÷2 = 40°
【答案】
40
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，将圆周角定理和等腰三角形的性质结合考查，解题的关键是找准同弧对应的圆周角和圆心角，熟练运用相关性质计算角度。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：第一步，观察已知角∠BAC是弧BC所对的圆周角，要求的∠OBC在△OBC中，首先根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，先求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；第二步，由于OB、OC都是圆的半径，长度相等，可知△OBC是等腰三角形，结合三角形内角和为180°，即可求出∠OBC的度数。
【解析】
∵ ∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角
∴ 根据圆周角定理，∠BOC = 2∠BAC
已知∠BAC=50°，代入得∠BOC=2×50°=100°
∵ OB和OC都是⊙O的半径
∴ OB=OC，即△OBC是等腰三角形，∠OBC=∠OCB
根据三角形内角和为180°，可得：
∠OBC = (180° - ∠BOC)÷2 = (180° - 100°)÷2 = 40°
【答案】
40
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，将圆周角定理和等腰三角形的性质结合考查，解题的关键是找准同弧对应的圆周角和圆心角，熟练运用相关性质计算角度。
【难度系数】
0.8
5 [2025昆山市段考]如图，在平面直角坐标系中，小正方形的边长为一个单位长度，ABC所在圆的圆心坐标是
(-3,2)
。答案
5. (-3,2)
解析
【分析】
要确定圆弧所在圆的圆心，需利用圆的基本性质：圆心到圆上任意点的距离相等，也就是圆心是圆的任意两条弦的垂直平分线的交点。解题时，首先观察网格得到A、B、C三点的位置，选取两条弦（如AB、BC），分别作出它们的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求圆心；也可以设圆心坐标为$(x,y)$，根据两点间距离公式，利用圆心到A、B、C三点距离相等列方程求解。
【解析】
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，步骤如下：
1. 观察网格中A、B、C三点的位置，任选两条弦，例如弦AB和弦BC；
2. 分别作出弦AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点到A、B、C三点的距离相等，即为所求圆心，结合网格可得该交点坐标为$(-3,2)$。
【答案】
$(-3,2)$
【知识点】
垂径定理，垂直平分线性质，平面直角坐标系
【点评】
本题考查圆的性质在网格中的应用，解题关键是掌握“弦的垂直平分线经过圆心”的性质，结合网格特征可以快速定位圆心位置，解题时也可通过设未知数列方程的方法求解，两种方法都较为直观。
【难度系数】
0.7
要确定圆弧所在圆的圆心，需利用圆的基本性质：圆心到圆上任意点的距离相等，也就是圆心是圆的任意两条弦的垂直平分线的交点。解题时，首先观察网格得到A、B、C三点的位置，选取两条弦（如AB、BC），分别作出它们的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求圆心；也可以设圆心坐标为$(x,y)$，根据两点间距离公式，利用圆心到A、B、C三点距离相等列方程求解。
【解析】
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，步骤如下：
1. 观察网格中A、B、C三点的位置，任选两条弦，例如弦AB和弦BC；
2. 分别作出弦AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点到A、B、C三点的距离相等，即为所求圆心，结合网格可得该交点坐标为$(-3,2)$。
【答案】
$(-3,2)$
【知识点】
垂径定理，垂直平分线性质，平面直角坐标系
【点评】
本题考查圆的性质在网格中的应用，解题关键是掌握“弦的垂直平分线经过圆心”的性质，结合网格特征可以快速定位圆心位置，解题时也可通过设未知数列方程的方法求解，两种方法都较为直观。
【难度系数】
0.7
6 [2025 陕西]如图，点A，B，C，D在$\odot O$上.若$∠ 1+∠ 2=100°$,则$∠ B$的度数为
80°
.答案
6. 80°
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先观察到∠1和∠2是△ADC的两个内角，可利用三角形内角和为180°的性质，先求出∠ADC的度数；2. 再根据圆周角定理中同弧所对的圆周角相等的性质，确定∠B与∠ADC均为劣弧AC所对的圆周角，二者度数相等，即可求出∠B的度数。
【解析】
在$△ ADC$中，由三角形内角和定理可得：
$∠ ADC=180°-(∠ 1+∠ 2)=180°-100°=80°$
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等。$∠ ADC$和$∠ B$都是劣弧$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，因此$∠ B=∠ ADC=80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
三角形内角和定理；圆周角定理
【点评】
本题属于圆相关的基础题型，重点考查三角形内角和与圆周角定理的综合应用，解题的关键是准确识别同弧所对的圆周角，理清角之间的等量关系。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 首先观察到∠1和∠2是△ADC的两个内角，可利用三角形内角和为180°的性质，先求出∠ADC的度数；2. 再根据圆周角定理中同弧所对的圆周角相等的性质，确定∠B与∠ADC均为劣弧AC所对的圆周角，二者度数相等，即可求出∠B的度数。
【解析】
在$△ ADC$中，由三角形内角和定理可得：
$∠ ADC=180°-(∠ 1+∠ 2)=180°-100°=80°$
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等。$∠ ADC$和$∠ B$都是劣弧$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，因此$∠ B=∠ ADC=80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
三角形内角和定理；圆周角定理
【点评】
本题属于圆相关的基础题型，重点考查三角形内角和与圆周角定理的综合应用，解题的关键是准确识别同弧所对的圆周角，理清角之间的等量关系。
【难度系数】
0.7
7 求证:垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧.
答案
7. 已知:如图,CD 为$\odot O$的直径,AB 为$\odot O$的弦,$AB ⊥ CD$,垂足为M.求证: $AM=BM$,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$ 如图,连接 OA,OB.
$\because OA=OB,\therefore △ OAB$ 是等腰三角形.$\because AB ⊥ CD,\therefore AM=BM$,$∠ AOC=∠ BOC$,$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$∠ AOD=∠ BOD$,$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$
解析
【分析】
要证明垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧，首先可通过连接圆心与弦的两个端点构造等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质证明弦被平分，同时得到对应的圆心角相等，再根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，即可证明两条弧也被平分。具体思路为：先明确已知条件和求证结论，再构造辅助线得到等腰三角形，结合等腰三角形性质推导线段和圆心角的等量关系，最后由圆心角与弧的对应关系完成弧相等的证明。
【解析】
已知：如图，CD为$\odot O$的直径，AB为$\odot O$的弦，$AB ⊥ CD$，垂足为M。
求证：$AM=BM$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
证明：连接OA、OB。
∵OA和OB都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OB$，$△ OAB$为等腰三角形。
∵$AB ⊥ CD$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AM=BM$，$∠ AOC=∠ BOC$。
∵同圆中相等的圆心角所对的弧相等，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
又
∵$∠ AOD=180°-∠ AOC$，$∠ BOD=180°-∠ BOC$，
∴$∠ AOD=∠ BOD$，同理可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
【答案】
7. 已知:如图,CD 为$\odot O$的直径,AB 为$\odot O$的弦,$AB ⊥ CD$,垂足为M.求证: $AM=BM$,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$ 如图,连接 OA,OB.
$\because OA=OB,\therefore △ OAB$ 是等腰三角形.$\because AB ⊥ CD,\therefore AM=BM$,$∠ AOC=∠ BOC$,$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$∠ AOD=∠ BOD$,$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$
【知识点】
等腰三角形性质，圆心角与弧的关系，垂径定理
【点评】
本题是垂径定理的基础推导题，将圆的基本性质和等腰三角形性质结合考察，是圆内线段、弧相等证明的核心基础，熟练掌握该定理能为后续圆的相关计算和证明提供极大便利。
【难度系数】
0.8
要证明垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧，首先可通过连接圆心与弦的两个端点构造等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质证明弦被平分，同时得到对应的圆心角相等，再根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，即可证明两条弧也被平分。具体思路为：先明确已知条件和求证结论，再构造辅助线得到等腰三角形，结合等腰三角形性质推导线段和圆心角的等量关系，最后由圆心角与弧的对应关系完成弧相等的证明。
【解析】
已知：如图，CD为$\odot O$的直径，AB为$\odot O$的弦，$AB ⊥ CD$，垂足为M。
求证：$AM=BM$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
证明：连接OA、OB。
∵OA和OB都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OB$，$△ OAB$为等腰三角形。
∵$AB ⊥ CD$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AM=BM$，$∠ AOC=∠ BOC$。
∵同圆中相等的圆心角所对的弧相等，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
又
∵$∠ AOD=180°-∠ AOC$，$∠ BOD=180°-∠ BOC$，
∴$∠ AOD=∠ BOD$，同理可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
【答案】
7. 已知:如图,CD 为$\odot O$的直径,AB 为$\odot O$的弦,$AB ⊥ CD$,垂足为M.求证: $AM=BM$,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$ 如图,连接 OA,OB.
$\because OA=OB,\therefore △ OAB$ 是等腰三角形.$\because AB ⊥ CD,\therefore AM=BM$,$∠ AOC=∠ BOC$,$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$∠ AOD=∠ BOD$,$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$
【知识点】
等腰三角形性质，圆心角与弧的关系，垂径定理
【点评】
本题是垂径定理的基础推导题，将圆的基本性质和等腰三角形性质结合考察，是圆内线段、弧相等证明的核心基础，熟练掌握该定理能为后续圆的相关计算和证明提供极大便利。
【难度系数】
0.8
