7 新情境 生活实际 某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽.该圆锥的底面圆的周长为$20π$ cm，母线长为30 cm.为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从底面圆周上的点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（）

A.30 cm
B.$30\sqrt{3}$ cm
C.60 cm
D.$20π$ cm

7. B

【分析】
要解决圆锥侧面上绕一周的最短彩带长度问题，核心思路是将曲面问题转化为平面问题求解：首先把圆锥侧面沿过点A的母线剪开，展开为平面扇形，此时绕侧面一周回到A点的最短路径，对应展开图中两个重合点A（展开后为扇形的两个端点A、A'）之间的线段长度。接下来需要先求出展开扇形的圆心角，再利用三角形相关知识计算线段长度即可。
【解析】
第一步：计算圆锥侧面展开扇形的圆心角
设展开扇形的圆心角为$n°$，圆锥底面周长等于展开扇形的弧长，母线长为扇形半径$R=30\mathrm{cm}$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，已知弧长$l=20π\mathrm{cm}$，代入得：
$\frac{nπ × 30}{180}=20π$
两边约去$π$，解得$n=120$，即展开扇形的圆心角为$120°$。
第二步：计算最短彩带长度
展开图中，扇形的两条半径$OA=OA'=30\mathrm{cm}$，$∠ AOA'=120°$，连接$AA'$，线段$AA'$即为所求最短彩带长度。
过点$O$作$OH⊥ AA'$于点$H$，由等腰三角形三线合一得：$∠ AOH=\frac{1}{2}∠ AOA'=60°$，$AA'=2AH$。
在$\mathrm{Rt}△ AOH$中，$AH=OA·\sin60°=30×\frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}\mathrm{cm}$，
因此$AA'=2×15\sqrt{3}=30\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
1.圆锥侧面展开图 2.弧长公式 3.最短路径计算
【点评】
本题结合生活实际场景命题，将圆锥的性质与平面几何计算结合，核心是掌握“曲面最短路径转化为平面两点间线段距离”的转化思想，需要熟练运用弧长公式和特殊角度的几何性质求解边长。
【难度系数】
0.6

8 如图所示为一个几何体的三视图,则这个几何体的表面积是 ()

A.$39π$
B.$45π$
C.$48π$
D.$54π$
（第8题）

8. B

【分析】
首先根据三视图判断几何体的构成：该几何体是下方圆柱、上方圆锥的组合体，两者底面半径相同。计算组合体表面积时，注意圆锥底面与圆柱上底面重合，这部分面积不计入总表面积，因此总表面积=圆柱侧面积+圆柱下底面积+圆锥侧面积。接下来先确定各参数：底面直径为6，可得半径$r=3$，圆柱高$h=4$，圆锥母线长$l=4$，再代入对应面积公式计算求和即可。
【解析】
解：由三视图可知，该几何体是底面半径$r=\frac{6}{2}=3$、高为4的圆柱，和底面半径为3、母线长$l=4$的圆锥组成的组合体。
总表面积由三部分组成：
1. 圆柱下底面积：$S_1=π r^2=π×3^2=9π$
2. 圆柱侧面积：$S_2=2π r h=2π×3×4=24π$
3. 圆锥侧面积：$S_3=π r l=π×3×4=12π$
总表面积$S=S_1+S_2+S_3=9π+24π+12π=45π$
【答案】
B
【知识点】
三视图识别、圆柱表面积计算、圆锥侧面积计算
【点评】
本题解题的关键是正确还原几何体，计算组合体表面积时要注意去掉两个几何体重合的面，避免重复计算导致出错。
【难度系数】
0.7

9 新情境 生活实际 [2025 苏州工业园区一模]如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为24π cm，侧面积为240π cm²，则该吊灯外罩的高是cm。

9. 16

【分析】
要计算圆锥形吊灯外罩的高，需先求出圆锥的底面半径和母线长，再利用勾股定理计算高。首先根据底面周长公式求出底面半径r，再结合圆锥侧面积公式求出母线长l，最后根据圆锥的高、底面半径、母线长构成直角三角形，用勾股定理求解高即可。
【解析】
设该圆锥的底面半径为$r\ \mathrm{cm}$，母线长为$l\ \mathrm{cm}$，高为$h\ \mathrm{cm}$。
1. 求底面半径：根据圆的周长公式$C=2π r$，已知底面周长为$24π\ \mathrm{cm}$，可得：
$2π r=24π$，解得$r=12$。
2. 求母线长：圆锥侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，已知侧面积为$240π\ \mathrm{cm}^2$，将$r=12$代入得：
$π×12× l=240π$，两边同时除以$π$得$12l=240$，解得$l=20$。
3. 求圆锥的高：圆锥的高、底面半径、母线长满足勾股定理$h^2+r^2=l^2$，代入数值计算：
$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16$。
【答案】
16
【知识点】
圆锥侧面积计算，勾股定理，圆的周长计算
【点评】
本题结合生活中的吊灯场景考查圆锥的相关计算，只要熟记圆锥各参数对应的计算公式，理清各量之间的关系就能顺利解答。
【难度系数】
0.8

10 如图，小珍同学用半径为8 cm、圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面圆的半径为2 cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 cm²。

10. $\frac{16π}{9}$

【分析】
要计算粘贴部分的面积，需先明确：粘贴部分面积=原扇形纸片的面积 - 围成圆锥实际使用的扇形面积。首先根据扇形面积公式算出原扇形面积，再利用“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”求出实际用于围成圆锥的扇形对应的圆心角，算出该部分面积，最后作差即可得到结果。
【解析】
解：已知原扇形半径$R=8\mathrm{cm}$，圆心角为$100°$，
①先计算原扇形的面积：
$S_\mathrm{原}=\frac{n_1π R^2}{360}=\frac{100π×8^2}{360}=\frac{160π}{9}\ \mathrm{cm}^2$
②计算圆锥底面周长，即实际用到的扇形的弧长：
已知圆锥底面半径$r=2\mathrm{cm}$，底面周长$l=2π r=2π×2=4π\ \mathrm{cm}$
③设实际用到的扇形圆心角为$n_2$，根据弧长公式$l=\frac{n_2π R}{180}$，代入数据：
$4π=\frac{n_2π×8}{180}$
约去$π$后解得：$n_2=90°$
④计算实际使用的扇形面积：
$S_\mathrm{实}=\frac{n_2π R^2}{360}=\frac{90π×8^2}{360}=16π=\frac{144π}{9}\ \mathrm{cm}^2$
⑤粘贴部分的面积：
$S=S_\mathrm{原} - S_\mathrm{实}=\frac{160π}{9}-\frac{144π}{9}=\frac{16π}{9}\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$\frac{16π}{9}$
【知识点】
圆锥展开图性质、扇形面积计算、弧长公式
【点评】
本题核心是掌握圆锥与侧面展开扇形的对应关系，解题的关键是抓住“圆锥底面周长等于展开扇形的弧长”这一核心等量关系，通过面积差求解未知部分，属于基础公式的综合应用题型。
【难度系数】
0.7

11 如图①，某种食品的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2.制作这种外包装需要用如图②所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC.将扇形AEF围成圆锥的侧面时，AE，AF恰好重合.
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的度数；
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5 cm，求加工材料剩余部分（图②中涂色部分）的面积（结果保留π）.

11. (1) 设∠BAC=α.根据题意,得$\overset{\frown}{EF}$的长就是圆锥底面圆的周长，
∴ $\frac{α}{180°}×π×AD=ED×π$. 又
∵ AD=2ED,
∴ α=90°,即∠BAC=90°
(2)
∵ 圆锥底面圆的直径 ED 为 5 cm,
∴ AD=2ED=10 cm.
∵ ∠BAC=90°,AB=AC,
∴ △ABC 是等腰直角三角形.
∵ AD⊥BC,
∴ 易得 BC=2AD=20 cm,
∴ $S_{涂色}=S_{△ABC}-S_{扇形AEF}=\frac{1}{2}BC · AD-\frac{90π×AD^2}{360}=\frac{1}{2}×20×10-\frac{90π×10^2}{360}=(100-25π)\mathrm{cm}^2$

【分析】
（1）要求顶角∠BAC的度数，需利用圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆周长这一核心关系。先设∠BAC=α，分别表示出弧$\overset{\frown}{EF}$的长度和圆锥底面圆的周长，结合已知ED与AD的比例关系代入等式，即可求解α的度数。
（2）要求涂色部分的面积，观察图形可知涂色部分面积等于等腰$△ ABC$的面积减去扇形AEF的面积。先根据ED的长度求出母线AD的长，再结合$∠ BAC=90°$、$AD⊥ BC$的条件求出$△ ABC$的底和高，计算出三角形面积，再利用扇形面积公式求出扇形AEF的面积，二者作差即可得到结果。
【解析】
（1）设$∠ BAC=α$。
由题意可知，扇形AEF围成圆锥侧面时，弧$\overset{\frown}{EF}$的长等于圆锥底面圆的周长，
因此可得：$\frac{α}{180°} × π × AD = π × ED$。
又已知底面圆直径ED与母线AD长之比为$1:2$，即$AD=2ED$，
将$AD=2ED$代入上式：$\frac{α}{180°} × π × 2ED = π × ED$，
两边同时约去$π · ED$，解得$α=90°$，即$∠ BAC=90°$。
（2）已知圆锥底面圆直径$ED=5\mathrm{cm}$，
由$AD=2ED$，得$AD=2×5=10\mathrm{cm}$。
因为$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，所以$△ ABC$是等腰直角三角形，
又$AD⊥ BC$，根据等腰直角三角形的性质，可得$BC=2AD=2×10=20\mathrm{cm}$。
涂色部分面积为$△ ABC$的面积减去扇形AEF的面积：
$S_{涂色}=S_{△ ABC}-S_{扇形AEF}$
$=\frac{1}{2} × BC × AD - \frac{90°}{360°} × π × AD^2$
$=\frac{1}{2} ×20×10 - \frac{1}{4}×π×10^2$
$=100 -25π$（$\mathrm{cm}^2$）
【答案】
（1）$∠ BAC=90°$；（2）$(100-25π)\mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆锥侧面展开图性质，弧长计算公式，不规则图形面积计算
【点评】
本题将立体图形的展开与平面图形的面积计算结合，解题关键是明确圆锥侧面展开图的弧长与底面周长的等量关系，求阴影面积时运用割补法转化为规则图形面积的差即可求解，是对几何综合应用能力的基础考查。
【难度系数】
0.7

12 新情境 游戏活动 如图,有一圆锥形粮堆,其轴截面是边长为6 m的正三角形ABC,粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食.此时小猫正在点B处,它要沿圆锥侧面到达点P处捕捉老鼠,则小猫所经过的最短路程是多少？

12. 设圆锥底面圆的半径为 r m,母线长为 l m,展开后圆心角的度数为 n°,则底面圆的周长为 2πr m,侧面展开图的弧长为$\frac{nπl}{180}$ m.
∴ $2πr=\frac{nπl}{180}$. 如图①,
∵ 轴截面△ABC 为等边三角形,
∴ AB=BC,即 l=2r=6,
∴ r=3,
∴ $2π×3=\frac{nπ×6}{180}$,
∴ n=180,其侧面展开图如图②所示,则△ABP 为直角三角形,BP 为最短路线,AP=3 m. 在Rt△ABP中,$BP=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$ m.
∴ 小猫所经过的最短路程是$3\sqrt{5}$ m

【分析】
要解决圆锥侧面上的最短路径问题，需先将圆锥侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定最短路径是展开图中B、P两点的连线段。解题可按三步进行：①根据轴截面是正三角形，求出圆锥底面半径和母线长；②利用“圆锥底面周长=侧面展开图弧长”的等量关系，计算展开图的圆心角，明确展开图中各点的位置关系；③根据点的位置构造直角三角形，用勾股定理计算线段BP的长度，即为所求最短路程。
【解析】
设圆锥底面圆的半径为$r$ m，母线长为$l$ m，侧面展开后圆心角的度数为$n°$。
圆锥底面圆的周长为$2π r$ m，侧面展开图的弧长为$\frac{nπ l}{180}$ m，根据底面周长等于展开图弧长，可得：
$2π r=\frac{nπ l}{180}$
已知圆锥轴截面$△ ABC$是边长为6 m的等边三角形，因此母线长$l=AB=AC=6$ m，底面直径$BC=6$ m，即$2r=6$，解得$r=3$。
将$r=3$、$l=6$代入上述弧长公式：
$2π×3=\frac{nπ×6}{180}$
解得$n=180$，即圆锥侧面展开图是圆心角为$180°$的半圆，如图②所示。
此时展开图中$∠ BAP=90°$，$△ ABP$为直角三角形，其中$AB=6$ m，$P$是$AC$的中点，故$AP=\frac{1}{2}AC=3$ m。
在$Rt△ ABP$中，由勾股定理得：
$BP=\sqrt{AB^2+AP^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\ \mathrm{(m)}$
【答案】
小猫所经过的最短路程是$3\sqrt{5}$ m

【知识点】
圆锥侧面展开图；最短路径计算；勾股定理
【点评】
本题结合实际情境考查曲面最短路径的求解，解题核心是掌握圆锥侧面展开图的性质，将曲面问题转化为熟悉的平面几何问题，再结合勾股定理计算，是立体图形最短路径的典型题型。
【难度系数】
0.6