8 如图，$OA=OB$，$AB$交$\odot O$于点$C$，$D$，$OE$是$\odot O$的半径，且$OE⊥ AB$于点$F$.
（1）求证：$AC=BD$；
（2）若$CD=8$，$EF=1$，求$\odot O$的半径.

8. (1) $\because OE ⊥ AB,\therefore CF=DF.\because OA=OB,OE ⊥ AB,\therefore AF=BF,\therefore AF-CF=BF-DF,\therefore AC=BD$
(2) 连接OC,设$\odot O$ 的半径是$r$,由(1),得$CF=DF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2} × 8=4$,$\because EF=1$,$\therefore OF=OE-EF=r-1$.$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ COF$ 中,$CO^2=CF^2+OF^2$,$\therefore r^2=4^2+(r-1)^2$,$\therefore r=\frac{17}{2}$,$\therefore \odot O$ 的半径是$\frac{17}{2}$

【分析】
（1）要证明$AC=BD$，先结合已知$OA=OB$、$OE⊥AB$，利用等腰三角形三线合一的性质得到$AF=BF$；再根据圆的垂径定理，由$OE⊥$弦$CD$得到$CF=DF$，最后通过线段的差运算即可推出结论。
（2）求圆的半径可采用方程思想，先连接$OC$构造直角三角形，设半径为$r$，用含$r$的式子表示出$OF$的长度，再在$Rt△ COF$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：
$\because OE⊥ AB$，根据垂径定理可得$CF=DF$。
又$\because OA=OB$，$OE⊥ AB$，
$\therefore$ 等腰$△ OAB$中，由三线合一性质得$AF=BF$，
$\therefore AF-CF=BF-DF$，即$AC=BD$。
（2）解：
连接$OC$，设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=OE=r$。
由（1）得$CF=DF=\frac{1}{2}CD$，
$\because CD=8$，$\therefore CF=4$。
$\because EF=1$，$\therefore OF=OE-EF=r-1$。
$\because OE⊥ AB$，$\therefore ∠ OFC=90°$，
在$Rt△ COF$中，由勾股定理得：$CO^2=CF^2+OF^2$，
代入得$r^2=4^2+(r-1)^2$，
整理得$r^2=16+r^2-2r+1$，
化简解得$r=\frac{17}{2}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\frac{17}{2}$
【知识点】
垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题型，解题核心是熟练运用等腰三角形性质和垂径定理得到线段等量关系，求半径时掌握“设未知数列方程+勾股定理”的常用思路即可快速求解。
【难度系数】
0.7

9 如图，AB为$\odot O$的直径，直线CD与$\odot O$相切于点C，连接AC。若$∠ ACD=50°$，则$∠ BAC$的度数为 （）

A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
（第9题）

9. B

【分析】
遇到圆的切线相关问题，首先联想到切线的核心性质：切线垂直于过切点的半径，因此首先连接OC构造直角。已知∠ACD的度数，可先计算出∠OCA的度数，再结合OA、OC均为圆的半径，二者相等，△OAC为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
连接OC，
∵直线CD与$\odot O$相切于点C，
∴$OC⊥ CD$，即$∠ OCD=90°$，
∵$∠ ACD=50°$，
∴$∠ OCA=∠ OCD-∠ ACD=90°-50°=40°$，
又
∵OA、OC都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OC$，
∴$∠ BAC=∠ OCA=40°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础计算类题型，解题关键是掌握“见切线，连半径，得垂直”的常用辅助线作法，结合等腰三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

10 [2024广州]如图,在$\odot O$中,弦$AB$的长为$4\sqrt{3}$,点$C$在$\odot O$上,$OC ⊥ AB$,$∠ ABC=30°$,$\odot O$所在的平面内有一点$P$.若$OP=5$,则点$P$与$\odot O$的位置关系是.

10. 点P在⊙O外

【分析】
要判断点P与$\odot O$的位置关系，需先求出$\odot O$的半径$r$，再将$r$与$OP$的长度比较：若$OP＞r$则点在圆外，$OP=r$则点在圆上，$OP＜r$则点在圆内。求半径时，先利用垂径定理得到弦$AB$一半的长度，再结合圆周角定理得到对应圆心角的度数，最后在直角三角形中计算得到半径即可。
【解析】
设$OC$与$AB$交于点$D$。
1. 根据垂径定理：$\because OC⊥ AB$，$AB=4\sqrt{3}$，$\therefore AD=DB=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{3}$。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ ABC$是弧$AC$所对的圆周角，$∠ AOC$是弧$AC$所对的圆心角，$\because ∠ ABC=30°$，$\therefore ∠ AOC=2∠ ABC=60°$。
3. 在$Rt△ AOD$中，$∠ ADO=90°$，$\sin∠ AOD=\frac{AD}{OA}$，代入$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$AD=2\sqrt{3}$得：
$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{OA}$，解得$OA=4$，即$\odot O$的半径$r=4$。
4. 已知$OP=5$，$\because 5＞4$，即$OP＞r$，$\therefore$点$P$在$\odot O$外。
【答案】
点P在$\odot O$外
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；点与圆的位置关系
【点评】
本题属于圆的基础性质综合题，解题核心是先求出圆的半径，再通过点到圆心的距离与半径的大小关系判断点和圆的位置，解题思路清晰，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7

11 如图，在扇形ABC中，CD⊥AB，垂足为D，$\odot E$是$△ ACD$的内切圆，连接AE，BE，则$∠ AEB$的度数为。

11. 135°

【分析】
首先根据扇形的性质可得AC=BC，即△ACB为等腰三角形，结合CD⊥AB，可知∠ADC=90°，CD平分∠ACB。其次，三角形内切圆的圆心（内心）是三角形三条角平分线的交点，因此E是△ACD的内角平分线交点，即AE平分∠CAB，CE平分∠ACD。在Rt△ACD中利用直角三角形两锐角互余的性质，结合角平分线的定义可求出∠CAE与∠ACE的和，进而得到∠AEC的度数，最后通过证明△AEC≌△AEB，即可推出∠AEB的度数。
【解析】
解：
∵ 扇形ABC中，AC=BC，CD⊥AB，
∴ △ACB是等腰三角形，∠ADC=90°，
∴ ∠CAD + ∠ACD = 90°。
∵ ⊙E是△ACD的内切圆，
∴ E是△ACD的内心，即AE平分∠CAD，CE平分∠ACD，
∴ $∠ CAE=\frac{1}{2}∠ CAD$，$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACD$，
∴ $∠ CAE + ∠ ACE=\frac{1}{2}(∠ CAD+∠ ACD)=\frac{1}{2}×90°=45°$，
∴ $∠ AEC=180° - (∠ CAE+∠ ACE)=180°-45°=135°$。
在△AEC和△AEB中：
$\begin{cases}AC=AB, \\∠ CAE=∠ BAE, \\AE=AE,\end{cases}$
∴ △AEC≌△AEB（SAS），
∴ $∠ AEB=∠ AEC=135°$。
【答案】
$\boxed{135°}$
【知识点】
1. 三角形内心的性质
2. 等腰三角形的性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了三角形内心、等腰三角形、全等三角形的相关知识，解题的关键是明确内心是角平分线的交点，通过角的运算和全等变换完成角度的转化，属于几何综合类常考题。
【难度系数】
0.7

12 [2025 山东]如图,在$△ OAB$中,点 A 在$\odot O$上,边 OB 交$\odot O$于点 C,$AD⊥ OB$于点 D,AC 是$∠ BAD$的平分线.
(1) 求证:AB 为$\odot O$的切线;
(2) 若$\odot O$的半径为 2,$∠ AOB=45°$,求 CB 的长.

12. (1) $\because AD ⊥ OB$ 于点D,$\therefore ∠ ADB=90°$.$\because AC$ 是$∠ BAD$ 的平分线,$\therefore ∠ DAC=∠ BAC$.$\because OA=OC$,$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$.
$\because ∠ OAC=∠ OAD+∠ DAC=∠ OAD+∠ BAC$,$∠ OCA=∠ B+∠ BAC$,$\therefore ∠ OAD=∠ B$,$\therefore ∠ OAB=∠ OAD+∠ BAD=∠ B+∠ BAD=180°-90°=90°$,即 $AB ⊥ OA$.$\because OA$ 是$\odot O$ 的半径,$\therefore AB$为$\odot O$ 的切线
(2) $\because ∠ OAB=90°$,$∠ AOB=45°$,$\therefore ∠ B=∠ AOB=45°$,$\therefore AB=OA$.$\because \odot O$ 的半径为 2,$\therefore AB=OA=OC=2$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ OAB$ 中,$OB=\sqrt{AB^2+OA^2}=2\sqrt{2}$,$\therefore CB=OB-OC=2\sqrt{2}-2$,$\therefore CB$ 的长是$2\sqrt{2}-2$

【分析】
(1) 要证明AB是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，只需证明$OA⊥ AB$即可。先利用垂直的定义、角平分线的性质得到等角，再结合半径相等推出的等腰三角形等角性质，通过角的和差关系做等量代换，最终推导得到$∠ OAB=90°$即可完成证明。
(2) 由(1)的结论得$△ OAB$是直角三角形，结合$∠ AOB=45°$可判断其为等腰直角三角形，先用勾股定理求出OB的长度，再减去半径OC的长度即可得到CB的长。
【解析】
(1) 证明：$\because AD ⊥ OB$于点D，$\therefore ∠ ADB=90°$。
$\because AC$是$∠ BAD$的平分线，$\therefore ∠ DAC=∠ BAC$。
$\because OA=OC$（均为$\odot O$的半径），$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$。
$\because ∠ OAC=∠ OAD+∠ DAC=∠ OAD+∠ BAC$，$∠ OCA=∠ B+∠ BAC$（三角形外角的性质），
$\therefore ∠ OAD=∠ B$，
$\therefore ∠ OAB=∠ OAD+∠ BAD=∠ B+∠ BAD=180°-∠ ADB=180°-90°=90°$，即$AB ⊥ OA$。
又$\because OA$是$\odot O$的半径，$\therefore AB$为$\odot O$的切线。
(2) 解：$\because ∠ OAB=90°$，$∠ AOB=45°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ AOB=45°$，即$∠ B=∠ AOB$，
$\therefore AB=OA$。
$\because \odot O$的半径为2，$\therefore AB=OA=OC=2$，
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，由勾股定理得$OB=\sqrt{AB^2+OA^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$\therefore CB=OB-OC=2\sqrt{2}-2$。
【答案】
(1) AB为$\odot O$的切线，证明成立；
(2) CB的长为$2\sqrt{2}-2$。
【知识点】
切线的判定，角平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，结合了角平分线、等腰三角形、勾股定理等知识点考查切线判定与线段长度计算，核心突破口是通过角的等量代换得到垂直关系，再结合特殊直角三角形的性质计算，熟练掌握基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7