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13 新情境 自然科普 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形.如图所示为部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，P，Q，M均为正六边形的顶点.若点P，Q的坐标分别为$(-2\sqrt{3},3),(0,-3)$，则点M的坐标为 （
A.$(3\sqrt{3},-2)$
B.$(3\sqrt{3},2)$
C.$(2,-3\sqrt{3})$
D.$(-2,-3\sqrt{3})$
（第13题） （第14题）
A
）A.$(3\sqrt{3},-2)$
B.$(3\sqrt{3},2)$
C.$(2,-3\sqrt{3})$
D.$(-2,-3\sqrt{3})$
（第13题） （第14题）
答案
13. A
解析
【分析】
解题时先利用正六边形的性质，结合已知点P的横坐标求出正六边形的边心距，进一步得到正六边形的边长；再观察点M在坐标系中的位置，分别计算其横、纵坐标即可。第一步：正六边形的边心距（中心到边的距离）为边长的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍，观察图形可知点P到y轴的水平距离等于2个边心距，结合P点横坐标可算出边心距和边长；第二步：观察M点到y轴的水平距离等于3个边心距，可求出横坐标；第三步：结合正六边形边长和M点在x轴下方的位置，求出纵坐标。
【解析】
设正六边形的边长为$a$，则正六边形的边心距为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
1. 求正六边形的边长：
已知点$P(-2\sqrt{3},3)$，其到y轴的水平距离为$|-2\sqrt{3}|=2\sqrt{3}$，观察图形可知该距离等于2个边心距之和，即：
$2×\frac{\sqrt{3}}{2}a=2\sqrt{3}$
解得$a=2$，即正六边形的边长为2，边心距为$\sqrt{3}$。
2. 求点M的横坐标：
观察图形，点M在y轴右侧，到y轴的水平距离等于3个边心距之和，因此横坐标为：
$x=3×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
3. 求点M的纵坐标：
点M在x轴下方，观察图形可知其到x轴的竖直距离等于正六边形的边长2，因此纵坐标为$y=-2$。
综上，点M的坐标为$(3\sqrt{3},-2)$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
正六边形的性质；平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题结合蜂巢结构的实际情境考查几何图形与坐标系的结合应用，解题核心是利用已知点坐标求出正六边形的基本参数，再结合图形特征推导所求点的坐标，能很好地考查学生的识图能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先利用正六边形的性质，结合已知点P的横坐标求出正六边形的边心距，进一步得到正六边形的边长；再观察点M在坐标系中的位置，分别计算其横、纵坐标即可。第一步：正六边形的边心距（中心到边的距离）为边长的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍，观察图形可知点P到y轴的水平距离等于2个边心距，结合P点横坐标可算出边心距和边长；第二步：观察M点到y轴的水平距离等于3个边心距，可求出横坐标；第三步：结合正六边形边长和M点在x轴下方的位置，求出纵坐标。
【解析】
设正六边形的边长为$a$，则正六边形的边心距为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
1. 求正六边形的边长：
已知点$P(-2\sqrt{3},3)$，其到y轴的水平距离为$|-2\sqrt{3}|=2\sqrt{3}$，观察图形可知该距离等于2个边心距之和，即：
$2×\frac{\sqrt{3}}{2}a=2\sqrt{3}$
解得$a=2$，即正六边形的边长为2，边心距为$\sqrt{3}$。
2. 求点M的横坐标：
观察图形，点M在y轴右侧，到y轴的水平距离等于3个边心距之和，因此横坐标为：
$x=3×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
3. 求点M的纵坐标：
点M在x轴下方，观察图形可知其到x轴的竖直距离等于正六边形的边长2，因此纵坐标为$y=-2$。
综上，点M的坐标为$(3\sqrt{3},-2)$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
正六边形的性质；平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题结合蜂巢结构的实际情境考查几何图形与坐标系的结合应用，解题核心是利用已知点坐标求出正六边形的基本参数，再结合图形特征推导所求点的坐标，能很好地考查学生的识图能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
14 [2024广元]如图，F是正五边形ABCDE的边DE的中点，连接BF并延长，与CD的延长线交于点G，则∠BGC的度数为
18°
。答案
14. 18°
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先利用多边形内角和公式算出正五边形每个内角的度数，进而得到∠EDG的度数；第二步，根据正五边形的轴对称性，过顶点B和其对边DE中点F的直线是正五边形的对称轴，可得BF⊥DE，即∠DFG=90°；第三步，在△DFG中利用三角形内角和定理即可求出∠BGC的度数。
【解析】
1. 计算正五边形内角度数：
多边形内角和公式为$(n-2)×180°$，正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，每个内角的度数为$540°÷5=108°$，因此$∠ CDE=108°$。
$∠ EDG$是$∠ CDE$的邻补角，所以$∠ EDG=180°-108°=72°$。
2. 利用正五边形轴对称性得直角：
正五边形是轴对称图形，顶点B的对边为DE，F是DE中点，因此直线BF是正五边形的一条对称轴，可得$BF⊥ DE$，即$∠ DFG=90°$。
3. 计算$∠ BGC$：
在$△ DFG$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BGC=180°-∠ DFG-∠ EDG=180°-90°-72°=18°$
【答案】
$18°$
【知识点】
正五边形的性质、多边形内角和计算、三角形内角和定理
【点评】
本题是正多边形性质和角度计算的结合题，解题的关键是熟练掌握正五边形的轴对称性，找到垂直关系，再结合内角和相关公式推导角度，解题时要注意正多边形基本性质的灵活运用。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：第一步，先利用多边形内角和公式算出正五边形每个内角的度数，进而得到∠EDG的度数；第二步，根据正五边形的轴对称性，过顶点B和其对边DE中点F的直线是正五边形的对称轴，可得BF⊥DE，即∠DFG=90°；第三步，在△DFG中利用三角形内角和定理即可求出∠BGC的度数。
【解析】
1. 计算正五边形内角度数：
多边形内角和公式为$(n-2)×180°$，正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，每个内角的度数为$540°÷5=108°$，因此$∠ CDE=108°$。
$∠ EDG$是$∠ CDE$的邻补角，所以$∠ EDG=180°-108°=72°$。
2. 利用正五边形轴对称性得直角：
正五边形是轴对称图形，顶点B的对边为DE，F是DE中点，因此直线BF是正五边形的一条对称轴，可得$BF⊥ DE$，即$∠ DFG=90°$。
3. 计算$∠ BGC$：
在$△ DFG$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BGC=180°-∠ DFG-∠ EDG=180°-90°-72°=18°$
【答案】
$18°$
【知识点】
正五边形的性质、多边形内角和计算、三角形内角和定理
【点评】
本题是正多边形性质和角度计算的结合题，解题的关键是熟练掌握正五边形的轴对称性，找到垂直关系，再结合内角和相关公式推导角度，解题时要注意正多边形基本性质的灵活运用。
【难度系数】
0.6
15 已知圆锥的底面圆的半径为 3,高为 4,则它的侧面积为 (
A.$12π$
B.$15π$
C.$24π$
D.$30π$
B
)A.$12π$
B.$15π$
C.$24π$
D.$30π$
答案
15. B
解析
【分析】
要解决圆锥侧面积的问题，首先回忆圆锥侧面积的计算公式为$S_{侧}=π rl$（其中$r$是底面半径，$l$是母线长）。题目已给出底面半径$r=3$，因此核心是先求出母线长$l$。根据圆锥的结构特征，圆锥的高、底面半径、母线恰好构成直角三角形，母线为斜边，因此可以用勾股定理算出母线长，再代入侧面积公式就能得到结果。
【解析】
解：已知圆锥底面半径$r=3$，高$h=4$。
∵圆锥的母线$l$、底面半径$r$、高$h$满足直角三角形三边关系，
∴母线长$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=π rl$，代入数据得：
$S_{侧}=π×3×5=15π$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算，勾股定理，圆锥的结构特征
【点评】
本题属于基础题型，主要考查圆锥相关的计算，解题关键是熟练掌握圆锥的结构特点以及侧面积计算公式，计算过程简单，只要掌握相关知识点就可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要解决圆锥侧面积的问题，首先回忆圆锥侧面积的计算公式为$S_{侧}=π rl$（其中$r$是底面半径，$l$是母线长）。题目已给出底面半径$r=3$，因此核心是先求出母线长$l$。根据圆锥的结构特征，圆锥的高、底面半径、母线恰好构成直角三角形，母线为斜边，因此可以用勾股定理算出母线长，再代入侧面积公式就能得到结果。
【解析】
解：已知圆锥底面半径$r=3$，高$h=4$。
∵圆锥的母线$l$、底面半径$r$、高$h$满足直角三角形三边关系，
∴母线长$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=π rl$，代入数据得：
$S_{侧}=π×3×5=15π$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算，勾股定理，圆锥的结构特征
【点评】
本题属于基础题型，主要考查圆锥相关的计算，解题关键是熟练掌握圆锥的结构特点以及侧面积计算公式，计算过程简单，只要掌握相关知识点就可顺利解答。
【难度系数】
0.8
16 [2025 凉山]如图，△ABC内接于⊙O，∠B=65°，∠C=70°.若BC=2√2，则$\overset{\frown}{BC}$的长为
π
.答案
16. π
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{BC}$的长，需先求出弧$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角度数和$\odot O$的半径：①先利用三角形内角和定理求出$△ ABC$中$∠ A$的度数，再根据圆周角定理得到$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角$∠ BOC$的度数；②结合已知$BC$的长度，在等腰$△ BOC$中求出$\odot O$的半径；③最后代入弧长公式计算即可得到$\overset{\frown}{BC}$的长。
【解析】
解：在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-65°-70°=45°$
连接$OB$、$OC$，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得：
$∠ BOC=2∠ BAC=2×45°=90°$
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=OC=r$，$△ BOC$为等腰直角三角形，由勾股定理得：
$OB^2+OC^2=BC^2$
代入$BC=2\sqrt{2}$，得$r^2+r^2=(2\sqrt{2})^2$
即$2r^2=8$，解得$r=2$（半径为正数，舍去负解）
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），可得$\overset{\frown}{BC}$的长为：
$l_{\overset{\frown}{BC}}=\frac{90π×2}{180}=π$
【答案】
$π$
【知识点】
三角形内角和定理，圆周角定理，弧长计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的核心是先推导得到圆心角$∠ BOC$的度数，再结合等腰直角三角形的性质求出圆的半径，熟练掌握相关定理和公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{BC}$的长，需先求出弧$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角度数和$\odot O$的半径：①先利用三角形内角和定理求出$△ ABC$中$∠ A$的度数，再根据圆周角定理得到$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角$∠ BOC$的度数；②结合已知$BC$的长度，在等腰$△ BOC$中求出$\odot O$的半径；③最后代入弧长公式计算即可得到$\overset{\frown}{BC}$的长。
【解析】
解：在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-65°-70°=45°$
连接$OB$、$OC$，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得：
$∠ BOC=2∠ BAC=2×45°=90°$
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=OC=r$，$△ BOC$为等腰直角三角形，由勾股定理得：
$OB^2+OC^2=BC^2$
代入$BC=2\sqrt{2}$，得$r^2+r^2=(2\sqrt{2})^2$
即$2r^2=8$，解得$r=2$（半径为正数，舍去负解）
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），可得$\overset{\frown}{BC}$的长为：
$l_{\overset{\frown}{BC}}=\frac{90π×2}{180}=π$
【答案】
$π$
【知识点】
三角形内角和定理，圆周角定理，弧长计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的核心是先推导得到圆心角$∠ BOC$的度数，再结合等腰直角三角形的性质求出圆的半径，熟练掌握相关定理和公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
17 [2025资阳]如图,在正六边形ABCDEF中,AB=2,连接AC,AE,以点D为圆心、CD长为半径作$\overset{\frown}{CE}$,则图中涂色部分的面积是
$4\sqrt{3}-\frac{4π}{3}$
.答案
17. $4\sqrt{3}-\frac{4π}{3}$
解析
【分析】
要求涂色部分的面积，观察图形可知涂色部分是由线段AC、AE和弧CE围成的不规则图形，可通过割补法转化为规则图形面积的差求解：即四边形ACDE的面积减去扇形DCE的面积。首先利用正六边形各边相等、内角均为120°的性质，分别求出四边形ACDE的面积和扇形DCE的面积，再作差即可得到涂色部分面积。
【解析】
解：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA=2，正六边形每个内角均为$120°$
1. 计算小三角形面积：
在$△ ABC$中，$AB=BC=2$，$∠ ABC=120°$
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· BC· \sin120°=\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
同理可得$S_{△ AFE}=\sqrt{3}$，$S_{△ CDE}=\sqrt{3}$
2. 计算正六边形的面积：
正六边形可分为6个边长为2的等边三角形，每个等边三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$
$\therefore S_{正六边形}=6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
3. 计算四边形ACDE的面积：
$S_{四边形ACDE}=S_{正六边形}-S_{△ ABC}-S_{△ AFE}=6\sqrt{3}-\sqrt{3}-\sqrt{3}=4\sqrt{3}$
4. 计算扇形DCE的面积：
扇形圆心角$∠ CDE=120°$，半径$r=CD=2$
$S_{扇形DCE}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{120π×2^2}{360}=\frac{4π}{3}$
5. 计算涂色部分面积：
$S_{涂色}=S_{四边形ACDE}-S_{扇形DCE}=4\sqrt{3}-\frac{4π}{3}$
【答案】
$4\sqrt{3}-\frac{4π}{3}$
【知识点】
正六边形的性质，扇形面积计算，不规则图形面积计算
【点评】
本题核心是将不规则图形面积转化为规则图形面积的和差求解，解题时需要准确识别阴影部分的边界，熟练掌握正六边形的性质和扇形面积公式即可正确作答。
【难度系数】
0.65
要求涂色部分的面积，观察图形可知涂色部分是由线段AC、AE和弧CE围成的不规则图形，可通过割补法转化为规则图形面积的差求解：即四边形ACDE的面积减去扇形DCE的面积。首先利用正六边形各边相等、内角均为120°的性质，分别求出四边形ACDE的面积和扇形DCE的面积，再作差即可得到涂色部分面积。
【解析】
解：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA=2，正六边形每个内角均为$120°$
1. 计算小三角形面积：
在$△ ABC$中，$AB=BC=2$，$∠ ABC=120°$
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· BC· \sin120°=\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
同理可得$S_{△ AFE}=\sqrt{3}$，$S_{△ CDE}=\sqrt{3}$
2. 计算正六边形的面积：
正六边形可分为6个边长为2的等边三角形，每个等边三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$
$\therefore S_{正六边形}=6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
3. 计算四边形ACDE的面积：
$S_{四边形ACDE}=S_{正六边形}-S_{△ ABC}-S_{△ AFE}=6\sqrt{3}-\sqrt{3}-\sqrt{3}=4\sqrt{3}$
4. 计算扇形DCE的面积：
扇形圆心角$∠ CDE=120°$，半径$r=CD=2$
$S_{扇形DCE}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{120π×2^2}{360}=\frac{4π}{3}$
5. 计算涂色部分面积：
$S_{涂色}=S_{四边形ACDE}-S_{扇形DCE}=4\sqrt{3}-\frac{4π}{3}$
【答案】
$4\sqrt{3}-\frac{4π}{3}$
【知识点】
正六边形的性质，扇形面积计算，不规则图形面积计算
【点评】
本题核心是将不规则图形面积转化为规则图形面积的和差求解，解题时需要准确识别阴影部分的边界，熟练掌握正六边形的性质和扇形面积公式即可正确作答。
【难度系数】
0.65
18 如图，$AB=AC=AD$，$∠ CBD=2∠ BDC$，$∠ BAC=44°$，则$∠ CAD$ 的度数为 （
A.$68°$
B.$88°$
C.$90°$
D.$112°$
B
）A.$68°$
B.$88°$
C.$90°$
D.$112°$
答案
18. B
解析
【分析】
首先观察到条件AB=AC=AD，结合圆的定义可判断点B、C、D在以A为圆心、AB为半径的同一个圆上，再将题目给出的圆周角的数量关系，通过圆周角定理转化为圆心角的关系，即可直接求出∠CAD的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC=AD
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半
可得：∠BDC是弧BC所对的圆周角，对应圆心角为∠BAC，故$∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BAC$
∠CBD是弧CD所对的圆周角，对应圆心角为∠CAD，故$∠ CBD=\frac{1}{2}∠ CAD$
已知$∠ CBD=2∠ BDC$，代入上述关系得：
$\frac{1}{2}∠ CAD=2×\frac{1}{2}∠ BAC$
化简得$∠ CAD=2∠ BAC$
∵$∠ BAC=44°$
∴$∠ CAD=2×44°=88°$
【答案】
B
【知识点】
圆的定义，圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质应用的典型题型，解题的核心突破口是通过等长线段联想到三点共圆，将三角形角度问题转化为圆的角度问题，大大简化了推导步骤。
【难度系数】
0.7
首先观察到条件AB=AC=AD，结合圆的定义可判断点B、C、D在以A为圆心、AB为半径的同一个圆上，再将题目给出的圆周角的数量关系，通过圆周角定理转化为圆心角的关系，即可直接求出∠CAD的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC=AD
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半
可得：∠BDC是弧BC所对的圆周角，对应圆心角为∠BAC，故$∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BAC$
∠CBD是弧CD所对的圆周角，对应圆心角为∠CAD，故$∠ CBD=\frac{1}{2}∠ CAD$
已知$∠ CBD=2∠ BDC$，代入上述关系得：
$\frac{1}{2}∠ CAD=2×\frac{1}{2}∠ BAC$
化简得$∠ CAD=2∠ BAC$
∵$∠ BAC=44°$
∴$∠ CAD=2×44°=88°$
【答案】
B
【知识点】
圆的定义，圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质应用的典型题型，解题的核心突破口是通过等长线段联想到三点共圆，将三角形角度问题转化为圆的角度问题，大大简化了推导步骤。
【难度系数】
0.7
19 [2025姑苏区段考]如图,在平面直角坐标系中,直线AB经过$A(3,0),B(0,4),\odot O$的半径为2,P是直线AB上的一动点,过点P作$\odot O$的一条切线PQ,Q为切点,则切线PQ长的最小值为（
A.$\dfrac{2\sqrt{11}}{5}$
B.2
C.3
D.$\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$
A
）A.$\dfrac{2\sqrt{11}}{5}$
B.2
C.3
D.$\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$
答案
19. A 【解析】连接OP,OQ,$\because PQ$ 是$\odot O$ 的切线,$\therefore OQ ⊥ PQ$.在$\mathrm{Rt}△ POQ$ 中,由勾股定理,得$PQ^2=OP^2-OQ^2$,$\therefore$ 当OP 最短时,PQ 长取得最小值.易得当 $PO ⊥ AB$ 时,线段 OP 最短.$\because A(3,0)$,$B(0,4)$,$\therefore OA=3$,$OB=4$.在$\mathrm{Rt}△ AOB$ 中,由勾股定理,得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.当 $PO ⊥ AB$ 时,$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}AB · OP=\frac{1}{2}OA · OB$,$\therefore OP=\frac{OA · OB}{AB}=\frac{12}{5}$,$\therefore PQ$ 长的最小值为$\sqrt{OP^2-OQ^2}=\sqrt{(\frac{12}{5})^2-2^2}=\frac{2\sqrt{11}}{5}$.
解析
【分析】
要解决切线长PQ的最小值问题，首先结合切线的性质可知OQ⊥PQ，OQ是⊙O的半径为定值，因此可将PQ的长度用OP和OQ通过勾股定理表示，从而将求PQ最小值的问题转化为求OP的最小值；而P是直线AB上的动点，根据“垂线段最短”，当OP垂直于AB时，OP的长度最小；接下来先求出线段AB的长度，再用面积法求出OP的最小值，最后代入勾股定理计算PQ的最小值即可。
【解析】
连接OP、OQ。
∵PQ是⊙O的切线，Q为切点，
∴OQ⊥PQ，即△POQ为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△POQ$中，由勾股定理得：$PQ^2=OP^2-OQ^2$。
∵⊙O的半径$OQ=2$为定值，
∴当OP的长度最小时，PQ的长度取得最小值。
根据“垂线段最短”，当$OP⊥AB$时，线段OP的长度最短。
已知$A(3,0)$，$B(0,4)$，
∴$OA=3$，$OB=4$。
在$\mathrm{Rt}△AOB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
当$OP⊥AB$时，$△AOB$的面积可表示为$\frac{1}{2}AB·OP=\frac{1}{2}OA·OB$，代入数值得：
$OP=\frac{OA·OB}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
将$OP=\frac{12}{5}$、$OQ=2$代入PQ的计算公式，得PQ的最小值为：
$\sqrt{OP^2-OQ^2}=\sqrt{(\frac{12}{5})^2-2^2}=\sqrt{\frac{144}{25}-\frac{100}{25}}=\sqrt{\frac{44}{25}}=\frac{2\sqrt{11}}{5}$。
【答案】A
【知识点】切线的性质；勾股定理；垂线段最短
【点评】本题是圆与一次函数结合的常见题型，核心是运用转化思想，将切线长的最值问题转化为点到直线的距离问题，同时考查了勾股定理和面积法求高的应用，解题的关键是明确切线的性质和垂线段最短的结论。
【难度系数】0.6
要解决切线长PQ的最小值问题，首先结合切线的性质可知OQ⊥PQ，OQ是⊙O的半径为定值，因此可将PQ的长度用OP和OQ通过勾股定理表示，从而将求PQ最小值的问题转化为求OP的最小值；而P是直线AB上的动点，根据“垂线段最短”，当OP垂直于AB时，OP的长度最小；接下来先求出线段AB的长度，再用面积法求出OP的最小值，最后代入勾股定理计算PQ的最小值即可。
【解析】
连接OP、OQ。
∵PQ是⊙O的切线，Q为切点，
∴OQ⊥PQ，即△POQ为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△POQ$中，由勾股定理得：$PQ^2=OP^2-OQ^2$。
∵⊙O的半径$OQ=2$为定值，
∴当OP的长度最小时，PQ的长度取得最小值。
根据“垂线段最短”，当$OP⊥AB$时，线段OP的长度最短。
已知$A(3,0)$，$B(0,4)$，
∴$OA=3$，$OB=4$。
在$\mathrm{Rt}△AOB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
当$OP⊥AB$时，$△AOB$的面积可表示为$\frac{1}{2}AB·OP=\frac{1}{2}OA·OB$，代入数值得：
$OP=\frac{OA·OB}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
将$OP=\frac{12}{5}$、$OQ=2$代入PQ的计算公式，得PQ的最小值为：
$\sqrt{OP^2-OQ^2}=\sqrt{(\frac{12}{5})^2-2^2}=\sqrt{\frac{144}{25}-\frac{100}{25}}=\sqrt{\frac{44}{25}}=\frac{2\sqrt{11}}{5}$。
【答案】A
【知识点】切线的性质；勾股定理；垂线段最短
【点评】本题是圆与一次函数结合的常见题型，核心是运用转化思想，将切线长的最值问题转化为点到直线的距离问题，同时考查了勾股定理和面积法求高的应用，解题的关键是明确切线的性质和垂线段最短的结论。
【难度系数】0.6
