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1 若将排序后的数据分为两组，则计算组内离差平方和时 （
A.只需计算第一组的离差平方和
B.需计算两组离差平方和的总和
C.只需计算最大值与最小值的差
D.需计算两组离差平方和的平均数
B
）A.只需计算第一组的离差平方和
B.需计算两组离差平方和的总和
C.只需计算最大值与最小值的差
D.需计算两组离差平方和的平均数
答案
1. B
解析
【分析】
首先明确组内离差平方和的含义：它是衡量每组内部数据离散程度的统计量，计算规则是每组内各数据与本组平均数的差的平方之和。当数据被分为两组时，要得到完整的组内离差平方和，需要覆盖两组的离散情况，再逐一排查选项：A只算第一组会遗漏第二组数据的离散情况，错误；C的最大值减最小值是极差，和离差平方和是完全不同的统计量，错误；D计算平均数不符合总组内离差平方和的计算要求，错误，因此选B。
【解析】
组内离差平方和的定义为：每组中所有数据与本组平均数的差的平方之和，反映组内数据的波动大小。当数据被分为两组时，总的组内离差平方和为两组各自离差平方和的总和。
对各选项逐一判断：
A. 仅计算第一组的离差平方和会遗漏第二组的离散情况，不符合计算要求，错误；
B. 两组离差平方和的总和就是总的组内离差平方和，符合计算规则，正确；
C. 最大值与最小值的差是极差，和离差平方和是不同的统计量，错误；
D. 两组离差平方和的平均数不能代表总的组内离散程度，不符合计算要求，错误。
【答案】
B
【知识点】
组内离差平方和；分组合理性；统计量计算
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对组内离差平方和计算规则的理解，掌握相关统计量的定义即可快速作答。
【难度系数】
0.7
首先明确组内离差平方和的含义：它是衡量每组内部数据离散程度的统计量，计算规则是每组内各数据与本组平均数的差的平方之和。当数据被分为两组时，要得到完整的组内离差平方和，需要覆盖两组的离散情况，再逐一排查选项：A只算第一组会遗漏第二组数据的离散情况，错误；C的最大值减最小值是极差，和离差平方和是完全不同的统计量，错误；D计算平均数不符合总组内离差平方和的计算要求，错误，因此选B。
【解析】
组内离差平方和的定义为：每组中所有数据与本组平均数的差的平方之和，反映组内数据的波动大小。当数据被分为两组时，总的组内离差平方和为两组各自离差平方和的总和。
对各选项逐一判断：
A. 仅计算第一组的离差平方和会遗漏第二组的离散情况，不符合计算要求，错误；
B. 两组离差平方和的总和就是总的组内离差平方和，符合计算规则，正确；
C. 最大值与最小值的差是极差，和离差平方和是不同的统计量，错误；
D. 两组离差平方和的平均数不能代表总的组内离散程度，不符合计算要求，错误。
【答案】
B
【知识点】
组内离差平方和；分组合理性；统计量计算
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对组内离差平方和计算规则的理解，掌握相关统计量的定义即可快速作答。
【难度系数】
0.7
2 某剧团中六名演员的年龄(单位:岁)分别为26,24,29,31,28,30.若将六名演员的年龄数据分成24,26,28和29,30,31两组,则它们的组内离差平方和为 （
A.10
B.12
C.13
D.15
A
）A.10
B.12
C.13
D.15
答案
2. A
解析
【分析】
要计算两组数据的组内离差平方和，需按步骤计算：第一步分别求出每组数据的平均数，第二步对每组内的每个数据，计算该数据与本组平均数的差的平方，再将组内所有平方值求和得到每组的离差平方和，第三步将两组的离差平方和相加即可得到最终结果。
【解析】
首先计算第一组数据24,26,28的相关值：
① 第一组的平均数：$\overline{x_1}=\frac{24+26+28}{3}=26$
② 第一组的离差平方和：$S_1^2=(24-26)^2+(26-26)^2+(28-26)^2=4+0+4=8$
再计算第二组数据29,30,31的相关值：
① 第二组的平均数：$\overline{x_2}=\frac{29+30+31}{3}=30$
② 第二组的离差平方和：$S_2^2=(29-30)^2+(30-30)^2+(31-30)^2=1+0+1=2$
总组内离差平方和为$S^2=S_1^2+S_2^2=8+2=10$
【答案】
A
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算
【点评】
本题考查组内离差平方和的计算，属于基础题型，解题的核心是掌握离差平方和的计算逻辑，先求每组平均数再计算平方和累加即可，计算量小，只要细心就能得分。
【难度系数】
0.8
要计算两组数据的组内离差平方和，需按步骤计算：第一步分别求出每组数据的平均数，第二步对每组内的每个数据，计算该数据与本组平均数的差的平方，再将组内所有平方值求和得到每组的离差平方和，第三步将两组的离差平方和相加即可得到最终结果。
【解析】
首先计算第一组数据24,26,28的相关值：
① 第一组的平均数：$\overline{x_1}=\frac{24+26+28}{3}=26$
② 第一组的离差平方和：$S_1^2=(24-26)^2+(26-26)^2+(28-26)^2=4+0+4=8$
再计算第二组数据29,30,31的相关值：
① 第二组的平均数：$\overline{x_2}=\frac{29+30+31}{3}=30$
② 第二组的离差平方和：$S_2^2=(29-30)^2+(30-30)^2+(31-30)^2=1+0+1=2$
总组内离差平方和为$S^2=S_1^2+S_2^2=8+2=10$
【答案】
A
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算
【点评】
本题考查组内离差平方和的计算，属于基础题型，解题的核心是掌握离差平方和的计算逻辑，先求每组平均数再计算平方和累加即可，计算量小，只要细心就能得分。
【难度系数】
0.8
3 科研人员选出10株植物，在同等实验条件下，测量它们光合作用速率(单位：$μ mol· m^{-2}· s^{-1}$)统计结果为35,30,23,17,20,25,32,30,33,35.若按照“组内离差平方和达到最小”法，则需先将数据由
小
到大
排序，再将这10株植物分成两组，此时共可以分成9
种情况。答案
3. 小 大 9
解析
【分析】
首先回忆“组内离差平方和达到最小”的分组原则：该原则要求先对数据按大小排序，保证组内数据取值尽可能接近，才能让组内离差平方和最小，排序方向通常是从小到大。接下来思考分组的计数方法：要满足组内离差平方和最小，分组不能打乱数据的排序，只能在相邻两个数据之间划界，10个有序数据共有9个相邻间隔，每个间隔对应1种分法，即可得到总情况数。
【解析】
1. 依据“组内离差平方和达到最小”的分组要求，首先需要将数据由小到大排序，确保后续分组时组内数据差异尽可能小，符合分组合理性要求。
2. 对已经排序的10个数据分组时，不能打乱数据顺序交叉分组，分界点只能选择在相邻两个数据之间。10个数据共有$10-1=9$个相邻间隔，每个间隔对应1种分组方式，因此共有9种分组情况。
【答案】
小；大；9
【知识点】
1. 分组合理性原则
2. 数据排序
3. 分组计数
【点评】
这道题考查合理分组的相关知识，核心是理解“组内离差平方和最小”的分组前提是数据有序，只能在相邻数据间划分分界点，易错点是忽略有序要求，误将分组算成任意组合的情况。
【难度系数】
0.6
首先回忆“组内离差平方和达到最小”的分组原则：该原则要求先对数据按大小排序，保证组内数据取值尽可能接近，才能让组内离差平方和最小，排序方向通常是从小到大。接下来思考分组的计数方法：要满足组内离差平方和最小，分组不能打乱数据的排序，只能在相邻两个数据之间划界，10个有序数据共有9个相邻间隔，每个间隔对应1种分法，即可得到总情况数。
【解析】
1. 依据“组内离差平方和达到最小”的分组要求，首先需要将数据由小到大排序，确保后续分组时组内数据差异尽可能小，符合分组合理性要求。
2. 对已经排序的10个数据分组时，不能打乱数据顺序交叉分组，分界点只能选择在相邻两个数据之间。10个数据共有$10-1=9$个相邻间隔，每个间隔对应1种分组方式，因此共有9种分组情况。
【答案】
小；大；9
【知识点】
1. 分组合理性原则
2. 数据排序
3. 分组计数
【点评】
这道题考查合理分组的相关知识，核心是理解“组内离差平方和最小”的分组前提是数据有序，只能在相邻数据间划分分界点，易错点是忽略有序要求，误将分组算成任意组合的情况。
【难度系数】
0.6
4 若把5个数据－2,3,2,8,4分成{－2,2}和{3,4,8}两组,则这种分组情况的组内离差平方和为
22
.答案
4. 22
解析
【分析】
要计算分组后的组内离差平方和，首先明确计算逻辑：先分别求出每组数据的平均值，再计算每组内各数据与本组平均值的差的平方之和，最后将两组的离差平方和相加即可得到最终结果。我们可以先计算第一组的离差平方和，再计算第二组的，最后求和。
【解析】
1. 计算第一组$\{-2,2\}$的离差平方和：
第一组的平均值：$\bar{x}_1=\frac{-2+2}{2}=0$
第一组离差平方和：$(-2-0)^2+(2-0)^2=4+4=8$
2. 计算第二组$\{3,4,8\}$的离差平方和：
第二组的平均值：$\bar{x}_2=\frac{3+4+8}{3}=5$
第二组离差平方和：$(3-5)^2+(4-5)^2+(8-5)^2=4+1+9=14$
3. 总组内离差平方和：$8+14=22$
【答案】
22
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算
【点评】
本题核心考查组内离差平方和的计算方法，解题步骤清晰，只要牢记计算规则，先求每组均值、再算各组离差平方和、最后求和即可，计算时注意平方运算和加法运算的准确性，避免低级错误。
【难度系数】
0.7
要计算分组后的组内离差平方和，首先明确计算逻辑：先分别求出每组数据的平均值，再计算每组内各数据与本组平均值的差的平方之和，最后将两组的离差平方和相加即可得到最终结果。我们可以先计算第一组的离差平方和，再计算第二组的，最后求和。
【解析】
1. 计算第一组$\{-2,2\}$的离差平方和：
第一组的平均值：$\bar{x}_1=\frac{-2+2}{2}=0$
第一组离差平方和：$(-2-0)^2+(2-0)^2=4+4=8$
2. 计算第二组$\{3,4,8\}$的离差平方和：
第二组的平均值：$\bar{x}_2=\frac{3+4+8}{3}=5$
第二组离差平方和：$(3-5)^2+(4-5)^2+(8-5)^2=4+1+9=14$
3. 总组内离差平方和：$8+14=22$
【答案】
22
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算
【点评】
本题核心考查组内离差平方和的计算方法，解题步骤清晰，只要牢记计算规则，先求每组均值、再算各组离差平方和、最后求和即可，计算时注意平方运算和加法运算的准确性，避免低级错误。
【难度系数】
0.7
5 某小组8名学生的数学考试成绩(单位:分)分别为88,98,87,92,92,90,91,96,老师决定将这些成绩分为两组,以便更好地分析学生的成绩分布.若按照以下分组方式:第一组{87,88,90,91,92,92},第二组{96,98},求组内离差平方和.
答案
5. 第一组数据的平均数为$\frac{1}{6} × (87+88+90+91+92+92)=90$,第一组数据的离差平方和为$(87-90)^2+(88-90)^2+\dots+(92-90)^2=22$,第二组数据的平均数为$\frac{1}{2} × (96+98)=97$,第二组数据的离差平方和为$(96-97)^2+(98-97)^2=2$,$\therefore$ 组内离差平方和为$22+2=24$
解析
【分析】
要计算组内离差平方和，首先明确计算逻辑：组内离差平方和等于各组的离差平方和之和。具体解题步骤为：第一步分别计算两组数据各自的平均数；第二步分别计算每组内每个数据与本组平均数的差的平方，再将同组的平方值相加，得到每组的离差平方和；第三步将两组的离差平方和相加，即可得到最终结果。
【解析】
1. 计算第一组的相关数据：
第一组数据为87,88,90,91,92,92，共6个数据
第一组平均数：$\bar{x}_1=\frac{1}{6}×(87+88+90+91+92+92)=90$
第一组离差平方和：
$S_1=(87-90)^2+(88-90)^2+(90-90)^2+(91-90)^2+(92-90)^2+(92-90)^2$
$=9+4+0+1+4+4=22$
2. 计算第二组的相关数据：
第二组数据为96,98，共2个数据
第二组平均数：$\bar{x}_2=\frac{1}{2}×(96+98)=97$
第二组离差平方和：
$S_2=(96-97)^2+(98-97)^2=1+1=2$
3. 计算总组内离差平方和：
$S=S_1+S_2=22+2=24$
【答案】
24
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算
【点评】
本题考查分组数据的组内离差平方和计算，解题核心是严格遵循计算步骤，先求每组平均数，再计算每组的离差平方和，最后求和即可，计算过程中需注意运算准确性，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.7
要计算组内离差平方和，首先明确计算逻辑：组内离差平方和等于各组的离差平方和之和。具体解题步骤为：第一步分别计算两组数据各自的平均数；第二步分别计算每组内每个数据与本组平均数的差的平方，再将同组的平方值相加，得到每组的离差平方和；第三步将两组的离差平方和相加，即可得到最终结果。
【解析】
1. 计算第一组的相关数据：
第一组数据为87,88,90,91,92,92，共6个数据
第一组平均数：$\bar{x}_1=\frac{1}{6}×(87+88+90+91+92+92)=90$
第一组离差平方和：
$S_1=(87-90)^2+(88-90)^2+(90-90)^2+(91-90)^2+(92-90)^2+(92-90)^2$
$=9+4+0+1+4+4=22$
2. 计算第二组的相关数据：
第二组数据为96,98，共2个数据
第二组平均数：$\bar{x}_2=\frac{1}{2}×(96+98)=97$
第二组离差平方和：
$S_2=(96-97)^2+(98-97)^2=1+1=2$
3. 计算总组内离差平方和：
$S=S_1+S_2=22+2=24$
【答案】
24
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算
【点评】
本题考查分组数据的组内离差平方和计算，解题核心是严格遵循计算步骤，先求每组平均数，再计算每组的离差平方和，最后求和即可，计算过程中需注意运算准确性，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.7
6 已知数据7,9,11,10,9.有两种分组方案:方案一,将数据的第1个数一组,后4个数一组.方案二,将数据的前2个数一组,后3个数一组.请选出合理的分组方案,并说明理由.
答案
6. 方案一的分组合理 理由:将数据按从小到大的顺序排列:7,9,9,10,11.方案一中的第1组:7;第2组:9,9,10,11,$\therefore \overline{x}_1=7$,$\overline{x}_2=\frac{1}{4} × (9+9+10+11)=9.75$,$\therefore S_1^2=0$,$S_2^2=2 × (9-9.75)^2+(10-9.75)^2+(11-9.75)^2=2.75$,$\therefore S_1^2+S_2^2=2.75$.方案二中的第1组:7,9;第2组:9,10,11,$\therefore \overline{x}_1=\frac{1}{2} × (7+9)=8$,$\overline{x}_2=\frac{1}{3} × (9+10+11)=10$,$\therefore S_1^2=(7-8)^2+(9-8)^2=2$,$S_2^2=(9-10)^2+(10-10)^2+(11-10)^2=2$,$\therefore S_1^2+S_2^2=4$.$\because 2.75＜4$,$\therefore$ 方案一的分组合理.
解析
【分析】
判断分组合理性的核心是组内数据的差异尽可能小，方差是衡量数据波动程度的统计量，两组的组内方差之和越小，说明分组后每组内部数据整体波动越小，分组越合理。解题时先分别计算两种分组方案下每组的平均数，再计算每组的方差并求和，最后比较两个和的大小，和更小的分组方案更合理。
【解析】
先将数据按从小到大的顺序排列：7,9,9,10,11。
计算方案一的方差和
方案一第1组：7；第2组：9,9,10,11
$\overline{x}_1=7$，$\overline{x}_2=\frac{1}{4} × (9+9+10+11)=9.75$
$S_1^2=0$，$S_2^2=2 × (9-9.75)^2+(10-9.75)^2+(11-9.75)^2=2.75$
方案一的方差和：$S_1^2+S_2^2=2.75$
计算方案二的方差和
方案二第1组：7,9；第2组：9,10,11
$\overline{x}_1=\frac{1}{2} × (7+9)=8$，$\overline{x}_2=\frac{1}{3} × (9+10+11)=10$
$S_1^2=(7-8)^2+(9-8)^2=2$，$S_2^2=(9-10)^2+(10-10)^2+(11-10)^2=2$
方案二的方差和：$S_1^2+S_2^2=4$
因为$2.75＜4$，所以方案一的分组更合理。
【答案】
方案一的分组合理，理由：方案一的两组方差和为2.75，小于方案二的方差和4，因此方案一分组更合理。
【知识点】
平均数计算，方差计算，分组合理性判断
【点评】
本题侧重考查方差在实际分组问题中的应用，解题关键是明确组内方差和越小，分组后每组内部数据的相似度越高，分组越合理，计算过程中需注意平均数和方差的运算准确性。
【难度系数】
0.7
判断分组合理性的核心是组内数据的差异尽可能小，方差是衡量数据波动程度的统计量，两组的组内方差之和越小，说明分组后每组内部数据整体波动越小，分组越合理。解题时先分别计算两种分组方案下每组的平均数，再计算每组的方差并求和，最后比较两个和的大小，和更小的分组方案更合理。
【解析】
先将数据按从小到大的顺序排列：7,9,9,10,11。
计算方案一的方差和
方案一第1组：7；第2组：9,9,10,11
$\overline{x}_1=7$，$\overline{x}_2=\frac{1}{4} × (9+9+10+11)=9.75$
$S_1^2=0$，$S_2^2=2 × (9-9.75)^2+(10-9.75)^2+(11-9.75)^2=2.75$
方案一的方差和：$S_1^2+S_2^2=2.75$
计算方案二的方差和
方案二第1组：7,9；第2组：9,10,11
$\overline{x}_1=\frac{1}{2} × (7+9)=8$，$\overline{x}_2=\frac{1}{3} × (9+10+11)=10$
$S_1^2=(7-8)^2+(9-8)^2=2$，$S_2^2=(9-10)^2+(10-10)^2+(11-10)^2=2$
方案二的方差和：$S_1^2+S_2^2=4$
因为$2.75＜4$，所以方案一的分组更合理。
【答案】
方案一的分组合理，理由：方案一的两组方差和为2.75，小于方案二的方差和4，因此方案一分组更合理。
【知识点】
平均数计算，方差计算，分组合理性判断
【点评】
本题侧重考查方差在实际分组问题中的应用，解题关键是明确组内方差和越小，分组后每组内部数据的相似度越高，分组越合理，计算过程中需注意平均数和方差的运算准确性。
【难度系数】
0.7
