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1 某快递站点5天的日派件量数据如下表(有两个数据被遮盖)：
被遮盖的两个数据依次是 （
A.105,18
B.108,36
C.105,27
D.108,27
被遮盖的两个数据依次是 （
B
）A.105,18
B.108,36
C.105,27
D.108,27
答案
1. B
解析
【分析】
解题思路分为两步：首先利用平均数的计算公式，先求出被遮盖的第3个数据；再将求出的第3个数据代入，根据方差计算公式算出方差，即可得到两个被遮盖的数据，对应选项选出答案即可。
【解析】
1. 求编号3的被遮盖数据：
设编号3的数据为$x$，根据平均数公式$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}$，已知平均数为111，可得：
$\frac{114+102+x+111+120}{5}=111$
$114+102+x+111+120=111×5=555$
$447+x=555$
解得$x=108$。
2. 求方差：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入数据计算：
$s^2=\frac{1}{5}[(114-111)^2+(102-111)^2+(108-111)^2+(111-111)^2+(120-111)^2]$
$=\frac{1}{5}[3^2+(-9)^2+(-3)^2+0^2+9^2]$
$=\frac{1}{5}(9+81+9+0+81)=\frac{180}{5}=36$
因此两个被遮盖的数据依次为108、36。
【答案】
B
【知识点】
平均数计算，方差计算
【点评】
本题核心考查平均数和方差的基础公式应用，只要牢记两个公式的计算方法，按步骤计算即可得出结果，属于基础类题型，运算时注意细心即可避免出错。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：首先利用平均数的计算公式，先求出被遮盖的第3个数据；再将求出的第3个数据代入，根据方差计算公式算出方差，即可得到两个被遮盖的数据，对应选项选出答案即可。
【解析】
1. 求编号3的被遮盖数据：
设编号3的数据为$x$，根据平均数公式$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}$，已知平均数为111，可得：
$\frac{114+102+x+111+120}{5}=111$
$114+102+x+111+120=111×5=555$
$447+x=555$
解得$x=108$。
2. 求方差：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入数据计算：
$s^2=\frac{1}{5}[(114-111)^2+(102-111)^2+(108-111)^2+(111-111)^2+(120-111)^2]$
$=\frac{1}{5}[3^2+(-9)^2+(-3)^2+0^2+9^2]$
$=\frac{1}{5}(9+81+9+0+81)=\frac{180}{5}=36$
因此两个被遮盖的数据依次为108、36。
【答案】
B
【知识点】
平均数计算，方差计算
【点评】
本题核心考查平均数和方差的基础公式应用，只要牢记两个公式的计算方法，按步骤计算即可得出结果，属于基础类题型，运算时注意细心即可避免出错。
【难度系数】
0.8
2 新情境 生活实际 某学校生物兴趣小组11人到校外采集植物标本，其中2人每人采集到6件，4人每人采集到3件，5人每人采集到4件，则该兴趣小组采集标本件数的方差为
1.09
（结果精确到0.01）。答案
2. 1. 09
解析
【分析】
要计算该兴趣小组采集标本件数的方差，首先需先算出11人采集标本件数的加权平均数，再根据方差的定义，计算每个数据与平均数差的平方的加权平均值，最后将结果按要求精确到0.01即可。
【解析】
第一步：计算采集标本件数的加权平均数$\overline{x}$
总采集件数为：$2×6 + 4×3 +5×4=12+12+20=44$（件）
加权平均数：$\overline{x}=\frac{44}{11}=4$（件）
第二步：根据方差公式计算方差$s^2$
方差公式为$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_i(x_i-\overline{x})^2$，其中$n$为总人数，$n_i$为各组人数，$x_i$为各组采集件数：
代入数据得：
$s^2=\frac{1}{11}[2×(6-4)^2 +4×(3-4)^2 +5×(4-4)^2]$
$=\frac{1}{11}(2×4 +4×1 +5×0)$
$=\frac{12}{11}\approx1.09$
【答案】
$1.09$
【知识点】
加权平均数计算，方差计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查统计量的运算，解题时要准确识别分组数据的权重，正确代入加权平均数和方差公式计算，注意最终结果要按要求保留小数位数。
【难度系数】
0.75
要计算该兴趣小组采集标本件数的方差，首先需先算出11人采集标本件数的加权平均数，再根据方差的定义，计算每个数据与平均数差的平方的加权平均值，最后将结果按要求精确到0.01即可。
【解析】
第一步：计算采集标本件数的加权平均数$\overline{x}$
总采集件数为：$2×6 + 4×3 +5×4=12+12+20=44$（件）
加权平均数：$\overline{x}=\frac{44}{11}=4$（件）
第二步：根据方差公式计算方差$s^2$
方差公式为$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_i(x_i-\overline{x})^2$，其中$n$为总人数，$n_i$为各组人数，$x_i$为各组采集件数：
代入数据得：
$s^2=\frac{1}{11}[2×(6-4)^2 +4×(3-4)^2 +5×(4-4)^2]$
$=\frac{1}{11}(2×4 +4×1 +5×0)$
$=\frac{12}{11}\approx1.09$
【答案】
$1.09$
【知识点】
加权平均数计算，方差计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查统计量的运算，解题时要准确识别分组数据的权重，正确代入加权平均数和方差公式计算，注意最终结果要按要求保留小数位数。
【难度系数】
0.75
3 [2025青岛]为弘扬传统文化、培养学生的劳动意识，某校在端午节期间举行了包粽子活动，每个粽子的标准质量为100 g. 甲、乙两名同学各包了5个粽子，每个粽子的质量(单位:g)如下：
甲:103,99,100,101,97；乙:99,103,105,95,98.
甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是
甲:103,99,100,101,97；乙:99,103,105,95,98.
甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是
甲
(填“甲”或“乙”).答案
3. 甲
解析
【分析】
要判断谁包的粽子质量更稳定，需比较两组数据的波动程度，统计学中用方差衡量数据波动大小：方差越小，数据波动越小、稳定性越好。解题步骤为：第一步分别计算甲、乙两组数据的平均数，第二步根据方差公式计算两组数据的方差，第三步比较方差大小，方差更小的一方质量更稳定。
【解析】
首先计算两组数据的平均数：
甲的平均数$\overline{x}_甲=\frac{103+99+100+101+97}{5}=\frac{500}{5}=100$（g）
乙的平均数$\overline{x}_乙=\frac{99+103+105+95+98}{5}=\frac{500}{5}=100$（g）
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算方差：
甲的方差$s^2_甲=\frac{1}{5}[(103-100)^2+(99-100)^2+(100-100)^2+(101-100)^2+(97-100)^2]$
$=\frac{1}{5}(9+1+0+1+9)=\frac{20}{5}=4$
乙的方差$s^2_乙=\frac{1}{5}[(99-100)^2+(103-100)^2+(105-100)^2+(95-100)^2+(98-100)^2]$
$=\frac{1}{5}(1+9+25+25+4)=\frac{64}{5}=12.8$
因为$4＜12.8$，即$s^2_甲＜s^2_乙$，所以甲包的粽子质量更稳定。
【答案】
甲
【知识点】
方差的意义；方差的计算
【点评】
本题结合生活实际考查方差的应用，解题核心是理解“方差越小数据稳定性越强”的性质，熟练掌握平均数和方差的运算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断谁包的粽子质量更稳定，需比较两组数据的波动程度，统计学中用方差衡量数据波动大小：方差越小，数据波动越小、稳定性越好。解题步骤为：第一步分别计算甲、乙两组数据的平均数，第二步根据方差公式计算两组数据的方差，第三步比较方差大小，方差更小的一方质量更稳定。
【解析】
首先计算两组数据的平均数：
甲的平均数$\overline{x}_甲=\frac{103+99+100+101+97}{5}=\frac{500}{5}=100$（g）
乙的平均数$\overline{x}_乙=\frac{99+103+105+95+98}{5}=\frac{500}{5}=100$（g）
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算方差：
甲的方差$s^2_甲=\frac{1}{5}[(103-100)^2+(99-100)^2+(100-100)^2+(101-100)^2+(97-100)^2]$
$=\frac{1}{5}(9+1+0+1+9)=\frac{20}{5}=4$
乙的方差$s^2_乙=\frac{1}{5}[(99-100)^2+(103-100)^2+(105-100)^2+(95-100)^2+(98-100)^2]$
$=\frac{1}{5}(1+9+25+25+4)=\frac{64}{5}=12.8$
因为$4＜12.8$，即$s^2_甲＜s^2_乙$，所以甲包的粽子质量更稳定。
【答案】
甲
【知识点】
方差的意义；方差的计算
【点评】
本题结合生活实际考查方差的应用，解题核心是理解“方差越小数据稳定性越强”的性质，熟练掌握平均数和方差的运算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4 利用计算器计算下面各组数据的方差：
(1) 100,200,300,400,500；
(2) 15.3%,12.7%,15.3%,14.5%,17.1%.
(1) 100,200,300,400,500；
(2) 15.3%,12.7%,15.3%,14.5%,17.1%.
答案
4. (1) 20 000
(2) 2.025 6×10^-4
(2) 2.025 6×10^-4
解析
【分析】
计算方差的核心思路是先求出一组数据的平均数，再计算每个数据与平均数的差的平方的平均值，即为方差。解题时可选择两种方法：①手动计算按照“求平均数→计算各数据与平均数的差的平方→求平方和→除以数据总个数”四步操作；②用计算器计算时先切换到统计模式，依次输入所有数据后调用方差计算功能，可直接得到结果，注意第二组数据是百分数，计算时要注意数值统一，避免出错。
【解析】
(1) 计算第一组数据的方差：
第一步：求平均数
$\overline{x}_1=\frac{100+200+300+400+500}{5}=300$
第二步：代入方差公式计算
$s^2_1=\frac{1}{5}×[(100-300)^2+(200-300)^2+(300-300)^2+(400-300)^2+(500-300)^2]$
$=\frac{1}{5}×(40000+10000+0+10000+40000)=\frac{100000}{5}=20000$
用计算器输入5个数据后也可直接得到方差为20000。
(2) 计算第二组数据的方差：
第一步：求平均数
$\overline{x}_2=\frac{15.3\%+12.7\%+15.3\%+14.5\%+17.1\%}{5}=14.98\%$
第二步：代入方差公式计算
$s^2_2=\frac{1}{5}×[(15.3\%-14.98\%)^2+(12.7\%-14.98\%)^2+(15.3\%-14.98\%)^2+(14.5\%-14.98\%)^2+(17.1\%-14.98\%)^2]$
$=\frac{1}{5}×[(0.32\%)^2+(-2.28\%)^2+(0.32\%)^2+(-0.48\%)^2+(2.12\%)^2]$
$=\frac{1}{5}×0.0010128=2.0256×10^{-4}$
用计算器输入对应百分数数据后也可直接得到该结果。
【答案】
(1) $\boxed{20000}$
(2) $\boxed{2.0256×10^{-4}}$
【知识点】
方差的计算，平均数的计算，计算器统计功能使用
【点评】
本题考查方差的求解方法，既可以遵循方差定义手动分步计算，也可以借助计算器提高计算效率，计算时要注意特殊形式的数据（如本题的百分数），避免换算错误。
【难度系数】
0.8
计算方差的核心思路是先求出一组数据的平均数，再计算每个数据与平均数的差的平方的平均值，即为方差。解题时可选择两种方法：①手动计算按照“求平均数→计算各数据与平均数的差的平方→求平方和→除以数据总个数”四步操作；②用计算器计算时先切换到统计模式，依次输入所有数据后调用方差计算功能，可直接得到结果，注意第二组数据是百分数，计算时要注意数值统一，避免出错。
【解析】
(1) 计算第一组数据的方差：
第一步：求平均数
$\overline{x}_1=\frac{100+200+300+400+500}{5}=300$
第二步：代入方差公式计算
$s^2_1=\frac{1}{5}×[(100-300)^2+(200-300)^2+(300-300)^2+(400-300)^2+(500-300)^2]$
$=\frac{1}{5}×(40000+10000+0+10000+40000)=\frac{100000}{5}=20000$
用计算器输入5个数据后也可直接得到方差为20000。
(2) 计算第二组数据的方差：
第一步：求平均数
$\overline{x}_2=\frac{15.3\%+12.7\%+15.3\%+14.5\%+17.1\%}{5}=14.98\%$
第二步：代入方差公式计算
$s^2_2=\frac{1}{5}×[(15.3\%-14.98\%)^2+(12.7\%-14.98\%)^2+(15.3\%-14.98\%)^2+(14.5\%-14.98\%)^2+(17.1\%-14.98\%)^2]$
$=\frac{1}{5}×[(0.32\%)^2+(-2.28\%)^2+(0.32\%)^2+(-0.48\%)^2+(2.12\%)^2]$
$=\frac{1}{5}×0.0010128=2.0256×10^{-4}$
用计算器输入对应百分数数据后也可直接得到该结果。
【答案】
(1) $\boxed{20000}$
(2) $\boxed{2.0256×10^{-4}}$
【知识点】
方差的计算，平均数的计算，计算器统计功能使用
【点评】
本题考查方差的求解方法，既可以遵循方差定义手动分步计算，也可以借助计算器提高计算效率，计算时要注意特殊形式的数据（如本题的百分数），避免换算错误。
【难度系数】
0.8
5 某学校九年级(1)班慧慧、聪聪两名学生入学以来10次数学检测成绩(单位:分)如下表：
（1）利用计算器分别求出慧慧和聪聪成绩的平均数.
（2）利用计算器分别计算慧慧和聪聪成绩的方差.
（3）根据(1)(2)中的数据,你认为选谁参加全国数学竞赛较合适?请说明理由.
（1）利用计算器分别求出慧慧和聪聪成绩的平均数.
（2）利用计算器分别计算慧慧和聪聪成绩的方差.
（3）根据(1)(2)中的数据,你认为选谁参加全国数学竞赛较合适?请说明理由.
答案
5. (1) 慧慧成绩的平均数为124分,聪聪成绩的平均数为122分
(2) 慧慧成绩的方差为13.2,聪聪成绩的方差为17.2
(3) 选慧慧参加全国数学竞赛较合适 理由:根据(1)可知慧慧的平均成绩大于聪聪的平均成绩,根据(2)可知慧慧成绩的方差小于聪聪成绩的方差.
∵ 方差越小越稳定,
∴ 慧慧的成绩比聪聪的好且稳定,
∴ 选慧慧参加全国数学竞赛较合适.
(2) 慧慧成绩的方差为13.2,聪聪成绩的方差为17.2
(3) 选慧慧参加全国数学竞赛较合适 理由:根据(1)可知慧慧的平均成绩大于聪聪的平均成绩,根据(2)可知慧慧成绩的方差小于聪聪成绩的方差.
∵ 方差越小越稳定,
∴ 慧慧的成绩比聪聪的好且稳定,
∴ 选慧慧参加全国数学竞赛较合适.
解析
【分析】
本题可分为三步求解：
1. 计算平均数：算术平均数等于所有数据之和除以数据的总个数，两人均有10次检测成绩，分别将两人的10个成绩相加，再除以10即可得到各自的平均成绩。
2. 计算方差：依据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$（其中$\bar{x}$是平均数，n是数据个数），代入两人的平均数和对应成绩，计算后即可得到各自的方差。
3. 选拔参赛人员：平均数反映数据的平均水平，方差反映数据的波动程度，方差越小说明成绩越稳定，对比两人的平均数和方差，选择平均成绩更高、发挥更稳定的人员参赛即可。
【解析】
（1）计算平均数：
慧慧的成绩总和：$116+124+130+126+121+127+126+122+125+123=1240$（分）
慧慧的平均数：$\bar{x}_慧=\frac{1240}{10}=124$（分）
聪聪的成绩总和：$122+124+125+128+119+120+121+128+114+119=1220$（分）
聪聪的平均数：$\bar{x}_聪=\frac{1220}{10}=122$（分）
（2）计算方差：
慧慧的方差：
$s^2_慧=\frac{1}{10}[(116-124)^2+(124-124)^2+(130-124)^2+(126-124)^2+(121-124)^2+(127-124)^2+(126-124)^2+(122-124)^2+(125-124)^2+(123-124)^2]$
$=\frac{1}{10}×(64+0+36+4+9+9+4+4+1+1)=\frac{132}{10}=13.2$
聪聪的方差：
$s^2_聪=\frac{1}{10}[(122-122)^2+(124-122)^2+(125-122)^2+(128-122)^2+(119-122)^2+(120-122)^2+(121-122)^2+(128-122)^2+(114-122)^2+(119-122)^2]$
$=\frac{1}{10}×(0+4+9+36+9+4+1+36+64+9)=\frac{172}{10}=17.2$
（3）参赛选择：
对比两人的统计量可知，慧慧平均成绩更高，说明整体数学水平更好，同时方差更小，说明成绩波动更小、发挥更稳定，因此选慧慧参加竞赛更合适。
【答案】
(1) 慧慧成绩的平均数为124分,聪聪成绩的平均数为122分
(2) 慧慧成绩的方差为13.2,聪聪成绩的方差为17.2
(3) 选慧慧参加全国数学竞赛较合适 理由:根据(1)可知慧慧的平均成绩大于聪聪的平均成绩,根据(2)可知慧慧成绩的方差小于聪聪成绩的方差。
∵ 方差越小越稳定,
∴ 慧慧的成绩比聪聪的好且稳定,
∴ 选慧慧参加全国数学竞赛较合适。
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题结合实际选拔场景，考查统计中平均数和方差两个核心统计量的计算与应用，既需要掌握基础的计算方法，也需要理解不同统计量的实际含义，能够结合数据特征做出合理决策，属于统计模块的常规应用题型。
【难度系数】
0.8
本题可分为三步求解：
1. 计算平均数：算术平均数等于所有数据之和除以数据的总个数，两人均有10次检测成绩，分别将两人的10个成绩相加，再除以10即可得到各自的平均成绩。
2. 计算方差：依据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$（其中$\bar{x}$是平均数，n是数据个数），代入两人的平均数和对应成绩，计算后即可得到各自的方差。
3. 选拔参赛人员：平均数反映数据的平均水平，方差反映数据的波动程度，方差越小说明成绩越稳定，对比两人的平均数和方差，选择平均成绩更高、发挥更稳定的人员参赛即可。
【解析】
（1）计算平均数：
慧慧的成绩总和：$116+124+130+126+121+127+126+122+125+123=1240$（分）
慧慧的平均数：$\bar{x}_慧=\frac{1240}{10}=124$（分）
聪聪的成绩总和：$122+124+125+128+119+120+121+128+114+119=1220$（分）
聪聪的平均数：$\bar{x}_聪=\frac{1220}{10}=122$（分）
（2）计算方差：
慧慧的方差：
$s^2_慧=\frac{1}{10}[(116-124)^2+(124-124)^2+(130-124)^2+(126-124)^2+(121-124)^2+(127-124)^2+(126-124)^2+(122-124)^2+(125-124)^2+(123-124)^2]$
$=\frac{1}{10}×(64+0+36+4+9+9+4+4+1+1)=\frac{132}{10}=13.2$
聪聪的方差：
$s^2_聪=\frac{1}{10}[(122-122)^2+(124-122)^2+(125-122)^2+(128-122)^2+(119-122)^2+(120-122)^2+(121-122)^2+(128-122)^2+(114-122)^2+(119-122)^2]$
$=\frac{1}{10}×(0+4+9+36+9+4+1+36+64+9)=\frac{172}{10}=17.2$
（3）参赛选择：
对比两人的统计量可知，慧慧平均成绩更高，说明整体数学水平更好，同时方差更小，说明成绩波动更小、发挥更稳定，因此选慧慧参加竞赛更合适。
【答案】
(1) 慧慧成绩的平均数为124分,聪聪成绩的平均数为122分
(2) 慧慧成绩的方差为13.2,聪聪成绩的方差为17.2
(3) 选慧慧参加全国数学竞赛较合适 理由:根据(1)可知慧慧的平均成绩大于聪聪的平均成绩,根据(2)可知慧慧成绩的方差小于聪聪成绩的方差。
∵ 方差越小越稳定,
∴ 慧慧的成绩比聪聪的好且稳定,
∴ 选慧慧参加全国数学竞赛较合适。
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题结合实际选拔场景，考查统计中平均数和方差两个核心统计量的计算与应用，既需要掌握基础的计算方法，也需要理解不同统计量的实际含义，能够结合数据特征做出合理决策，属于统计模块的常规应用题型。
【难度系数】
0.8
