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1 [2024聊城]如图，AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN.若∠ABN=120°，则n的值为（
A.12
B.10
C.8
D.6
（第1题）
A
）A.12
B.10
C.8
D.6
（第1题）答案
1. A
解析
【分析】
解题思路分为两步：首先结合正方形内角为90°、已知∠ABN=120°，利用周角为360°求出正n边形的内角度数；再将内角代入正多边形内角公式，列方程求解n的值即可。
【解析】
∵ 四边形BCMN是正方形，
∴ ∠NBC=90°，
∵ 点B处∠ABN、∠NBC、∠ABC之和为周角360°，且∠ABN=120°，
∴ 正n边形的内角∠ABC = 360° - 120° - 90° = 150°，
根据正n边形内角公式：正n边形每个内角度数 = $\frac{(n-2)×180°}{n}$，代入得：
$\frac{(n-2)×180°}{n}$ = 150°，
去分母得：180(n-2) = 150n，
展开得：180n - 360 = 150n，
移项合并同类项得：30n = 360，
解得：n=12。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质、正多边形内角公式、周角的定义
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题，核心是先求出正多边形的内角度数，再代入公式列方程求解，考查学生对基础几何性质和公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：首先结合正方形内角为90°、已知∠ABN=120°，利用周角为360°求出正n边形的内角度数；再将内角代入正多边形内角公式，列方程求解n的值即可。
【解析】
∵ 四边形BCMN是正方形，
∴ ∠NBC=90°，
∵ 点B处∠ABN、∠NBC、∠ABC之和为周角360°，且∠ABN=120°，
∴ 正n边形的内角∠ABC = 360° - 120° - 90° = 150°，
根据正n边形内角公式：正n边形每个内角度数 = $\frac{(n-2)×180°}{n}$，代入得：
$\frac{(n-2)×180°}{n}$ = 150°，
去分母得：180(n-2) = 150n，
展开得：180n - 360 = 150n，
移项合并同类项得：30n = 360，
解得：n=12。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质、正多边形内角公式、周角的定义
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题，核心是先求出正多边形的内角度数，再代入公式列方程求解，考查学生对基础几何性质和公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
2 如图，正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，点P在AB上，Q是DE的中点，则$∠ CPQ$的度数为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$36°$
D.$60°$
B
）A.$30°$
B.$45°$
C.$36°$
D.$60°$
答案
2. B
解析
【分析】
要解决本题，可结合正六边形的性质与圆周角定理推导：首先正六边形内接于圆时，每条边对应的劣弧度数相等，均为360°÷6=60°；其次圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，因此只需先求出∠CPQ所对弧的度数，再除以2即可得到角的度数。解题时先根据正六边形性质得到各段劣弧的度数，再结合Q是DE中点求出弧DQ的度数，进而得到∠CPQ所对弧的度数，最后用圆周角定理计算即可。
【解析】
∵正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴正六边形每条边所对的劣弧度数为$\frac{360°}{6}=60°$，即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=60°$。
∵Q是DE的中点，
∴$\overset{\frown}{DQ}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{DE}=\frac{1}{2}×60°=30°$。
∠CPQ为圆周角，其所对的弧为$\overset{\frown}{CQ}$，$\overset{\frown}{CQ}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DQ}=60°+30°=90°$。
根据圆周角定理，得$∠ CPQ=\frac{1}{2}\overset{\frown}{CQ}=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆；弧的度数计算；圆周角定理
【点评】
本题是正多边形与圆和圆周角定理结合的基础题型，解题的关键是准确把握正六边形各段对应弧的度数，正确找到圆周角所对的弧，解题思路清晰，属于常考基础题。
【难度系数】
0.7
要解决本题，可结合正六边形的性质与圆周角定理推导：首先正六边形内接于圆时，每条边对应的劣弧度数相等，均为360°÷6=60°；其次圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，因此只需先求出∠CPQ所对弧的度数，再除以2即可得到角的度数。解题时先根据正六边形性质得到各段劣弧的度数，再结合Q是DE中点求出弧DQ的度数，进而得到∠CPQ所对弧的度数，最后用圆周角定理计算即可。
【解析】
∵正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴正六边形每条边所对的劣弧度数为$\frac{360°}{6}=60°$，即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=60°$。
∵Q是DE的中点，
∴$\overset{\frown}{DQ}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{DE}=\frac{1}{2}×60°=30°$。
∠CPQ为圆周角，其所对的弧为$\overset{\frown}{CQ}$，$\overset{\frown}{CQ}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DQ}=60°+30°=90°$。
根据圆周角定理，得$∠ CPQ=\frac{1}{2}\overset{\frown}{CQ}=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆；弧的度数计算；圆周角定理
【点评】
本题是正多边形与圆和圆周角定理结合的基础题型，解题的关键是准确把握正六边形各段对应弧的度数，正确找到圆周角所对的弧，解题思路清晰，属于常考基础题。
【难度系数】
0.7
3 新情境传统文化 [2024 遂宁]佩佩在“黄峨古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为1080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角的度数为
45°
。答案
3. 45°
解析
【分析】
要计算该正多边形的每个外角度数，首先需要求出正多边形的边数：①回忆多边形内角和公式，结合题目给出的内角和数值列方程，求解得到边数n；②再根据任意多边形的外角和恒为360°，且正多边形的每个外角大小相等，用外角和除以边数即可得到每个外角的度数。
【解析】
设这个正多边形的边数为$ n $，根据多边形内角和公式可得：
$(n-2) × 180° = 1080°$
解得：$ n-2 = 1080° ÷ 180° = 6 $，即$ n=8 $。
因为任意多边形的外角和均为$ 360° $，且正多边形的每个外角相等，所以该正八边形每个外角的度数为：
$360° ÷ 8 = 45°$
【答案】
$ 45° $
【知识点】
多边形内角和公式，多边形外角和定理，正多边形的性质
【点评】
本题结合扎染传统文化情境设置问题，考查正多边形相关公式的应用，属于基础题型，熟记内角和公式与外角和定理即可快速解题。
【难度系数】
0.85
要计算该正多边形的每个外角度数，首先需要求出正多边形的边数：①回忆多边形内角和公式，结合题目给出的内角和数值列方程，求解得到边数n；②再根据任意多边形的外角和恒为360°，且正多边形的每个外角大小相等，用外角和除以边数即可得到每个外角的度数。
【解析】
设这个正多边形的边数为$ n $，根据多边形内角和公式可得：
$(n-2) × 180° = 1080°$
解得：$ n-2 = 1080° ÷ 180° = 6 $，即$ n=8 $。
因为任意多边形的外角和均为$ 360° $，且正多边形的每个外角相等，所以该正八边形每个外角的度数为：
$360° ÷ 8 = 45°$
【答案】
$ 45° $
【知识点】
多边形内角和公式，多边形外角和定理，正多边形的性质
【点评】
本题结合扎染传统文化情境设置问题，考查正多边形相关公式的应用，属于基础题型，熟记内角和公式与外角和定理即可快速解题。
【难度系数】
0.85
4 新考向 结论开放题 [2025 陕西]如图,将正五边形绕着它的中心O旋转$n°(0＜n＜360)$后,能够与原来的图形完全重合,则n的值可以是
72(答案不唯一)
（写出一个符合题意的数即可）.答案
4. 72(答案不唯一)
解析
【分析】
解决这道题首先要明确正多边形的旋转对称特征：正多边形绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，这个最小旋转角度等于正多边形的中心角，也就是用周角360°除以正多边形的边数。只要旋转角度是这个最小旋转角的正整数倍，且满足0＜n＜360，都符合要求。我们先计算正五边形的最小旋转角，再取符合范围的数值即可。
【解析】
解：正五边形的中心角为：$360° ÷ 5 = 72°$
因此将正五边形绕中心O旋转$72°$的正整数倍（满足$0 ＜ n ＜ 360$）时，都能与原图形完全重合，n可以取72、144、216、288中的任意一个。
【答案】
72(答案不唯一)
【知识点】
正多边形的性质、旋转对称图形、中心角计算
【点评】
本题是结论开放题，主要考查正多边形的旋转对称性，解题关键是掌握正多边形最小旋转角的计算方法，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确正多边形的旋转对称特征：正多边形绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，这个最小旋转角度等于正多边形的中心角，也就是用周角360°除以正多边形的边数。只要旋转角度是这个最小旋转角的正整数倍，且满足0＜n＜360，都符合要求。我们先计算正五边形的最小旋转角，再取符合范围的数值即可。
【解析】
解：正五边形的中心角为：$360° ÷ 5 = 72°$
因此将正五边形绕中心O旋转$72°$的正整数倍（满足$0 ＜ n ＜ 360$）时，都能与原图形完全重合，n可以取72、144、216、288中的任意一个。
【答案】
72(答案不唯一)
【知识点】
正多边形的性质、旋转对称图形、中心角计算
【点评】
本题是结论开放题，主要考查正多边形的旋转对称性，解题关键是掌握正多边形最小旋转角的计算方法，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
5 [2025常熟市段考]如图，AC是$\odot O$的内接正六边形的一边，点B在$\overset{\frown}{AC}$上，且BC是$\odot O$的内接正八边形的一边，则以AB为边的$\odot O$内接正多边形的边数为
24
。答案
5. 24
解析
【分析】
解决本题的核心是利用正多边形的中心角与边数的关系：正n边形的每个中心角均为$\frac{360°}{n}$。首先分别求出AC、BC对应的圆心角（即对应内接正多边形的中心角），两者作差得到弧AB对应的圆心角，最后用360°除以该圆心角，即可得到以AB为边的圆内接正多边形的边数。
【解析】
解：$\because$ AC是$\odot O$内接正六边形的一边
$\therefore$ 正六边形的中心角$∠ AOC=\frac{360°}{6}=60°$
$\because$ BC是$\odot O$内接正八边形的一边
$\therefore$ 正八边形的中心角$∠ BOC=\frac{360°}{8}=45°$
$\therefore$ 弧AB对应的中心角$∠ AOB=∠ AOC-∠ BOC=60°-45°=15°$
则以AB为边的$\odot O$内接正多边形的边数为$\frac{360°}{15°}=24$
【答案】
24
【知识点】
正多边形中心角计算；正多边形与圆的关系
【点评】
本题是正多边形与圆相关的基础应用题，解题关键是熟练掌握正多边形中心角和边数的对应关系，通过计算目标边对应的中心角即可求出边数，整体解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用正多边形的中心角与边数的关系：正n边形的每个中心角均为$\frac{360°}{n}$。首先分别求出AC、BC对应的圆心角（即对应内接正多边形的中心角），两者作差得到弧AB对应的圆心角，最后用360°除以该圆心角，即可得到以AB为边的圆内接正多边形的边数。
【解析】
解：$\because$ AC是$\odot O$内接正六边形的一边
$\therefore$ 正六边形的中心角$∠ AOC=\frac{360°}{6}=60°$
$\because$ BC是$\odot O$内接正八边形的一边
$\therefore$ 正八边形的中心角$∠ BOC=\frac{360°}{8}=45°$
$\therefore$ 弧AB对应的中心角$∠ AOB=∠ AOC-∠ BOC=60°-45°=15°$
则以AB为边的$\odot O$内接正多边形的边数为$\frac{360°}{15°}=24$
【答案】
24
【知识点】
正多边形中心角计算；正多边形与圆的关系
【点评】
本题是正多边形与圆相关的基础应用题，解题关键是熟练掌握正多边形中心角和边数的对应关系，通过计算目标边对应的中心角即可求出边数，整体解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.7
6 如图，等边三角形ABC内接于$\odot O$，BD为内接正十二边形的一边，$CD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$. 求$\odot O$的半径.
答案
6. 连接OB,OC,OD.
∵ 等边三角形ABC内接于⊙O,BD为内接正十二边形的一边,
∴ ∠BOC=$\frac{1}{3}×360°=120°$,∠BOD=$\frac{1}{12}×360°=30°$,
∴ ∠COD=∠BOC−∠BOD=90°.
∵ OC=OD,$CD=5\sqrt{2}$ cm,在$\mathrm{Rt}△ OCD$中,$OD^2+OC^2=CD^2$,
∴ OC=5 cm,
∴ ⊙O的半径为5 cm
∵ 等边三角形ABC内接于⊙O,BD为内接正十二边形的一边,
∴ ∠BOC=$\frac{1}{3}×360°=120°$,∠BOD=$\frac{1}{12}×360°=30°$,
∴ ∠COD=∠BOC−∠BOD=90°.
∵ OC=OD,$CD=5\sqrt{2}$ cm,在$\mathrm{Rt}△ OCD$中,$OD^2+OC^2=CD^2$,
∴ OC=5 cm,
∴ ⊙O的半径为5 cm
解析
【分析】
遇到正多边形内接于圆的问题，通常先连接圆心与各顶点得到半径，利用“正n边形的每条边所对的圆心角为$\frac{360°}{n}$”计算对应圆心角。本题先连接OB、OC、OD，先分别求出等边三角形的边BC对应的圆心角∠BOC，再求出正十二边形的边BD对应的圆心角∠BOD，两者作差得到∠COD的度数，可判断△OCD的形状，再结合已知CD的长度用勾股定理即可求出半径。
【解析】
解：连接OB,OC,OD.
∵ 等边三角形ABC内接于$\odot O$，BD为内接正十二边形的一边，
∴ 正三角形每条边对应的圆心角$∠ BOC=\frac{1}{3}×360°=120°$，
正十二边形每条边对应的圆心角$∠ BOD=\frac{1}{12}×360°=30°$，
∴ $∠ COD=∠ BOC-∠ BOD=120°-30°=90°$.
又
∵ OC、OD都是$\odot O$的半径，
∴ OC=OD，
已知$CD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，由勾股定理得$OD^2+OC^2=CD^2$，
即$2OC^2=(5\sqrt{2})^2=50$，解得$OC^2=25$，$OC=5\ \mathrm{cm}$（半径为正数，舍去负根）。
【答案】
$\odot O$的半径为5 cm
【知识点】
正多边形与圆；圆心角计算；勾股定理
【点评】
本题解题的关键是熟练掌握正多边形内接于圆时圆心角的计算方法，通过作辅助线构造特殊直角三角形，再利用勾股定理求解线段长度，属于正多边形与圆章节的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
遇到正多边形内接于圆的问题，通常先连接圆心与各顶点得到半径，利用“正n边形的每条边所对的圆心角为$\frac{360°}{n}$”计算对应圆心角。本题先连接OB、OC、OD，先分别求出等边三角形的边BC对应的圆心角∠BOC，再求出正十二边形的边BD对应的圆心角∠BOD，两者作差得到∠COD的度数，可判断△OCD的形状，再结合已知CD的长度用勾股定理即可求出半径。
【解析】
解：连接OB,OC,OD.
∵ 等边三角形ABC内接于$\odot O$，BD为内接正十二边形的一边，
∴ 正三角形每条边对应的圆心角$∠ BOC=\frac{1}{3}×360°=120°$，
正十二边形每条边对应的圆心角$∠ BOD=\frac{1}{12}×360°=30°$，
∴ $∠ COD=∠ BOC-∠ BOD=120°-30°=90°$.
又
∵ OC、OD都是$\odot O$的半径，
∴ OC=OD，
已知$CD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，由勾股定理得$OD^2+OC^2=CD^2$，
即$2OC^2=(5\sqrt{2})^2=50$，解得$OC^2=25$，$OC=5\ \mathrm{cm}$（半径为正数，舍去负根）。
【答案】
$\odot O$的半径为5 cm
【知识点】
正多边形与圆；圆心角计算；勾股定理
【点评】
本题解题的关键是熟练掌握正多边形内接于圆时圆心角的计算方法，通过作辅助线构造特殊直角三角形，再利用勾股定理求解线段长度，属于正多边形与圆章节的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
7 如图,设边长为$a$的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为$h$,$r$,$R$,则下列结论不正确的是 (
A.$h=R+r$
B.$R=2r$
C.$r=\frac{\sqrt{3}}{4}a$
D.$R=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
C
)A.$h=R+r$
B.$R=2r$
C.$r=\frac{\sqrt{3}}{4}a$
D.$R=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
答案
7. C
解析
【分析】
首先明确等边三角形的内心、外心、重心、垂心四心重合，因此它的高h被内心（外心）分成两段，分别对应内切圆半径r和外接圆半径R，且重心分高的比例为2:1，较长段为外接圆半径R，较短段为内切圆半径r。我们可以先推导h、R、r和边长a的数量关系，再逐一判断四个选项的正误。
【解析】
∵ 等边三角形边长为a，
∴ 等边三角形的高 $ h = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a $。
∵ 等边三角形四心重合，重心分高的比为2:1，其中较长段为外接圆半径R，较短段为内切圆半径r，
∴ $ R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} × \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{3}a $，$ r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} × \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{6}a $。
逐一判断选项：
A选项：$ h = R + r = \frac{\sqrt{3}}{3}a + \frac{\sqrt{3}}{6}a = \frac{\sqrt{3}}{2}a $，结论正确；
B选项：$ R = \frac{\sqrt{3}}{3}a = 2 × \frac{\sqrt{3}}{6}a = 2r $，结论正确；
C选项：$ r = \frac{\sqrt{3}}{6}a ≠ \frac{\sqrt{3}}{4}a $，结论错误；
D选项：$ R = \frac{\sqrt{3}}{3}a $，结论正确。
因此不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形性质，三角形内切圆，三角形外接圆
【点评】
本题核心是利用等边三角形四心重合的特殊性，结合重心分线段为2:1的比例关系，快速推导内切圆、外接圆半径与边长的关系，属于对基础概念和性质应用的考查。
【难度系数】
0.7
首先明确等边三角形的内心、外心、重心、垂心四心重合，因此它的高h被内心（外心）分成两段，分别对应内切圆半径r和外接圆半径R，且重心分高的比例为2:1，较长段为外接圆半径R，较短段为内切圆半径r。我们可以先推导h、R、r和边长a的数量关系，再逐一判断四个选项的正误。
【解析】
∵ 等边三角形边长为a，
∴ 等边三角形的高 $ h = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a $。
∵ 等边三角形四心重合，重心分高的比为2:1，其中较长段为外接圆半径R，较短段为内切圆半径r，
∴ $ R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} × \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{3}a $，$ r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} × \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{6}a $。
逐一判断选项：
A选项：$ h = R + r = \frac{\sqrt{3}}{3}a + \frac{\sqrt{3}}{6}a = \frac{\sqrt{3}}{2}a $，结论正确；
B选项：$ R = \frac{\sqrt{3}}{3}a = 2 × \frac{\sqrt{3}}{6}a = 2r $，结论正确；
C选项：$ r = \frac{\sqrt{3}}{6}a ≠ \frac{\sqrt{3}}{4}a $，结论错误；
D选项：$ R = \frac{\sqrt{3}}{3}a $，结论正确。
因此不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形性质，三角形内切圆，三角形外接圆
【点评】
本题核心是利用等边三角形四心重合的特殊性，结合重心分线段为2:1的比例关系，快速推导内切圆、外接圆半径与边长的关系，属于对基础概念和性质应用的考查。
【难度系数】
0.7
