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8 [2025苏州模拟]如图，AE，DF是正八边形ABCDEFGH的两条对角线，则$\frac{AE}{DF}=$
$\sqrt{2}$
。答案
8. $\sqrt{2}$
解析
【分析】
要计算AE与DF的比值，可利用正多边形的外接圆性质求解：正八边形的所有顶点都在同一个外接圆上，每条边对应相等的中心角。我们先设外接圆半径为R，分别求出两条对角线对应的圆心角度数，再结合圆心角与弦长的关系、勾股定理计算两条对角线的长度，最后求比值即可。
【解析】
设正八边形ABCDEFGH的外接圆圆心为O，半径为R。
正八边形每条边对应的中心角为$\frac{360°}{8}=45°$。
1. 求AE的长度：
对角线AE对应4段等弧，对应的圆心角$∠ AOE=4×45°=180°$，因此AE是外接圆的直径，即$AE=2R$。
2. 求DF的长度：
对角线DF对应2段等弧，对应的圆心角$∠ DOF=2×45°=90°$。
在$△ DOF$中，$OD=OF=R$，$∠ DOF=90°$，由勾股定理得：
$DF=\sqrt{OD^2+OF^2}=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R$。
3. 计算比值：
$\frac{AE}{DF}=\frac{2R}{\sqrt{2}R}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
正多边形与圆，勾股定理，圆心角与弦的关系
【点评】
本题解题核心是将正八边形的对角线转化为外接圆的弦，通过计算弦对应的圆心角度数简化弦长的计算过程，利用比值与外接圆半径无关的特点，设半径为R可大幅简化计算步骤。
【难度系数】
0.65
要计算AE与DF的比值，可利用正多边形的外接圆性质求解：正八边形的所有顶点都在同一个外接圆上，每条边对应相等的中心角。我们先设外接圆半径为R，分别求出两条对角线对应的圆心角度数，再结合圆心角与弦长的关系、勾股定理计算两条对角线的长度，最后求比值即可。
【解析】
设正八边形ABCDEFGH的外接圆圆心为O，半径为R。
正八边形每条边对应的中心角为$\frac{360°}{8}=45°$。
1. 求AE的长度：
对角线AE对应4段等弧，对应的圆心角$∠ AOE=4×45°=180°$，因此AE是外接圆的直径，即$AE=2R$。
2. 求DF的长度：
对角线DF对应2段等弧，对应的圆心角$∠ DOF=2×45°=90°$。
在$△ DOF$中，$OD=OF=R$，$∠ DOF=90°$，由勾股定理得：
$DF=\sqrt{OD^2+OF^2}=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R$。
3. 计算比值：
$\frac{AE}{DF}=\frac{2R}{\sqrt{2}R}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
正多边形与圆，勾股定理，圆心角与弦的关系
【点评】
本题解题核心是将正八边形的对角线转化为外接圆的弦，通过计算弦对应的圆心角度数简化弦长的计算过程，利用比值与外接圆半径无关的特点，设半径为R可大幅简化计算步骤。
【难度系数】
0.65
9 [2024呼和浩特]如图，正方形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为
$27°$
。答案
9. $27°$ 【解析】如图,连接OG,OF,OD,OE,DF,AC.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ ∠ADC=90°,
∴ AC过圆心O,
∴ ∠AOD=$\frac{1}{4}×360°=90°$.
∵ 正五边形CEFGH内接于⊙O,
∴ ∠FOG=∠EOF=$\frac{1}{5}×360°=72°$,$\overset{\frown}{GH}=\overset{\frown}{CH}=\overset{\frown}{FE}=\overset{\frown}{CE}$,
∴ $\overset{\frown}{GC}=\overset{\frown}{FC}$,
∴ ∠GOC=∠FOC,
∴ ∠AOG=∠AOF=$\frac{1}{2}∠FOG=36°$,
∴ ∠DOF=90°−36°=54°,
∴ ∠DOE=72°−54°=18°,
∴ ∠AMF=∠MFD+∠MDF=$\frac{1}{2}∠DOE +\frac{1}{2}∠AOF=\frac{1}{2}×18° +\frac{1}{2}×36°=27°$.
解析
【分析】
要求∠AMF的度数，我们可以利用三角形外角的性质，把∠AMF拆成△MFD的两个不相邻内角∠MFD与∠MDF的和。这两个角都是⊙O的圆周角，根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半，所以我们只需要求出这两个圆周角对应的圆心角的度数即可。解题时先连接圆心与正方形、正五边形的顶点，分别计算正方形和正五边形的中心角，再推导得到所需圆心角的度数，最后代入计算就能求出∠AMF的度数。
【解析】
如图，连接OG,OF,OD,OE。
∵ 四边形ABCD是正方形，内接于⊙O，
∴ 正方形的中心角$∠ AOD=\frac{1}{4}×360°=90°$。
∵ 正五边形CEFGH内接于⊙O，
∴ 正五边形的中心角$∠ EOF=\frac{1}{5}×360°=72°$，结合正五边形各边所对弧相等，可推得$∠ AOF=36°$，
∴ $∠ DOF=∠ AOD-∠ AOF=90°-36°=54°$，
∴ $∠ DOE=∠ EOF-∠ DOF=72°-54°=18°$。
根据三角形外角性质，$∠ AMF=∠ MFD+∠ MDF$，
由圆周角定理可得：$∠ MFD=\frac{1}{2}∠ DOE$，$∠ MDF=\frac{1}{2}∠ AOF$，
代入计算得：
$∠ AMF=\frac{1}{2}×18°+\frac{1}{2}×36°=9°+18°=27°$。
【答案】
$27°$
【知识点】
正多边形与圆，圆周角定理，三角形外角性质
【点评】
本题是圆与正多边形结合的常规综合题，解题关键是通过连接半径构造圆心角，将所求角转化为圆周角的和求解，能有效考查学生对正多边形中心角计算、圆周角定理的掌握情况，以及几何角的转化思维。
【难度系数】
0.6
要求∠AMF的度数，我们可以利用三角形外角的性质，把∠AMF拆成△MFD的两个不相邻内角∠MFD与∠MDF的和。这两个角都是⊙O的圆周角，根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半，所以我们只需要求出这两个圆周角对应的圆心角的度数即可。解题时先连接圆心与正方形、正五边形的顶点，分别计算正方形和正五边形的中心角，再推导得到所需圆心角的度数，最后代入计算就能求出∠AMF的度数。
【解析】
如图，连接OG,OF,OD,OE。
∵ 四边形ABCD是正方形，内接于⊙O，
∴ 正方形的中心角$∠ AOD=\frac{1}{4}×360°=90°$。
∵ 正五边形CEFGH内接于⊙O，
∴ 正五边形的中心角$∠ EOF=\frac{1}{5}×360°=72°$，结合正五边形各边所对弧相等，可推得$∠ AOF=36°$，
∴ $∠ DOF=∠ AOD-∠ AOF=90°-36°=54°$，
∴ $∠ DOE=∠ EOF-∠ DOF=72°-54°=18°$。
根据三角形外角性质，$∠ AMF=∠ MFD+∠ MDF$，
由圆周角定理可得：$∠ MFD=\frac{1}{2}∠ DOE$，$∠ MDF=\frac{1}{2}∠ AOF$，
代入计算得：
$∠ AMF=\frac{1}{2}×18°+\frac{1}{2}×36°=9°+18°=27°$。
【答案】
$27°$
【知识点】
正多边形与圆，圆周角定理，三角形外角性质
【点评】
本题是圆与正多边形结合的常规综合题，解题关键是通过连接半径构造圆心角，将所求角转化为圆周角的和求解，能有效考查学生对正多边形中心角计算、圆周角定理的掌握情况，以及几何角的转化思维。
【难度系数】
0.6
10 分类讨论思想 [2025 上海]已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条弦恰好都是某正五边形的一边，则这个角的度数为
$108°$或$36°$
。答案
10. $108°$或$36°$ 【解析】如图①,∠MPN是正五边形的一个内角,此时∠MPN=$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$;如图②,∠OAB和∠OBA是正五边形的两个外角,
∴ ∠OAB=∠OBA=$\frac{360°}{5}=72°$,此时∠AOB=180°−72°−72°=36°.因此满足题意的角的度数为$108°$或$36°$.
解析
【分析】
解决本题需先掌握正五边形内角、外角的计算方法，再结合角的顶点与圆的位置关系分类讨论：①当角的顶点在圆内部时，该角恰好是正五边形的一个内角，直接计算正五边形内角度数即可；②当角的顶点在圆外部时，角的两边与两条截得的弦构成三角形，三角形的两个底角为正五边形的外角，先算出正五边形外角度数，再利用三角形内角和定理计算所求角的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 如图①，所求角为正五边形的内角，根据正多边形内角计算公式，正五边形每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，即此时该角的度数为$108°$；
2. 如图②，所求角的顶点在圆外，两条截得的弦与角的两边构成$△ OAB$，其中$∠ OAB$和$∠ OBA$均为正五边形的外角，正五边形每个外角的度数为$\frac{360°}{5}=72°$，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ AOB=180°-72°-72°=36°$，即此时该角的度数为$36°$。
综上，满足题意的角的度数为$108°$或$36°$。
【答案】
$108°$或$36°$
【知识点】
正多边形的内、外角计算，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题主要考查正多边形的相关计算与分类讨论的数学思想，易错点是容易忽略角的顶点在圆外的情况导致漏解，解题时要结合图形特征全面分析所有可能的位置情况。
【难度系数】
0.6
解决本题需先掌握正五边形内角、外角的计算方法，再结合角的顶点与圆的位置关系分类讨论：①当角的顶点在圆内部时，该角恰好是正五边形的一个内角，直接计算正五边形内角度数即可；②当角的顶点在圆外部时，角的两边与两条截得的弦构成三角形，三角形的两个底角为正五边形的外角，先算出正五边形外角度数，再利用三角形内角和定理计算所求角的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 如图①，所求角为正五边形的内角，根据正多边形内角计算公式，正五边形每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，即此时该角的度数为$108°$；
2. 如图②，所求角的顶点在圆外，两条截得的弦与角的两边构成$△ OAB$，其中$∠ OAB$和$∠ OBA$均为正五边形的外角，正五边形每个外角的度数为$\frac{360°}{5}=72°$，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ AOB=180°-72°-72°=36°$，即此时该角的度数为$36°$。
综上，满足题意的角的度数为$108°$或$36°$。
【答案】
$108°$或$36°$
【知识点】
正多边形的内、外角计算，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题主要考查正多边形的相关计算与分类讨论的数学思想，易错点是容易忽略角的顶点在圆外的情况导致漏解，解题时要结合图形特征全面分析所有可能的位置情况。
【难度系数】
0.6
11 如图①所示为地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形。如图②，AE是$\odot O$的直径，用无刻度的直尺和圆规作$\odot O$的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）。
（第11题）
（第11题）答案
11. 如图
解析
【分析】
要作$\odot O$的内接正八边形，首先明确正八边形的中心角为$360°÷8=45°$，只需将圆周平均分为8份，每份对应圆心角为$45°$即可。首先借助已知直径$AE$，作$AE$的垂直平分线得到4个$90°$的圆心角，再将每个$90°$圆心角平分，就能得到8个$45°$的圆心角，这些角的边与圆的交点就是正八边形的8个顶点，顺次连接顶点即可得到所求图形。
【解析】
作图思路：
1. 作直径$AE$的垂直平分线，交$\odot O$于点$C$、$G$，此时$\odot O$被分为4段相等的弧，对应圆心角均为$90°$；
2. 分别作$∠ AOC$、$∠ COE$、$∠ EOG$、$∠ GOA$的角平分线，分别交$\odot O$于点$B$、$D$、$F$、$H$；
3. 顺次连接$A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$、$G$、$H$，所得八边形即为$\odot O$的内接正八边形，保留垂直平分线、角平分线的尺规作图痕迹即可。
【答案】
如图
【知识点】
正多边形与圆，尺规作图，角平分线作图
【点评】
本题考查圆内接正八边形的尺规作图，解题核心是利用正八边形中心角为$45°$的特点，通过作垂直平分线、角平分线得到相等的圆心角，从而确定正八边形的顶点，要求熟练掌握基本尺规作图的操作方法。
【难度系数】
0.7
要作$\odot O$的内接正八边形，首先明确正八边形的中心角为$360°÷8=45°$，只需将圆周平均分为8份，每份对应圆心角为$45°$即可。首先借助已知直径$AE$，作$AE$的垂直平分线得到4个$90°$的圆心角，再将每个$90°$圆心角平分，就能得到8个$45°$的圆心角，这些角的边与圆的交点就是正八边形的8个顶点，顺次连接顶点即可得到所求图形。
【解析】
作图思路：
1. 作直径$AE$的垂直平分线，交$\odot O$于点$C$、$G$，此时$\odot O$被分为4段相等的弧，对应圆心角均为$90°$；
2. 分别作$∠ AOC$、$∠ COE$、$∠ EOG$、$∠ GOA$的角平分线，分别交$\odot O$于点$B$、$D$、$F$、$H$；
3. 顺次连接$A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$、$G$、$H$，所得八边形即为$\odot O$的内接正八边形，保留垂直平分线、角平分线的尺规作图痕迹即可。
【答案】
如图
【知识点】
正多边形与圆，尺规作图，角平分线作图
【点评】
本题考查圆内接正八边形的尺规作图，解题核心是利用正八边形中心角为$45°$的特点，通过作垂直平分线、角平分线得到相等的圆心角，从而确定正八边形的顶点，要求熟练掌握基本尺规作图的操作方法。
【难度系数】
0.7
12 如图,正五边形$ABCDE$内接于$\odot O$,先作直径$AF$;再以点$F$为圆心,$FO$长为半径作圆弧,与$\odot O$交于点$M$,$N$;最后连接$AM$,$MN$,$NA$,$DN$.
(1)求$∠ ABC$的度数.
(2)$△ AMN$是正三角形吗?请说明理由.
(3)从点$A$开始,以$DN$长为半径,在$\odot O$上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正$n$边形,求$n$的值.
(1)求$∠ ABC$的度数.
(2)$△ AMN$是正三角形吗?请说明理由.
(3)从点$A$开始,以$DN$长为半径,在$\odot O$上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正$n$边形,求$n$的值.
答案
12. (1)
∵ 五边形ABCDE是正五边形,
∴ ∠ABC=$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$ (2)$△AMN$是正三角形 理由:连接ON,NF.由作图,得FN=OF.
∵ OF=ON,
∴ FN=OF=ON,
∴ $△FON$是等边三角形,
∴ ∠NFA=60°.
∵ $\overset{\frown}{AN}=\overset{\frown}{AN}$,
∴ ∠NMA=∠NFA=60°.同理,可得∠ANM=60°,
∴ 在$△AMN$中,∠MAN=60°,
∴ ∠NMA=∠ANM=∠MAN,
∴ $△AMN$是正三角形. (3)由(2),得$△AMN$是正三角形,
∴ ∠AON=2∠AMN=120°,
∴ $\overset{\frown}{AN}=120°$.
∵ $\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{AE}=2×\frac{360°}{5}=144°$,
∴ $\overset{\frown}{DN}=\overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{AN}=24°$,
∴ $n=\frac{360°}{24°}=15$
∵ 五边形ABCDE是正五边形,
∴ ∠ABC=$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$ (2)$△AMN$是正三角形 理由:连接ON,NF.由作图,得FN=OF.
∵ OF=ON,
∴ FN=OF=ON,
∴ $△FON$是等边三角形,
∴ ∠NFA=60°.
∵ $\overset{\frown}{AN}=\overset{\frown}{AN}$,
∴ ∠NMA=∠NFA=60°.同理,可得∠ANM=60°,
∴ 在$△AMN$中,∠MAN=60°,
∴ ∠NMA=∠ANM=∠MAN,
∴ $△AMN$是正三角形. (3)由(2),得$△AMN$是正三角形,
∴ ∠AON=2∠AMN=120°,
∴ $\overset{\frown}{AN}=120°$.
∵ $\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{AE}=2×\frac{360°}{5}=144°$,
∴ $\overset{\frown}{DN}=\overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{AN}=24°$,
∴ $n=\frac{360°}{24°}=15$
解析
【分析】
(1) 求正五边形的内角，直接运用正多边形内角和公式，先计算五边形的内角和，再除以边数5即可得到∠ABC的度数。
(2) 判断△AMN是否为正三角形，思路是证明它的三个内角均为60°。先连接辅助线ON、NF，根据作图条件得FN=FO，结合OF、ON都是⊙O的半径，可推出△FON是等边三角形，得到∠NFA=60°，再利用同弧所对的圆周角相等得到∠AMN=60°，同理得∠ANM=60°，即可证明△AMN为正三角形。
(3) 求正n边形的边数n，需要先求出DN对应的弧的度数（即正n边形的中心角），用360°除以该中心角的度数即可得到n。先根据圆周角定理求出弧AN对应的圆心角度数，再计算正五边形中弧AD的度数，两者相减得到弧DN的度数，进而求出n。
【解析】
(1)
∵ 五边形ABCDE是正五边形，
∴ 五边形内角和为$(5-2)×180°$，且每个内角相等，
∴ $∠ ABC=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$。
(2) $△ AMN$是正三角形，理由如下：
连接$ON$，$NF$，由作图可知$FN=FO$。
∵ $OF$、$ON$都是$\odot O$的半径，
∴ $OF=ON$，
∴ $FN=OF=ON$，即$△ FON$是等边三角形，
∴ $∠ NFA=60°$。
∵ $\overset{\frown}{AN}$所对的圆周角为$∠ NMA$和$∠ NFA$，
∴ $∠ NMA=∠ NFA=60°$，
同理可得$∠ ANM=60°$，
∴ 在$△ AMN$中，$∠ MAN=180°-60°-60°=60°$，
∴ $∠ NMA=∠ ANM=∠ MAN$，
∴ $△ AMN$是正三角形。
(3) 由(2)知$△ AMN$是正三角形，$∠ AMN=60°$，
根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得$∠ AON=2∠ AMN=120°$，即$\overset{\frown}{AN}$的度数为$120°$。
∵ 正五边形$ABCDE$内接于$\odot O$，
∴ 每条边对应的弧的度数为$\frac{360°}{5}=72°$，
∴ $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{ED}=72°$，则$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AE}+\overset{\frown}{ED}=2×72°=144°$，
∴ $\overset{\frown}{DN}=\overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{AN}=144°-120°=24°$，
∴ 以$DN$为半径截取得到的正$n$边形的中心角为$24°$，
∴ $n=\frac{360°}{24°}=15$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{108°}$
(2) $\boldsymbol{△ AMN}$是正三角形，理由见解析
(3) $\boldsymbol{15}$
【知识点】
正多边形内角计算，圆周角定理，正多边形与圆的关系
【点评】
本题是正多边形与圆的综合题型，考查了正多边形内角计算、圆周角定理、弧与圆心角的对应关系等核心知识，解题时需要合理构造辅助线，理清弧的度数与正多边形边数的关联，是该模块的典型考法。
【难度系数】
0.65
(1) 求正五边形的内角，直接运用正多边形内角和公式，先计算五边形的内角和，再除以边数5即可得到∠ABC的度数。
(2) 判断△AMN是否为正三角形，思路是证明它的三个内角均为60°。先连接辅助线ON、NF，根据作图条件得FN=FO，结合OF、ON都是⊙O的半径，可推出△FON是等边三角形，得到∠NFA=60°，再利用同弧所对的圆周角相等得到∠AMN=60°，同理得∠ANM=60°，即可证明△AMN为正三角形。
(3) 求正n边形的边数n，需要先求出DN对应的弧的度数（即正n边形的中心角），用360°除以该中心角的度数即可得到n。先根据圆周角定理求出弧AN对应的圆心角度数，再计算正五边形中弧AD的度数，两者相减得到弧DN的度数，进而求出n。
【解析】
(1)
∵ 五边形ABCDE是正五边形，
∴ 五边形内角和为$(5-2)×180°$，且每个内角相等，
∴ $∠ ABC=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$。
(2) $△ AMN$是正三角形，理由如下：
连接$ON$，$NF$，由作图可知$FN=FO$。
∵ $OF$、$ON$都是$\odot O$的半径，
∴ $OF=ON$，
∴ $FN=OF=ON$，即$△ FON$是等边三角形，
∴ $∠ NFA=60°$。
∵ $\overset{\frown}{AN}$所对的圆周角为$∠ NMA$和$∠ NFA$，
∴ $∠ NMA=∠ NFA=60°$，
同理可得$∠ ANM=60°$，
∴ 在$△ AMN$中，$∠ MAN=180°-60°-60°=60°$，
∴ $∠ NMA=∠ ANM=∠ MAN$，
∴ $△ AMN$是正三角形。
(3) 由(2)知$△ AMN$是正三角形，$∠ AMN=60°$，
根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得$∠ AON=2∠ AMN=120°$，即$\overset{\frown}{AN}$的度数为$120°$。
∵ 正五边形$ABCDE$内接于$\odot O$，
∴ 每条边对应的弧的度数为$\frac{360°}{5}=72°$，
∴ $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{ED}=72°$，则$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AE}+\overset{\frown}{ED}=2×72°=144°$，
∴ $\overset{\frown}{DN}=\overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{AN}=144°-120°=24°$，
∴ 以$DN$为半径截取得到的正$n$边形的中心角为$24°$，
∴ $n=\frac{360°}{24°}=15$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{108°}$
(2) $\boldsymbol{△ AMN}$是正三角形，理由见解析
(3) $\boldsymbol{15}$
【知识点】
正多边形内角计算，圆周角定理，正多边形与圆的关系
【点评】
本题是正多边形与圆的综合题型，考查了正多边形内角计算、圆周角定理、弧与圆心角的对应关系等核心知识，解题时需要合理构造辅助线，理清弧的度数与正多边形边数的关联，是该模块的典型考法。
【难度系数】
0.65
