登录
1 [2025 海南]如图,在$△ ABC$中,$∠ C=30°$,$AB=1$,以$AB$为直径的半圆$O$交$AC$于点$D$.若$BC$与半圆$O$相切于点$B$,则$\overset{\frown}{BD}$的长为 (
A.$\frac{π}{5}$
B.$\frac{π}{4}$
C.$\frac{π}{3}$
D.$\frac{π}{2}$
C
)A.$\frac{π}{5}$
B.$\frac{π}{4}$
C.$\frac{π}{3}$
D.$\frac{π}{2}$
答案
1. C
解析
【分析】
解决本题的思路如下：首先由BC是半圆的切线，结合切线性质得到AB⊥BC，确定△ABC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠A的度数；接下来要求弧BD的长，需明确弧长计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（n为弧所对圆心角的度数，r为圆的半径），已知AB为直径可直接得到半径$r=\frac{1}{2}$，再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出弧BD所对的圆心角的度数，最后代入公式计算即可得到结果。
【解析】
连接OD，
∵ BC与半圆O相切于点B，AB为半圆O的直径，
∴ 根据切线的性质，得$AB⊥ BC$，即$∠ ABC=90°$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=30°$，
∴ $∠ A=90°-∠ C=60°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧BD所对的圆周角为$∠ A$，圆心角为$∠ BOD$，
∴ $∠ BOD=2∠ A=2×60°=120°$。
∵ AB=1，
∴ 半圆O的半径$r=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2}$。
代入弧长公式得$\overset{\frown}{BD}$的长为：
$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{120×π×\frac{1}{2}}{180}=\frac{π}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，弧长计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，将切线性质、圆周角定理与弧长计算结合考查，解题的关键是准确找到弧对应的圆心角和所在圆的半径，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.7
解决本题的思路如下：首先由BC是半圆的切线，结合切线性质得到AB⊥BC，确定△ABC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠A的度数；接下来要求弧BD的长，需明确弧长计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（n为弧所对圆心角的度数，r为圆的半径），已知AB为直径可直接得到半径$r=\frac{1}{2}$，再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出弧BD所对的圆心角的度数，最后代入公式计算即可得到结果。
【解析】
连接OD，
∵ BC与半圆O相切于点B，AB为半圆O的直径，
∴ 根据切线的性质，得$AB⊥ BC$，即$∠ ABC=90°$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=30°$，
∴ $∠ A=90°-∠ C=60°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧BD所对的圆周角为$∠ A$，圆心角为$∠ BOD$，
∴ $∠ BOD=2∠ A=2×60°=120°$。
∵ AB=1，
∴ 半圆O的半径$r=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2}$。
代入弧长公式得$\overset{\frown}{BD}$的长为：
$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{120×π×\frac{1}{2}}{180}=\frac{π}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，弧长计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，将切线性质、圆周角定理与弧长计算结合考查，解题的关键是准确找到弧对应的圆心角和所在圆的半径，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.7
2[2024青岛]如图，A，B，C，D是$\odot O$上的点，半径$OA=3$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$∠ DBC=25°$，则扇形$OAB$的面积为（
A.$\frac{5}{4}π$
B.$\frac{5}{8}π$
C.$\frac{5}{2}π$
D.$\frac{5}{12}π$
A
）A.$\frac{5}{4}π$
B.$\frac{5}{8}π$
C.$\frac{5}{2}π$
D.$\frac{5}{12}π$
答案
2. A
解析
【分析】
要计算扇形OAB的面积，需用到扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，已知半径$OA=r=3$，因此只需求出扇形对应的圆心角$∠ AOB$的度数即可。首先根据圆周角定理，由已知的圆周角$∠ DBC$求出它所对弧$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角$∠ COD$的度数，再结合$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$可得等弧对应的圆心角相等，即可得到$∠ AOB$的度数，最后代入公式计算面积。
【解析】
1. 根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
已知$∠ DBC=25°$，$∠ DBC$是弧$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，因此弧$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角$∠ COD=2∠ DBC=2×25°=50°$。
2. 因为在同圆中，相等的弧对应的圆心角相等，且$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，所以$∠ AOB=∠ COD=50°$。
3. 代入扇形面积公式计算：
$S_{\mathrm{扇形}OAB}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{50×π×3^2}{360}=\frac{450π}{360}=\frac{5}{4}π$
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；弧与圆心角的关系；扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆的基本性质与扇形面积的计算，解题的核心是通过等弧的性质将待求圆心角和已知圆周角建立关联，熟练掌握相关定理和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要计算扇形OAB的面积，需用到扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，已知半径$OA=r=3$，因此只需求出扇形对应的圆心角$∠ AOB$的度数即可。首先根据圆周角定理，由已知的圆周角$∠ DBC$求出它所对弧$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角$∠ COD$的度数，再结合$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$可得等弧对应的圆心角相等，即可得到$∠ AOB$的度数，最后代入公式计算面积。
【解析】
1. 根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
已知$∠ DBC=25°$，$∠ DBC$是弧$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，因此弧$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角$∠ COD=2∠ DBC=2×25°=50°$。
2. 因为在同圆中，相等的弧对应的圆心角相等，且$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，所以$∠ AOB=∠ COD=50°$。
3. 代入扇形面积公式计算：
$S_{\mathrm{扇形}OAB}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{50×π×3^2}{360}=\frac{450π}{360}=\frac{5}{4}π$
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；弧与圆心角的关系；扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆的基本性质与扇形面积的计算，解题的核心是通过等弧的性质将待求圆心角和已知圆周角建立关联，熟练掌握相关定理和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3 [2024 哈尔滨]若$90°$圆心角所对的弧长是$3π$ cm，则此弧所在圆的半径是
6
cm。答案
3. 6
解析
【分析】
要解决这道题，首先看到已知圆心角和对应弧长求半径，需要用到弧长计算公式。解题思路为：先回忆弧长与圆心角、半径的关系公式，再将已知的圆心角度数、弧长代入公式，得到关于半径的一元一次方程，最后解方程求出半径即可。
【解析】
设此弧所在圆的半径为$ R $ cm，
弧长公式为$ l=\frac{nπ R}{180} $（其中$ l $为弧长，$ n $为圆心角度数，$ R $为圆的半径），
已知$ n=90° $，$ l=3π $ cm，代入公式得：
$ 3π=\frac{90π R}{180} $，
化简等式右侧得$ 3π=\frac{π R}{2} $，
两边同时除以$ π $得$ 3=\frac{R}{2} $，
解得$ R=6 $。
【答案】
6
【知识点】
1. 弧长计算公式
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对弧长公式的记忆与应用，解题的关键是准确掌握弧长公式中各个量的含义，代入数值计算时可先约去$ π $简化运算，避免计算失误。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先看到已知圆心角和对应弧长求半径，需要用到弧长计算公式。解题思路为：先回忆弧长与圆心角、半径的关系公式，再将已知的圆心角度数、弧长代入公式，得到关于半径的一元一次方程，最后解方程求出半径即可。
【解析】
设此弧所在圆的半径为$ R $ cm，
弧长公式为$ l=\frac{nπ R}{180} $（其中$ l $为弧长，$ n $为圆心角度数，$ R $为圆的半径），
已知$ n=90° $，$ l=3π $ cm，代入公式得：
$ 3π=\frac{90π R}{180} $，
化简等式右侧得$ 3π=\frac{π R}{2} $，
两边同时除以$ π $得$ 3=\frac{R}{2} $，
解得$ R=6 $。
【答案】
6
【知识点】
1. 弧长计算公式
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对弧长公式的记忆与应用，解题的关键是准确掌握弧长公式中各个量的含义，代入数值计算时可先约去$ π $简化运算，避免计算失误。
【难度系数】
0.9
4 新情境地域特色 [2025苏州工业园区一模]苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气.如图①所示为一块扇面形的苏州砖雕作品《兰》，如图②所示为它的示意图，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O=108°.已知OA=100 cm，OB=40 cm，则该砖雕的面积为
$2520π$
cm²（结果保留π）.答案
4. $2520π$
解析
【分析】
要计算该扇面形砖雕的面积，观察图形可知砖雕是圆心角相同的两个扇形的差（即扇环），因此解题思路为：首先回忆扇形面积公式，分别求出大扇形OAD和小扇形OBC的面积，再用大扇形面积减去小扇形面积即可得到砖雕的面积，计算时可提取公因式简化运算。
【解析】
由题意可知，砖雕的面积 = 大扇形OAD的面积 - 小扇形OBC的面积。
扇形面积公式为：$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）。
已知圆心角$∠ O = 108°$，$OA=100\ \mathrm{cm}$，$OB=40\ \mathrm{cm}$，代入公式得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{砖雕}}&=\frac{108π×100^2}{360}-\frac{108π×40^2}{360}\\&=\frac{108π}{360}×(100^2 - 40^2)\\&=\frac{3}{10}π×(10000 - 1600)\\&=\frac{3}{10}π×8400\\&=2520π\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$2520π$
【知识点】
扇形面积计算，扇环面积计算
【点评】
本题结合地域特色文化情境命题，贴近生活，解题核心是明确所求面积为两个同圆心角扇形的面积差，熟练掌握扇形面积公式即可顺利求解，计算时可通过因式分解简化运算过程。
【难度系数】
0.8
要计算该扇面形砖雕的面积，观察图形可知砖雕是圆心角相同的两个扇形的差（即扇环），因此解题思路为：首先回忆扇形面积公式，分别求出大扇形OAD和小扇形OBC的面积，再用大扇形面积减去小扇形面积即可得到砖雕的面积，计算时可提取公因式简化运算。
【解析】
由题意可知，砖雕的面积 = 大扇形OAD的面积 - 小扇形OBC的面积。
扇形面积公式为：$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）。
已知圆心角$∠ O = 108°$，$OA=100\ \mathrm{cm}$，$OB=40\ \mathrm{cm}$，代入公式得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{砖雕}}&=\frac{108π×100^2}{360}-\frac{108π×40^2}{360}\\&=\frac{108π}{360}×(100^2 - 40^2)\\&=\frac{3}{10}π×(10000 - 1600)\\&=\frac{3}{10}π×8400\\&=2520π\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$2520π$
【知识点】
扇形面积计算，扇环面积计算
【点评】
本题结合地域特色文化情境命题，贴近生活，解题核心是明确所求面积为两个同圆心角扇形的面积差，熟练掌握扇形面积公式即可顺利求解，计算时可通过因式分解简化运算过程。
【难度系数】
0.8
5 如图，在$□ ABCD$中，以点A为圆心、AB长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA，交$\odot A$于点F。若$\overset{\frown}{EF}$的长为$\frac{π}{2}$，求图中阴影部分的面积。
答案
5. 连接AC.$\because DC$ 是$\odot A$ 的切线, $\therefore AC ⊥ CD$. 又$\because$ 四边形 $ABCD$是平行四边形, $\therefore AB=AC=CD$,$AB// CD$,$\therefore △ ACD$ 是等腰直角三角形, $\therefore ∠ CAD=45°$,$∠ CAF=90°$,$\therefore ∠ EAF=∠ CAF-∠ CAD=45°$. 设$\odot A$ 的半径为 $r$. $\because \overset{\frown}{EF}$ 的长为 $\frac{π}{2}$, $\therefore \frac{π}{2}=\frac{45π r}{180}$, 解得 $r=2$,$\therefore AC=CD=2$,$\therefore S_{阴影}=S_{△ ACD}-S_{扇形ACE}=\frac{1}{2}× 2× 2-\frac{45π × 2^2}{360}=2-\frac{π}{2}$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，阴影为不规则图形，可采用割补法，用△ACD的面积减去扇形ACE的面积求解。首先连接AC，根据切线的性质可得AC⊥CD，再结合平行四边形的性质推出△ACD是等腰直角三角形，得到圆心角∠CAD的度数，再利用弧长公式求出⊙A的半径，最后分别计算△ACD和扇形ACE的面积，作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：连接AC，
∵DC是$\odot A$的切线，$\therefore AC⊥ CD$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore AB=CD$，$AB// CD$，
又
∵AB是$\odot A$的半径，$\therefore AB=AC$，
$\therefore AC=CD$，即△ACD是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ CAD=45°$，
$\because AB// CD$，$AC⊥ CD$，$\therefore AC⊥ AB$，即$∠ CAF=90°$，
$\therefore ∠ EAF=∠ CAF-∠ CAD=45°$，
设$\odot A$的半径为$r$，
∵$\overset{\frown}{EF}$的长为$\frac{π}{2}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，
得$\frac{π}{2}=\frac{45π r}{180}$，解得$r=2$，
$\therefore AC=CD=2$，
$\therefore S_{阴影}=S_{△ ACD}-S_{扇形ACE}=\frac{1}{2}×2×2-\frac{45π×2^2}{360}=2-\frac{π}{2}$。
【答案】
$2-\frac{π}{2}$
【知识点】
切线的性质、弧长计算、扇形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题，解题的核心是通过辅助线构造等腰直角三角形，结合弧长公式求出半径和圆心角，再用割补法将不规则图形面积转化为规则图形面积的差求解，很好地考查了几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，阴影为不规则图形，可采用割补法，用△ACD的面积减去扇形ACE的面积求解。首先连接AC，根据切线的性质可得AC⊥CD，再结合平行四边形的性质推出△ACD是等腰直角三角形，得到圆心角∠CAD的度数，再利用弧长公式求出⊙A的半径，最后分别计算△ACD和扇形ACE的面积，作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：连接AC，
∵DC是$\odot A$的切线，$\therefore AC⊥ CD$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore AB=CD$，$AB// CD$，
又
∵AB是$\odot A$的半径，$\therefore AB=AC$，
$\therefore AC=CD$，即△ACD是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ CAD=45°$，
$\because AB// CD$，$AC⊥ CD$，$\therefore AC⊥ AB$，即$∠ CAF=90°$，
$\therefore ∠ EAF=∠ CAF-∠ CAD=45°$，
设$\odot A$的半径为$r$，
∵$\overset{\frown}{EF}$的长为$\frac{π}{2}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，
得$\frac{π}{2}=\frac{45π r}{180}$，解得$r=2$，
$\therefore AC=CD=2$，
$\therefore S_{阴影}=S_{△ ACD}-S_{扇形ACE}=\frac{1}{2}×2×2-\frac{45π×2^2}{360}=2-\frac{π}{2}$。
【答案】
$2-\frac{π}{2}$
【知识点】
切线的性质、弧长计算、扇形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题，解题的核心是通过辅助线构造等腰直角三角形，结合弧长公式求出半径和圆心角，再用割补法将不规则图形面积转化为规则图形面积的差求解，很好地考查了几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
6 [2025成都]如图，$\odot O$的半径为1，$A$，$B$，$C$是$\odot O$上的三个点.若四边形$OABC$为平行四边形，连接$AC$，则图中涂色部分的面积为（
A.$\frac{π}{3}$
B.$\frac{π}{4}$
C.$\frac{π}{6}$
D.$\frac{π}{12}$
C
）A.$\frac{π}{3}$
B.$\frac{π}{4}$
C.$\frac{π}{6}$
D.$\frac{π}{12}$
答案
6. C
解析
【分析】
解题时先结合圆的半径相等和平行四边形的性质，判断四边形OABC是菱形，推出△OAB为等边三角形得到∠AOB=60°；再利用平行四边形对边平行的性质，得△ABC和△OAB面积相等，将不规则的阴影部分面积转化为规则的扇形OAB的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形OABC是平行四边形，OA、OC均为⊙O的半径
∴OA=OC，平行四边形OABC为菱形
∴AB=OA=OB=1，即△OAB是等边三角形
∴∠AOB=60°
∵OC//AB（平行四边形对边平行）
∴点C到AB的距离与点O到AB的距离相等
∴$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}$
∴阴影部分面积=$S_{弓形AB}+S_{△ ABC}=S_{弓形AB}+S_{△ OAB}=S_{扇形OAB}$
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，代入n=60，r=1得：
$S_{扇形OAB}=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；等边三角形判定；扇形面积计算
【点评】
本题核心是将不规则阴影面积转化为规则图形面积求解，考查了转化思想的应用，需要熟练掌握特殊四边形、等边三角形和扇形的相关性质。
【难度系数】
0.6
解题时先结合圆的半径相等和平行四边形的性质，判断四边形OABC是菱形，推出△OAB为等边三角形得到∠AOB=60°；再利用平行四边形对边平行的性质，得△ABC和△OAB面积相等，将不规则的阴影部分面积转化为规则的扇形OAB的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形OABC是平行四边形，OA、OC均为⊙O的半径
∴OA=OC，平行四边形OABC为菱形
∴AB=OA=OB=1，即△OAB是等边三角形
∴∠AOB=60°
∵OC//AB（平行四边形对边平行）
∴点C到AB的距离与点O到AB的距离相等
∴$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}$
∴阴影部分面积=$S_{弓形AB}+S_{△ ABC}=S_{弓形AB}+S_{△ OAB}=S_{扇形OAB}$
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，代入n=60，r=1得：
$S_{扇形OAB}=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；等边三角形判定；扇形面积计算
【点评】
本题核心是将不规则阴影面积转化为规则图形面积求解，考查了转化思想的应用，需要熟练掌握特殊四边形、等边三角形和扇形的相关性质。
【难度系数】
0.6
