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7 [2025相城区段考改编]如图，小明在矩形ABCD中裁剪出扇形OEF，$BC=\sqrt{2}AB$，O为BC的中点，$OE=AB=4$，则$\overset{\frown}{EF}$的长为
$2π$
。答案
7. $2π$
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{EF}$的长，首先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径），题目已给出扇形半径$OE=AB=4$，因此核心是求圆心角$∠ EOF$的度数。首先根据矩形边长关系和O是BC中点的条件求出$OB$、$OC$的长度，再在直角$△ OBE$中用勾股定理判断三角形形状，得到$∠ BOE$的度数，同理得到$∠ COF$的度数，最后用平角减去这两个角即可得到$∠ EOF$的度数，代入弧长公式计算即可。
【解析】
已知$AB=4$，$BC=\sqrt{2}AB$，则$BC=4\sqrt{2}$。
因为O为BC中点，所以$OB=OC=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{2}$。
在矩形ABCD中，$∠ B=∠ C=90°$，在$Rt△ OBE$中，$OE=4$，$OB=2\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{OE^2-OB^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{16-8}=2\sqrt{2}$
因此$OB=BE$，$△ OBE$为等腰直角三角形，$∠ BOE=45°$。
同理可得$∠ COF=45°$。
因为$∠ BOC=180°$，所以$∠ EOF=180°-45°-45°=90°$。
代入弧长公式得$\overset{\frown}{EF}$的长为：
$l=\frac{90π×4}{180}=2π$
【答案】
$2π$
【知识点】
弧长的计算；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形性质、勾股定理和弧长计算，解题关键是先求出扇形的圆心角度数，再代入公式计算，属于基础的几何综合应用题。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{EF}$的长，首先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径），题目已给出扇形半径$OE=AB=4$，因此核心是求圆心角$∠ EOF$的度数。首先根据矩形边长关系和O是BC中点的条件求出$OB$、$OC$的长度，再在直角$△ OBE$中用勾股定理判断三角形形状，得到$∠ BOE$的度数，同理得到$∠ COF$的度数，最后用平角减去这两个角即可得到$∠ EOF$的度数，代入弧长公式计算即可。
【解析】
已知$AB=4$，$BC=\sqrt{2}AB$，则$BC=4\sqrt{2}$。
因为O为BC中点，所以$OB=OC=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{2}$。
在矩形ABCD中，$∠ B=∠ C=90°$，在$Rt△ OBE$中，$OE=4$，$OB=2\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{OE^2-OB^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{16-8}=2\sqrt{2}$
因此$OB=BE$，$△ OBE$为等腰直角三角形，$∠ BOE=45°$。
同理可得$∠ COF=45°$。
因为$∠ BOC=180°$，所以$∠ EOF=180°-45°-45°=90°$。
代入弧长公式得$\overset{\frown}{EF}$的长为：
$l=\frac{90π×4}{180}=2π$
【答案】
$2π$
【知识点】
弧长的计算；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形性质、勾股定理和弧长计算，解题关键是先求出扇形的圆心角度数，再代入公式计算，属于基础的几何综合应用题。
【难度系数】
0.7
8 [2025青海]如图，线段AB经过圆心O，交$\odot O$于点A，C，AD为$\odot O$的弦，连接BD。若$∠ A=∠ B=30°$，$BC=2$，则$\overset{\frown}{DC}$的长为
$\frac{2π}{3}$
。答案
8. $\frac{2π}{3}$
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{DC}$的长，需先确定该弧对应的圆心角度数和$\odot O$的半径。首先连接辅助线OD，利用等腰三角形性质、三角形外角性质求出圆心角$∠ DOC$的度数，再结合直角三角形30°角的性质求出圆的半径，最后代入弧长公式即可算出结果。
【解析】
连接OD，设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=OC=r$。
1. 求圆心角度数：
因为$OA=OD$，所以$∠ ADO=∠ A=30°$，根据三角形外角性质，$∠ DOB=∠ A+∠ ADO=30°+30°=60°$，即$\overset{\frown}{DC}$对应的圆心角为$60°$。
2. 求圆的半径：
在$△ ODB$中，$∠ B=30°$，$∠ DOB=60°$，因此$∠ ODB=180°-30°-60°=90°$，$△ ODB$为直角三角形。
根据直角三角形30°角的性质，斜边$OB=2OD$，又$OB=OC+BC=r+2$，可得：
$2r=r+2$，解得$r=2$。
3. 计算弧长：
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入$n=60$，$r=2$得：
$\overset{\frown}{DC}$的长$=\frac{60π×2}{180}=\frac{2π}{3}$。
【答案】
$\frac{2π}{3}$
【知识点】
弧长计算，等腰三角形性质，直角三角形30°角的性质
【点评】
本题是圆相关性质的基础综合题，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，求出弧长计算需要的半径和圆心角两个核心量，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.65
要计算$\overset{\frown}{DC}$的长，需先确定该弧对应的圆心角度数和$\odot O$的半径。首先连接辅助线OD，利用等腰三角形性质、三角形外角性质求出圆心角$∠ DOC$的度数，再结合直角三角形30°角的性质求出圆的半径，最后代入弧长公式即可算出结果。
【解析】
连接OD，设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=OC=r$。
1. 求圆心角度数：
因为$OA=OD$，所以$∠ ADO=∠ A=30°$，根据三角形外角性质，$∠ DOB=∠ A+∠ ADO=30°+30°=60°$，即$\overset{\frown}{DC}$对应的圆心角为$60°$。
2. 求圆的半径：
在$△ ODB$中，$∠ B=30°$，$∠ DOB=60°$，因此$∠ ODB=180°-30°-60°=90°$，$△ ODB$为直角三角形。
根据直角三角形30°角的性质，斜边$OB=2OD$，又$OB=OC+BC=r+2$，可得：
$2r=r+2$，解得$r=2$。
3. 计算弧长：
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入$n=60$，$r=2$得：
$\overset{\frown}{DC}$的长$=\frac{60π×2}{180}=\frac{2π}{3}$。
【答案】
$\frac{2π}{3}$
【知识点】
弧长计算，等腰三角形性质，直角三角形30°角的性质
【点评】
本题是圆相关性质的基础综合题，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，求出弧长计算需要的半径和圆心角两个核心量，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.65
9 整体思想 如图，在$△ ABC$中，$AB=5$，$AC=3$，$BC=4$，将$△ ABC$绕点$A$按逆时针方向旋转$40°$得到$△ ADE$，点$B$经过的路径为$\overset{\frown}{BD}$，则图中阴影部分的面积为
$\frac{25π}{9}$
。答案
9. $\frac{25π}{9}$ 【解析】根据旋转性质，得 $S_{△ ADE}=S_{△ ABC}$. 由题图，可知$S_{阴影}=S_{△ ADE}+S_{扇形ADB}-S_{△ ABC}=S_{扇形ADB}=\frac{40× π × 5^2}{360}=\frac{25π}{9}$.
解析
【分析】
解决这道题首先要明确旋转的性质，旋转前后的两个图形全等，对应面积相等。观察阴影部分是不规则图形，无法直接计算面积，因此考虑用割补法转化：阴影部分的面积可以看作△ADE的面积加上扇形ADB的面积，再减去重叠的△ABC的面积。由于旋转前后△ADE和△ABC面积相等，二者抵消后，阴影面积就等于扇形ADB的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
∵△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE
∴△ADE≌△ABC，即$S_{△ADE}=S_{△ABC}$，且$AD=AB=5$，∠BAD=40°
由图可得：
$S_{阴影}=S_{△ADE}+S_{扇形ADB}-S_{△ABC}$
将$S_{△ADE}=S_{△ABC}$代入，得：
$S_{阴影}=S_{扇形ADB}$
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπr^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为扇形半径），代入n=40°，r=AB=5：
$S_{扇形ADB}=\frac{40×π×5^2}{360}=\frac{25π}{9}$
【答案】
$\frac{25π}{9}$
【知识点】
旋转的性质，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，核心是通过旋转性质将不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积，避免了复杂的面积计算，解题的关键是找准旋转前后相等的面积和扇形对应的圆心角、半径。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确旋转的性质，旋转前后的两个图形全等，对应面积相等。观察阴影部分是不规则图形，无法直接计算面积，因此考虑用割补法转化：阴影部分的面积可以看作△ADE的面积加上扇形ADB的面积，再减去重叠的△ABC的面积。由于旋转前后△ADE和△ABC面积相等，二者抵消后，阴影面积就等于扇形ADB的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
∵△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE
∴△ADE≌△ABC，即$S_{△ADE}=S_{△ABC}$，且$AD=AB=5$，∠BAD=40°
由图可得：
$S_{阴影}=S_{△ADE}+S_{扇形ADB}-S_{△ABC}$
将$S_{△ADE}=S_{△ABC}$代入，得：
$S_{阴影}=S_{扇形ADB}$
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπr^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为扇形半径），代入n=40°，r=AB=5：
$S_{扇形ADB}=\frac{40×π×5^2}{360}=\frac{25π}{9}$
【答案】
$\frac{25π}{9}$
【知识点】
旋转的性质，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，核心是通过旋转性质将不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积，避免了复杂的面积计算，解题的关键是找准旋转前后相等的面积和扇形对应的圆心角、半径。
【难度系数】
0.7
10 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，AB是$\odot O$的直径，CE平分$∠ ACB$，交$\odot O$于点E，过点E作$EF // AB$，交CA的延长线于点F。
（1）求证：EF与$\odot O$相切。
（2）过点E作$EG ⊥ AC$于点M，交$\odot O$于点G，交AB于点N。若$∠ CAB=30°$，$AB=8$，求$\overset{\frown}{AG}$的长。
（1）求证：EF与$\odot O$相切。
（2）过点E作$EG ⊥ AC$于点M，交$\odot O$于点G，交AB于点N。若$∠ CAB=30°$，$AB=8$，求$\overset{\frown}{AG}$的长。
答案
10. (1) 如图,连接OE. $\because AB$ 是$\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ ACB=90°$. $\because CE$平分$∠ ACB$,$\therefore ∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB=45°$. $\because \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AE}$,$\therefore ∠ AOE=2∠ ACE=90°$. $\because EF// AB$,$\therefore ∠ AOE+∠ FEO=180°$,$\therefore ∠ FEO=90°$,$\therefore OE⊥ FE$. 又$\because OE$ 是$\odot O$ 的半径, $\therefore EF$ 与$\odot O$ 相切
(2) 如图,连接 OG, OC. $\because ∠ CAB=30°$,$∠ ACB=90°$,$\therefore ∠ B=60°$. $\because OB=OC$,$\therefore △ OBC$ 为等边三角形, $\therefore ∠ COB=60°$,$\therefore ∠ AOC=180°-∠ COB=120°$. $\because EG⊥ AC$,$∠ ACE=45°$,$\therefore ∠ MEC=45°$. $\because \overset{\frown}{CG}=\overset{\frown}{CG}$,$\therefore ∠ GOC=2∠ MEC=90°$,$\therefore ∠ AOG=∠ AOC-∠ GOC=30°$. $\because AB=8$,$AB$ 是$\odot O$ 的直径, $\therefore OA=OG=4$,$\therefore \overset{\frown}{AG}$的长$=\frac{30π × 4}{180}=\frac{2π}{3}$
（第10题）解析
【分析】
（1）要证明EF是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需连接半径OE，证明$OE⊥ EF$即可。首先利用直径所对圆周角为直角得$∠ ACB=90°$，结合角平分线性质得$∠ ACE=45°$，再由圆周角定理推出圆心角$∠ AOE=90°$，最后结合$EF// AB$，由平行线同旁内角互补得$∠ FEO=90°$，即可完成证明。
（2）要求$\overset{\frown}{AG}$的长，需使用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此要先求出$\overset{\frown}{AG}$对应的圆心角$∠ AOG$的度数和$\odot O$的半径。首先由$AB=8$得半径为4，再连接OG、OC，先根据已知角度推出$△ OBC$为等边三角形，得到$∠ AOC=120°$，再结合$EG⊥ AC$和$∠ ACE=45°$推出$∠ MEC=45°$，由圆周角定理得$∠ GOC=90°$，从而算出$∠ AOG=30°$，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
（1）证明：连接OE。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=90°$。
$\because CE$平分$∠ ACB$，$\therefore ∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB=45°$。
$\because \overset{\frown}{AE}$所对的圆周角为$∠ ACE$，圆心角为$∠ AOE$，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，
$\therefore ∠ AOE=2∠ ACE=90°$。
$\because EF// AB$，$\therefore ∠ AOE+∠ FEO=180°$，
$\therefore ∠ FEO=180°-90°=90°$，即$OE⊥ FE$。
又$\because OE$是$\odot O$的半径，
$\therefore EF$与$\odot O$相切。
（2）解：连接OG，OC。
$\because ∠ CAB=30°$，$∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ B=180°-90°-30°=60°$。
$\because OB=OC$，$\therefore △ OBC$为等边三角形，
$\therefore ∠ COB=60°$，$\therefore ∠ AOC=180°-∠ COB=120°$。
$\because EG⊥ AC$，$∠ ACE=45°$，
$\therefore$在$△ CME$中，$∠ MEC=180°-90°-45°=45°$。
$\because \overset{\frown}{CG}$所对的圆周角为$∠ MEC$，圆心角为$∠ GOC$，
$\therefore ∠ GOC=2∠ MEC=90°$，
$\therefore ∠ AOG=∠ AOC-∠ GOC=120°-90°=30°$。
$\because AB=8$，AB是$\odot O$的直径，$\therefore OA=OG=\frac{1}{2}AB=4$。
根据弧长公式，$\overset{\frown}{AG}$的长$=\frac{30π × 4}{180}=\frac{2π}{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析，EF与$\odot O$相切；
(2) $\overset{\frown}{AG}$的长为$\frac{2π}{3}$。
（第10题）
【知识点】
切线的判定，圆周角定理，弧长计算
【点评】
本题属于圆的综合基础题，将切线判定、圆周角性质、弧长计算相结合，解题的关键是正确构造辅助线，灵活运用圆的相关性质转化角度关系，熟练掌握弧长的计算公式。
【难度系数】
0.6
（1）要证明EF是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需连接半径OE，证明$OE⊥ EF$即可。首先利用直径所对圆周角为直角得$∠ ACB=90°$，结合角平分线性质得$∠ ACE=45°$，再由圆周角定理推出圆心角$∠ AOE=90°$，最后结合$EF// AB$，由平行线同旁内角互补得$∠ FEO=90°$，即可完成证明。
（2）要求$\overset{\frown}{AG}$的长，需使用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此要先求出$\overset{\frown}{AG}$对应的圆心角$∠ AOG$的度数和$\odot O$的半径。首先由$AB=8$得半径为4，再连接OG、OC，先根据已知角度推出$△ OBC$为等边三角形，得到$∠ AOC=120°$，再结合$EG⊥ AC$和$∠ ACE=45°$推出$∠ MEC=45°$，由圆周角定理得$∠ GOC=90°$，从而算出$∠ AOG=30°$，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
（1）证明：连接OE。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=90°$。
$\because CE$平分$∠ ACB$，$\therefore ∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB=45°$。
$\because \overset{\frown}{AE}$所对的圆周角为$∠ ACE$，圆心角为$∠ AOE$，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，
$\therefore ∠ AOE=2∠ ACE=90°$。
$\because EF// AB$，$\therefore ∠ AOE+∠ FEO=180°$，
$\therefore ∠ FEO=180°-90°=90°$，即$OE⊥ FE$。
又$\because OE$是$\odot O$的半径，
$\therefore EF$与$\odot O$相切。
（2）解：连接OG，OC。
$\because ∠ CAB=30°$，$∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ B=180°-90°-30°=60°$。
$\because OB=OC$，$\therefore △ OBC$为等边三角形，
$\therefore ∠ COB=60°$，$\therefore ∠ AOC=180°-∠ COB=120°$。
$\because EG⊥ AC$，$∠ ACE=45°$，
$\therefore$在$△ CME$中，$∠ MEC=180°-90°-45°=45°$。
$\because \overset{\frown}{CG}$所对的圆周角为$∠ MEC$，圆心角为$∠ GOC$，
$\therefore ∠ GOC=2∠ MEC=90°$，
$\therefore ∠ AOG=∠ AOC-∠ GOC=120°-90°=30°$。
$\because AB=8$，AB是$\odot O$的直径，$\therefore OA=OG=\frac{1}{2}AB=4$。
根据弧长公式，$\overset{\frown}{AG}$的长$=\frac{30π × 4}{180}=\frac{2π}{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析，EF与$\odot O$相切；
(2) $\overset{\frown}{AG}$的长为$\frac{2π}{3}$。
（第10题）【知识点】
切线的判定，圆周角定理，弧长计算
【点评】
本题属于圆的综合基础题，将切线判定、圆周角性质、弧长计算相结合，解题的关键是正确构造辅助线，灵活运用圆的相关性质转化角度关系，熟练掌握弧长的计算公式。
【难度系数】
0.6
11 [2025 南通]如图，PA与$\odot O$相切于点A，AC为$\odot O$的直径，点B在$\odot O$上，连接OB，PB，PC，且$PA=PB$。
（1）求证：$OB⊥ PB$；
（2）若$∠ APB=60°$，$PA=2\sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积。
（1）求证：$OB⊥ PB$；
（2）若$∠ APB=60°$，$PA=2\sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积。
答案
11. (1) 如图, 连接 OP. $\because PA$ 与 $\odot O$ 相切, $\therefore OA ⊥ PA$,$\therefore ∠ OAP=90°$. 在 $△ AOP$ 和 $△ BOP$ 中, $\begin{cases} OA=OB, \\ PA=PB, \\ OP=OP, \end{cases}$ $\therefore △ AOP ≌ △ BOP$,$\therefore ∠ OAP=∠ OBP=90°$,$\therefore OB ⊥ PB$
(2) 如图, 连接 BC.$\because$ 四边形 AOBP 的内角和为 $360°$,$∠ OBP=∠ OAP=90°$,$∠ APB=60°$,$\therefore ∠ AOB=120°$,$\therefore ∠ COB=180°-120°=60°$. $\because OB=OC$,$\therefore △ BOC$ 为等边三角形, $\therefore ∠ OCB=60°$. $\because △ AOP ≌ △ BOP$,$\therefore ∠ AOP=∠ BOP=60°$,$∠ APO=∠ BPO=30°$,$PA=PB=2\sqrt{3}$,$\therefore ∠ AOP=∠ OCB$,$\therefore OP// BC$,$\therefore S_{△ PCB}=S_{△ OCB}$. $\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ OBP$ 中,$∠ BPO=30°$,$\therefore OP=2OB$. $\because OB^2+PB^2=OP^2$,$\therefore OB^2+(2\sqrt{3})^2=(2OB)^2$, 解得 $OB=2$(负值舍去). $\therefore S_{阴影部分}=S_{扇形OCB}=\frac{60π × 2^2}{360}=\frac{2π}{3}$
（第11题）解析
【分析】
（1）要证$OB⊥ PB$，即需证$∠OBP=90°$。已知PA是$\odot O$的切线，可得$∠OAP=90°$，结合已知$PA=PB$、OA和OB均为$\odot O$半径即$OA=OB$，还有公共边OP，可通过SSS证明$△ AOP≌△ BOP$，利用全等三角形对应角相等得到$∠OBP=∠OAP=90°$即可得证。
（2）阴影部分为不规则图形，需转化为规则图形面积求解。先由全等三角形性质和已知$∠APB=60°$求出圆心角$∠COB$的度数，再证明$OP// BC$，利用同底等高的三角形面积相等可得$S_{△ PCB}=S_{△ OCB}$，因此阴影面积等于扇形OCB的面积；再通过直角三角形性质求出$\odot O$半径，代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：连接OP，
$\because$PA与$\odot O$相切于点A，$\therefore OA⊥PA$，即$∠OAP=90°$。
在$△ AOP$和$△ BOP$中：
$\begin{cases} OA=OB（\odot O半径相等）, \\ PA=PB（已知）, \\ OP=OP（公共边）, \end{cases}$
$\therefore△ AOP≌△ BOP(\mathrm{SSS})$，
$\therefore∠OBP=∠OAP=90°$，
$\therefore OB⊥PB$。
(2) 解：连接BC，
$\because$四边形AOBP内角和为$360°$，$∠OBP=∠OAP=90°$，$∠APB=60°$，
$\therefore∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°$，
$\therefore∠COB=180°-∠AOB=180°-120°=60°$。
$\because OB=OC$，$\therefore△ BOC$是等边三角形，$\therefore∠OCB=60°$。
由$△ AOP≌△ BOP$得：$∠AOP=∠BOP=60°$，$∠APO=∠BPO=30°$，$PB=PA=2\sqrt{3}$，
$\therefore∠AOP=∠OCB=60°$，$\therefore OP// BC$，
$\therefore△ PCB$和$△ OCB$同底等高，即$S_{△ PCB}=S_{△ OCB}$，
$\therefore$阴影部分面积等于扇形OCB的面积。
在$\mathrm{Rt}△ OBP$中，$∠BPO=30°$，$\therefore OP=2OB$，
由勾股定理得：$OB^2+PB^2=OP^2$，
代入$PB=2\sqrt{3}$，$OP=2OB$得：$OB^2+(2\sqrt{3})^2=(2OB)^2$，
解得$OB=2$（负值舍去）。
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OCB}=\frac{60π× 2^2}{360}=\frac{2π}{3}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\frac{2π}{3}$
（第11题）
【知识点】
切线的性质，全等三角形判定与性质，扇形面积计算
【点评】
本题是圆的综合基础题，既考查了全等三角形、等边三角形的判定与性质，也涉及不规则图形面积的转化计算，解题核心是利用同底等高三角形面积相等将阴影面积转化为规则的扇形面积，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.65
（1）要证$OB⊥ PB$，即需证$∠OBP=90°$。已知PA是$\odot O$的切线，可得$∠OAP=90°$，结合已知$PA=PB$、OA和OB均为$\odot O$半径即$OA=OB$，还有公共边OP，可通过SSS证明$△ AOP≌△ BOP$，利用全等三角形对应角相等得到$∠OBP=∠OAP=90°$即可得证。
（2）阴影部分为不规则图形，需转化为规则图形面积求解。先由全等三角形性质和已知$∠APB=60°$求出圆心角$∠COB$的度数，再证明$OP// BC$，利用同底等高的三角形面积相等可得$S_{△ PCB}=S_{△ OCB}$，因此阴影面积等于扇形OCB的面积；再通过直角三角形性质求出$\odot O$半径，代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：连接OP，
$\because$PA与$\odot O$相切于点A，$\therefore OA⊥PA$，即$∠OAP=90°$。
在$△ AOP$和$△ BOP$中：
$\begin{cases} OA=OB（\odot O半径相等）, \\ PA=PB（已知）, \\ OP=OP（公共边）, \end{cases}$
$\therefore△ AOP≌△ BOP(\mathrm{SSS})$，
$\therefore∠OBP=∠OAP=90°$，
$\therefore OB⊥PB$。
(2) 解：连接BC，
$\because$四边形AOBP内角和为$360°$，$∠OBP=∠OAP=90°$，$∠APB=60°$，
$\therefore∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°$，
$\therefore∠COB=180°-∠AOB=180°-120°=60°$。
$\because OB=OC$，$\therefore△ BOC$是等边三角形，$\therefore∠OCB=60°$。
由$△ AOP≌△ BOP$得：$∠AOP=∠BOP=60°$，$∠APO=∠BPO=30°$，$PB=PA=2\sqrt{3}$，
$\therefore∠AOP=∠OCB=60°$，$\therefore OP// BC$，
$\therefore△ PCB$和$△ OCB$同底等高，即$S_{△ PCB}=S_{△ OCB}$，
$\therefore$阴影部分面积等于扇形OCB的面积。
在$\mathrm{Rt}△ OBP$中，$∠BPO=30°$，$\therefore OP=2OB$，
由勾股定理得：$OB^2+PB^2=OP^2$，
代入$PB=2\sqrt{3}$，$OP=2OB$得：$OB^2+(2\sqrt{3})^2=(2OB)^2$，
解得$OB=2$（负值舍去）。
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OCB}=\frac{60π× 2^2}{360}=\frac{2π}{3}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\frac{2π}{3}$
（第11题）【知识点】
切线的性质，全等三角形判定与性质，扇形面积计算
【点评】
本题是圆的综合基础题，既考查了全等三角形、等边三角形的判定与性质，也涉及不规则图形面积的转化计算，解题核心是利用同底等高三角形面积相等将阴影面积转化为规则的扇形面积，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.65
