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三、解答题
9 [2025姑苏区段考]如图，四边形ABCD的各边与半径为2的⊙O分别相切于点E，F，G，H。若AB=6，AD=4，BC=5，求四边形ABCD的面积.
9 [2025姑苏区段考]如图，四边形ABCD的各边与半径为2的⊙O分别相切于点E，F，G，H。若AB=6，AD=4，BC=5，求四边形ABCD的面积.
答案
9. 如图，连接OC,OD,OA,OB,OG,OE,OF,OH. $\because \odot O$与四边形ABCD各边相切, $\therefore OH ⊥ AD, OG ⊥ DC, OF ⊥ BC, OE ⊥ AB$, $DG=DH, CG=CF, BF=BE, AH=AE, \therefore DC+AB=AD+BC$. $\because AB=6, AD=4, BC=5, \therefore CD=4+5-6=3. \because \odot O$的半径为2, $\therefore OH=OG=OE=OF=2, \therefore S_{四边形ABCD}=S_{△ AOD}+S_{△ COD}+S_{△ COB}+S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × 2 ×(6+4+5+3)=18$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先观察图形，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，要求它的面积，可通过连接圆心与各顶点、各切点，将四边形拆分为4个以圆心为顶点的小三角形；2. 根据切线的性质，每个小三角形的高都等于圆的半径，底为四边形的各边，因此只需要求出四边形的四条边长之和，就可以计算总面积；3. 利用切线长定理可得圆外切四边形的对边和相等，据此先求出未知边CD的长度，再代入面积公式计算即可。
【解析】
解：如图，连接OC,OD,OA,OB,OG,OE,OF,OH。
∵ ⊙O与四边形ABCD各边相切，
∴ OH ⊥ AD, OG ⊥ DC, OF ⊥ BC, OE ⊥ AB，
由切线长定理可得：DG=DH, CG=CF, BF=BE, AH=AE，
∴ DG+CG+AE+BE = DH+CF+AH+BF，即DC+AB=AD+BC。
已知AB=6, AD=4, BC=5，代入得CD=4+5-6=3。
∵ ⊙O的半径为2，
∴ OH=OG=OE=OF=2，
∴ $S_{四边形ABCD}=S_{△AOD}+S_{△COD}+S_{△COB}+S_{△AOB}$
= $\frac{1}{2}×AD×OH + \frac{1}{2}×CD×OG + \frac{1}{2}×BC×OF + \frac{1}{2}×AB×OE$
= $\frac{1}{2} × 2 ×(6+4+5+3)=18$。
【答案】
18
【知识点】
切线的性质，切线长定理，割补法求面积
【点评】
本题解题的核心是利用圆外切四边形的性质，通过拆分图形将四边形面积转化为多个等高三角形的面积和，降低了计算难度，需要熟练掌握切线相关性质并灵活运用到面积计算中。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 首先观察图形，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，要求它的面积，可通过连接圆心与各顶点、各切点，将四边形拆分为4个以圆心为顶点的小三角形；2. 根据切线的性质，每个小三角形的高都等于圆的半径，底为四边形的各边，因此只需要求出四边形的四条边长之和，就可以计算总面积；3. 利用切线长定理可得圆外切四边形的对边和相等，据此先求出未知边CD的长度，再代入面积公式计算即可。
【解析】
解：如图，连接OC,OD,OA,OB,OG,OE,OF,OH。
∵ ⊙O与四边形ABCD各边相切，
∴ OH ⊥ AD, OG ⊥ DC, OF ⊥ BC, OE ⊥ AB，
由切线长定理可得：DG=DH, CG=CF, BF=BE, AH=AE，
∴ DG+CG+AE+BE = DH+CF+AH+BF，即DC+AB=AD+BC。
已知AB=6, AD=4, BC=5，代入得CD=4+5-6=3。
∵ ⊙O的半径为2，
∴ OH=OG=OE=OF=2，
∴ $S_{四边形ABCD}=S_{△AOD}+S_{△COD}+S_{△COB}+S_{△AOB}$
= $\frac{1}{2}×AD×OH + \frac{1}{2}×CD×OG + \frac{1}{2}×BC×OF + \frac{1}{2}×AB×OE$
= $\frac{1}{2} × 2 ×(6+4+5+3)=18$。
【答案】
18
【知识点】
切线的性质，切线长定理，割补法求面积
【点评】
本题解题的核心是利用圆外切四边形的性质，通过拆分图形将四边形面积转化为多个等高三角形的面积和，降低了计算难度，需要熟练掌握切线相关性质并灵活运用到面积计算中。
【难度系数】
0.7
10 [2025高新区段考]如图，$\odot O$是四边形$ABCD$的外接圆，$AC$是$\odot O$的直径，$BD$平分$∠ ABC$.
（1）若$∠ ACB=25°$，求$∠ BDC$的度数；
（2）$E$是弦$BD$上一点，且点$E$是$△ ABC$的内心，连接$AE$，求证：$DA=DE$.
（1）若$∠ ACB=25°$，求$∠ BDC$的度数；
（2）$E$是弦$BD$上一点，且点$E$是$△ ABC$的内心，连接$AE$，求证：$DA=DE$.
答案
10. (1) $\because \odot O$ 是四边形 $A B C D$ 的外接圆, $A C$ 是 $\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ A B C=90° . \because ∠ A C B=25°, \therefore ∠ B A C=90°-∠ A C B=65°$, $\therefore ∠ B D C=∠ B A C=65°$ (2) $\because B D$ 平分 $∠ A B C, \therefore ∠ A B D=$ $∠ C B D, \therefore \overgroup{A D}=\overgroup{C D}, \therefore ∠ A B D=∠ C A D . \because$ 点 $E$ 是 $△ A B C$ 的内心, $\therefore A E$ 平分 $∠ B A C, \therefore ∠ B A E=∠ C A E, \therefore ∠ B A E+∠ A B D=$ $∠ C A E+∠ C A D . \because ∠ D E A=∠ B A E+∠ A B D, ∠ D A E=∠ C A E+$ $∠ C A D, \therefore ∠ D E A=∠ D A E, \therefore D A=D E$
解析
【分析】
（1）求解第一问时，先利用“直径所对的圆周角为直角”得到$∠ ABC=90°$，结合已知的$∠ ACB$，用直角三角形两锐角互余求出$∠ BAC$，再根据“同弧所对的圆周角相等”即可得到$∠ BDC$的度数；（2）证明第二问时，先由角平分线的性质得$∠ ABD=∠ CBD$，推出弧$AD$等于弧$CD$，得到$∠ ABD=∠ CAD$，再结合三角形内心是三角形角平分线交点的性质，得$AE$平分$∠ BAC$，最后通过角的和差关系证明$∠ DEA=∠ DAE$，利用等角对等边即可得证。
【解析】
（1）解：$\because \odot O$是四边形$ABCD$的外接圆，$AC$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ABC=90°$。
$\because ∠ ACB=25°$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中两锐角互余，
$\therefore ∠ BAC=90°-∠ ACB=90°-25°=65°$。
$\because ∠ BDC$和$∠ BAC$都是弧$BC$所对的圆周角，同弧所对圆周角相等，
$\therefore ∠ BDC=∠ BAC=65°$。
（2）证明：$\because BD$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$，
$\therefore \overgroup{AD}=\overgroup{CD}$，
$\therefore ∠ CAD=∠ CBD$，即$∠ ABD=∠ CAD$。
$\because$点$E$是$△ ABC$的内心，
$\therefore AE$平分$∠ BAC$，即$∠ BAE=∠ CAE$。
$\therefore ∠ BAE+∠ ABD=∠ CAE+∠ CAD$。
$\because ∠ DEA$是$△ ABE$的外角，$\therefore ∠ DEA=∠ BAE+∠ ABD$，
又$\because ∠ DAE=∠ CAE+∠ CAD$，
$\therefore ∠ DEA=∠ DAE$，
$\therefore DA=DE$。
【答案】
(1) $\boxed{65°}$；(2) 证明如上
【知识点】
圆周角定理及推论，三角形内心的性质，等腰三角形判定
【点评】
本题是圆与三角形结合的常规综合题，第一问侧重考查圆周角相关基础推论的应用，难度较低；第二问需要结合角平分线、三角形内心的性质进行角的等量代换，能较好地考查逻辑推理能力，是高频考点题型。
【难度系数】
0.6
（1）求解第一问时，先利用“直径所对的圆周角为直角”得到$∠ ABC=90°$，结合已知的$∠ ACB$，用直角三角形两锐角互余求出$∠ BAC$，再根据“同弧所对的圆周角相等”即可得到$∠ BDC$的度数；（2）证明第二问时，先由角平分线的性质得$∠ ABD=∠ CBD$，推出弧$AD$等于弧$CD$，得到$∠ ABD=∠ CAD$，再结合三角形内心是三角形角平分线交点的性质，得$AE$平分$∠ BAC$，最后通过角的和差关系证明$∠ DEA=∠ DAE$，利用等角对等边即可得证。
【解析】
（1）解：$\because \odot O$是四边形$ABCD$的外接圆，$AC$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ABC=90°$。
$\because ∠ ACB=25°$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中两锐角互余，
$\therefore ∠ BAC=90°-∠ ACB=90°-25°=65°$。
$\because ∠ BDC$和$∠ BAC$都是弧$BC$所对的圆周角，同弧所对圆周角相等，
$\therefore ∠ BDC=∠ BAC=65°$。
（2）证明：$\because BD$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$，
$\therefore \overgroup{AD}=\overgroup{CD}$，
$\therefore ∠ CAD=∠ CBD$，即$∠ ABD=∠ CAD$。
$\because$点$E$是$△ ABC$的内心，
$\therefore AE$平分$∠ BAC$，即$∠ BAE=∠ CAE$。
$\therefore ∠ BAE+∠ ABD=∠ CAE+∠ CAD$。
$\because ∠ DEA$是$△ ABE$的外角，$\therefore ∠ DEA=∠ BAE+∠ ABD$，
又$\because ∠ DAE=∠ CAE+∠ CAD$，
$\therefore ∠ DEA=∠ DAE$，
$\therefore DA=DE$。
【答案】
(1) $\boxed{65°}$；(2) 证明如上
【知识点】
圆周角定理及推论，三角形内心的性质，等腰三角形判定
【点评】
本题是圆与三角形结合的常规综合题，第一问侧重考查圆周角相关基础推论的应用，难度较低；第二问需要结合角平分线、三角形内心的性质进行角的等量代换，能较好地考查逻辑推理能力，是高频考点题型。
【难度系数】
0.6
11 如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，且$AB=AC$，连接$BO$并延长，交$\odot O$于点$D$，过点$A$作$AE ⊥ BD$，垂足为$E$，点$F$在$BD$的延长线上，连接$AO$，$CO$，$AF$，使$∠ FAE=2∠ ABD$。
（1）判断直线$AF$与$\odot O$的位置关系，并说明理由；
（2）若$DE=1$，$BC=4$，求$\odot O$的半径。
（1）判断直线$AF$与$\odot O$的位置关系，并说明理由；
（2）若$DE=1$，$BC=4$，求$\odot O$的半径。
答案
11. (1) 直线 $A F$ 与 $\odot O$ 相切 理由: $\because ∠ F A E=2 ∠ A B D, ∠ F O A=$ $2 ∠ A B D, \therefore ∠ F A E=∠ F O A . \because A E ⊥ B D, \therefore ∠ A E O=90°$, $\therefore ∠ F O A+∠ E A O=90°, \therefore ∠ F A E+∠ E A O=90°$, 即 $∠ F A O=$ $90°, \therefore O A ⊥ F A . \because O A$ 为 $\odot O$ 的半径, $\therefore$ 直线 $A F$ 与 $\odot O$ 相切.
(2) 如图, 延长 $A E$, 交 $\odot O$ 于点 $H$, 连接 $B H . \because B D$ 为 $\odot O$ 的直径, $A E ⊥ B D, \therefore E$ 为 $A H$ 的中点, 即 $B D$ 为 $A H$ 的垂直平分线, $\therefore B A=$ $B H . \because A B=A C, \therefore B H=A C, \therefore \overgroup{B H}=\overgroup{A C}, \therefore \overgroup{A H}=\overgroup{B C}$, $\therefore A H=B C=4, \therefore A E=\frac{1}{2} A H=2$. 设 $\odot O$ 的半径为 $r$, 则 $O E=$ $O D-D E=r-1$. 在 Rt $△ O A E$ 中, $A E^{2}+O E^{2}=O A^{2}, \therefore 2^{2}+(r-$ $1)^{2}=r^{2}$, 解得 $r=2.5, \therefore \odot O$ 的半径为 2.5
解析
【分析】
（1）判断直线与圆的位置关系，优先考虑切线判定定理，即证明半径与直线垂直。首先利用圆周角定理可得同弧所对圆心角$∠ AOD=2∠ ABD$，结合已知$∠ FAE=2∠ ABD$得到角度等量关系；再由$AE⊥ BD$得到直角三角形中的互余关系，等量代换即可证得$OA⊥ AF$，得到切线结论。
（2）求圆的半径可通过勾股定理列方程求解。作辅助线延长$AE$交圆于$H$，利用垂径定理得$BD$垂直平分$AH$，结合$AB=AC$推导得$AH=BC$，求出$AE$的长度；设半径为$r$，用含$r$的式子表示$OE$，在$Rt△ OAE$中列勾股方程求解即可。
【解析】
（1）直线$AF$与$\odot O$相切，理由：
$\because$ 同弧$AD$所对的圆心角$∠ FOA=2∠ ABD$，已知$∠ FAE=2∠ ABD$，
$\therefore ∠ FAE=∠ FOA$。
$\because AE⊥ BD$，$\therefore ∠ AEO=90°$，
$\therefore ∠ FOA+∠ EAO=90°$，
$\therefore ∠ FAE+∠ EAO=90°$，即$∠ FAO=90°$，
$\therefore OA⊥ FA$，又$\because OA$为$\odot O$的半径，
$\therefore$ 直线$AF$与$\odot O$相切。
（2）如图，延长$AE$，交$\odot O$于点$H$，连接$BH$。
$\because BD$为$\odot O$的直径，$AE⊥ BD$，根据垂径定理，$E$为$AH$的中点，即$BD$为$AH$的垂直平分线，
$\therefore BA=BH$。
$\because AB=AC$，$\therefore BH=AC$，
$\therefore \overgroup{BH}=\overgroup{AC}$，$\therefore \overgroup{BH}+\overgroup{HC}=\overgroup{AC}+\overgroup{HC}$，即$\overgroup{AH}=\overgroup{BC}$，
$\therefore AH=BC=4$，$\therefore AE=\frac{1}{2}AH=2$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OE=OD-DE=r-1$，
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得$AE^2+OE^2=OA^2$，
代入得$2^2+(r-1)^2=r^2$，
解得$r=2.5$。
【答案】
(1) 直线 $A F$ 与 $\odot O$ 相切，理由见解析；
(2) $\odot O$ 的半径为 $\boldsymbol{2.5}$
【知识点】
切线的判定，垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，第一问的核心是利用圆周角定理完成角度转化，证明半径与直线垂直，是切线判定的常规考法；第二问通过构造辅助线利用垂径定理转化线段长度，结合勾股定理列方程求解，是圆中求半径的常用方法，需熟练掌握这类辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.6
（1）判断直线与圆的位置关系，优先考虑切线判定定理，即证明半径与直线垂直。首先利用圆周角定理可得同弧所对圆心角$∠ AOD=2∠ ABD$，结合已知$∠ FAE=2∠ ABD$得到角度等量关系；再由$AE⊥ BD$得到直角三角形中的互余关系，等量代换即可证得$OA⊥ AF$，得到切线结论。
（2）求圆的半径可通过勾股定理列方程求解。作辅助线延长$AE$交圆于$H$，利用垂径定理得$BD$垂直平分$AH$，结合$AB=AC$推导得$AH=BC$，求出$AE$的长度；设半径为$r$，用含$r$的式子表示$OE$，在$Rt△ OAE$中列勾股方程求解即可。
【解析】
（1）直线$AF$与$\odot O$相切，理由：
$\because$ 同弧$AD$所对的圆心角$∠ FOA=2∠ ABD$，已知$∠ FAE=2∠ ABD$，
$\therefore ∠ FAE=∠ FOA$。
$\because AE⊥ BD$，$\therefore ∠ AEO=90°$，
$\therefore ∠ FOA+∠ EAO=90°$，
$\therefore ∠ FAE+∠ EAO=90°$，即$∠ FAO=90°$，
$\therefore OA⊥ FA$，又$\because OA$为$\odot O$的半径，
$\therefore$ 直线$AF$与$\odot O$相切。
（2）如图，延长$AE$，交$\odot O$于点$H$，连接$BH$。
$\because BD$为$\odot O$的直径，$AE⊥ BD$，根据垂径定理，$E$为$AH$的中点，即$BD$为$AH$的垂直平分线，
$\therefore BA=BH$。
$\because AB=AC$，$\therefore BH=AC$，
$\therefore \overgroup{BH}=\overgroup{AC}$，$\therefore \overgroup{BH}+\overgroup{HC}=\overgroup{AC}+\overgroup{HC}$，即$\overgroup{AH}=\overgroup{BC}$，
$\therefore AH=BC=4$，$\therefore AE=\frac{1}{2}AH=2$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OE=OD-DE=r-1$，
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得$AE^2+OE^2=OA^2$，
代入得$2^2+(r-1)^2=r^2$，
解得$r=2.5$。
【答案】
(1) 直线 $A F$ 与 $\odot O$ 相切，理由见解析；
(2) $\odot O$ 的半径为 $\boldsymbol{2.5}$
【知识点】
切线的判定，垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，第一问的核心是利用圆周角定理完成角度转化，证明半径与直线垂直，是切线判定的常规考法；第二问通过构造辅助线利用垂径定理转化线段长度，结合勾股定理列方程求解，是圆中求半径的常用方法，需熟练掌握这类辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.6
