1.(2024秋·通州区月考)如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE的度数是 ()

A.$18°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$15°$

1.D

【分析】
解题时先从等边三角形的性质入手，首先等边三角形三个内角均为60°，且其高、中线、角平分线三线合一，因此AD⊥BC时，AD是BC的垂直平分线；再根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得EB=EC，结合等腰三角形等边对等角的性质，可求出∠ECB的度数，最后用∠ACB减去∠ECB即可得到∠ACE的度数。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，△ABC为等边三角形，
∴AD是BC的垂直平分线（等边三角形三线合一），
∵点E在线段AD上，
∴EB=EC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∴∠ECB=∠EBC=45°（等腰三角形等边对等角），
∴∠ACE=∠ACB - ∠ECB=60°-45°=15°。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握等边三角形三线合一的性质，以及线段垂直平分线、等腰三角形的相关性质，通过角的和差关系计算即可得到结果。
【难度系数】
0.85

2.(2024秋·崇川区月考)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ B=60°$,$CD$是斜边$AB$上的高,则下列关系式不正确的是 ()

A.$CD=\frac{1}{2}AC$
B.$BD=\frac{1}{2}CD$
C.$BD=\frac{1}{4}AB$
D.$BC=\frac{1}{2}AB$

2.B

【分析】
首先利用直角三角形两锐角互余求出∠A=30°，再结合CD是斜边AB上的高，得到△ACD和△BCD均为直角三角形，分别找出两个小直角三角形内的30°角，再根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，逐一验证四个选项的正误即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=60°$，
∴$∠ A=90°-∠ B=30°$。
∵CD是斜边AB上的高，
∴$∠ ADC=∠ CDB=90°$。
验证选项A：在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ A=30°$，30°角所对直角边为CD，斜边为AC，
∴$CD=\frac{1}{2}AC$，A选项正确，不符合题意。
验证选项B：在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ B=60°$，
∴$∠ BCD=90°-∠ B=30°$，
30°角所对直角边为BD，斜边为BC，
∴$BD=\frac{1}{2}BC$，而非$BD=\frac{1}{2}CD$，故B选项错误，符合题意。
验证选项D：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=30°$，30°角所对直角边为BC，斜边为AB，
∴$BC=\frac{1}{2}AB$，D选项正确，不符合题意。
验证选项C：由D的结论得$BC=\frac{1}{2}AB$，结合B中推导的$BD=\frac{1}{2}BC$，
∴$BD=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AB=\frac{1}{4}AB$，C选项正确，不符合题意。
综上，关系式不正确的是B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形两锐角互余；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形中特殊角对应的边的关系，解题的关键是找准每个直角三角形中30°角对应的直角边和斜边，避免混淆边的对应关系即可快速判断。
【难度系数】
0.75

3.(2024秋·徐州期中)如图,在等边三角形ABC中,AB=6,BD平分∠ABC,点E在BC的延长线上,且∠E=30°,则CE的长为.

3.3

【分析】
解题时先从已知的等边三角形入手，回忆等边三角形三边相等、三个内角均为60°的性质；再结合角平分线的条件，利用等边三角形“三线合一”的性质得出CD的长度；最后利用三角形外角的性质求出∠CDE的度数，通过等角对等边判定CE和CD相等，即可求出CE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=6，
∴AC=AB=6，∠ACB=60°，
∵BD平分∠ABC，△ABC为等边三角形，
∴BD是AC边上的中线（等边三角形三线合一），
∴$CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$，
∵∠ACB是△DCE的外角，
∴∠ACB=∠CDE+∠E，
已知∠E=30°，代入得：
∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°，
∴∠CDE=∠E，
∴CE=CD=3。
【答案】
3
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的判定；三角形外角的性质
【点评】
本题是特殊三角形性质的基础应用题，解题的核心是熟练运用等边三角形三线合一的特点，结合外角性质推出等腰三角形，进而得到对应边相等，这类题是等边三角形章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.7

4.如图，AB=AC，DB=DC.若∠ABC=60°，BE=3 cm，则AB的长为cm.

4.6

【分析】
首先由已知AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，结合∠ABC=60°，可推出△ABC为等边三角形，因此AB=BC，只需计算出BC的长度即可得到AB的长。再结合DB=DC的条件，可知点A、D均在线段BC的垂直平分线上，因此AD是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得BC=2BE，代入BE的长度即可求出BC，最终得到AB的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）
∴AB=BC
∵AB=AC，DB=DC
∴点A、点D都在线段BC的垂直平分线上
∴AD是线段BC的垂直平分线
∴BC=2BE
∵BE=3 cm
∴BC=2×3=6 cm
∴AB=BC=6 cm
【答案】
6
【知识点】
等边三角形的判定；线段垂直平分线的判定与性质
【点评】
本题属于基础题，将等边三角形的判定和线段垂直平分线的性质结合考查，解题的关键是先推出△ABC是等边三角形，再利用垂直平分线的性质求出BC的长度，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8

5.有一个内角为$60°$的等腰三角形，腰长为10 cm，那么这个三角形的周长为 cm.

5.30

【分析】
解题时首先结合等腰三角形两底角相等的性质，对60°的内角是顶角还是底角分两种情况讨论，再根据三角形内角和为180°计算剩余内角的度数，判断三角形的类型，最后根据边长计算周长即可。
【解析】
已知该三角形是等腰三角形，且有一个内角为60°，分两种情况讨论：
1. 若60°的角为顶角：
根据等腰三角形两底角相等，两个底角的度数均为$(180° - 60°)÷2 = 60°$，此时三角形三个内角均为60°，为等边三角形；
2. 若60°的角为底角：
则另一个底角也为60°，顶角度数为$180° - 60°×2 = 60°$，此时三角形三个内角也均为60°，为等边三角形。
综上，该三角形是边长为10cm的等边三角形，周长为$10×3 = 30\mathrm{cm}$。
【答案】
30
【知识点】
等腰三角形的性质；等边三角形的判定；三角形周长计算
【点评】
本题重点考查等边三角形的特殊判定定理，解题时需注意分情况讨论内角的位置，避免因考虑不全出错，整体解题逻辑清晰，属于基础巩固类题目。
【难度系数】
0.85

6.(2024秋·玄武区期中)如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE//BC交AB于点E.
求证:(1)△ADE是等边三角形；
(2)AE=$\frac{1}{2}$AB.

6.证明:(1)
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠C=60°.
∵DE//BC，
∴∠AED=∠ABC=60°,∠ADE=∠C=60°.
∴△ADE是等边三角形.
(2)
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC=AC.
∵BD平分∠ABC,
∴AD=$\frac{1}{2}$AC.
∵△ADE是等边三角形,
∴AE=AD.
∴AE=$\frac{1}{2}$AB.

【分析】
(1)要证明△ADE是等边三角形，可通过证明其三个内角均为60°推导：首先利用等边三角形的性质得到△ABC的三个内角都是60°，再结合DE//BC的条件，由平行线的同位角相等性质，得到∠AED、∠ADE的度数均为60°，结合∠A本身为60°，即可判定△ADE是等边三角形。
(2)要证明AE=$\frac{1}{2}$AB，首先利用等边三角形三线合一的性质，由BD是等边△ABC的角平分线，可得D是AC中点，即AD=$\frac{1}{2}$AC，再结合等边三角形三边相等的性质，得到AC=AB、AE=AD，通过等量代换即可得到结论。
【解析】
(1)证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠C=60°。
∵DE//BC，
∴∠AED=∠ABC=60°，∠ADE=∠C=60°，
∴△ADE是等边三角形。
(2)证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC。
∵BD平分∠ABC，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC。
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB。
【答案】
(1)△ADE是等边三角形，得证；(2)AE=$\frac{1}{2}$AB，得证。（完整证明过程见解析）
【知识点】
等边三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质
【点评】
本题属于等边三角形相关的基础证明题，核心考察等边三角形性质、判定和平行线性质的综合运用，解题时只要准确对应相关定理即可完成推导，是对基础定理应用能力的常规考察。
【难度系数】
0.8

7.(2024秋·张家港月考)下列对$△ ABC$的判断,错误的是 ()

A.若$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$,则$△ ABC$是直角三角形
B.若$AB=BC,∠ C=50°$,则$∠ B=50°$
C.若$AB=BC,∠ A=60°$,则$△ ABC$是等边三角形
D.若$∠ A=20°,∠ C=80°$,则$△ ABC$是等腰三角形

7.B

【分析】
本题需要结合三角形内角和定理、等腰三角形及等边三角形的性质与判定，逐个分析四个选项的正误，最终选出判断错误的选项。解题时先回忆相关性质，再对每个选项逐一计算验证即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，三角形内角和为$180°$，则$∠C=180°×\frac{3}{1+2+3}=90°$，因此$△ ABC$是直角三角形，该选项判断正确。
选项B：已知$AB=BC$，根据“等边对等角”，可得边AB对应的角$∠C$与边BC对应的角$∠A$相等，即$∠A=∠C=50°$，则$∠B=180°-∠A-∠C=180°-50°-50°=80°≠50°$，该选项判断错误。
选项C：已知$AB=BC$，$△ ABC$是等腰三角形，又有$∠A=60°$，根据“有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形”，可得$△ ABC$是等边三角形，该选项判断正确。
选项D：已知$∠A=20°$，$∠C=80°$，则$∠B=180°-20°-80°=80°$，即$∠B=∠C$，根据“等角对等边”可得$AB=AC$，$△ ABC$是等腰三角形，该选项判断正确。
综上，判断错误的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形相关性质的应用，解题时要注意等腰三角形中等边对等角时需准确匹配边和对应的角，避免因对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.8