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8.如图,在△ABC中,AC=BC,∠A=30°,CD⊥AC交AB于点D,CD=1,则AB的长是
3
。答案
8.3
解析
【分析】
解题时先从已知条件AC=BC入手，判定△ABC是等腰三角形，可得∠B=∠A=30°，结合三角形内角和可算出∠ACB的度数；再根据CD⊥AC的条件求出∠BCD的度数，可发现∠BCD=∠B，利用等角对等边得到DB=CD；最后在Rt△ACD中利用直角三角形30°角的性质求出AD的长度，将AD和DB相加即可得到AB的长度。
【解析】
解：
∵AC=BC，∠A=30°，
∴∠B=∠A=30°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-30°-30°=120°，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠ACB - ∠ACD=120°-90°=30°，
∴∠BCD=∠B=30°，
∴DB=CD=1，
在Rt△ACD中，∠A=30°，CD=1，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AD=2CD=2，
∴AB=AD + DB=2+1=3。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形30°角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是通过角度推导得到边的等量关系，需要熟练掌握等腰三角形和含30°角直角三角形的性质，解题时要注意梳理角度之间的关系，不要混淆各角的度数。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件AC=BC入手，判定△ABC是等腰三角形，可得∠B=∠A=30°，结合三角形内角和可算出∠ACB的度数；再根据CD⊥AC的条件求出∠BCD的度数，可发现∠BCD=∠B，利用等角对等边得到DB=CD；最后在Rt△ACD中利用直角三角形30°角的性质求出AD的长度，将AD和DB相加即可得到AB的长度。
【解析】
解：
∵AC=BC，∠A=30°，
∴∠B=∠A=30°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-30°-30°=120°，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠ACB - ∠ACD=120°-90°=30°，
∴∠BCD=∠B=30°，
∴DB=CD=1，
在Rt△ACD中，∠A=30°，CD=1，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AD=2CD=2，
∴AB=AD + DB=2+1=3。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形30°角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是通过角度推导得到边的等量关系，需要熟练掌握等腰三角形和含30°角直角三角形的性质，解题时要注意梳理角度之间的关系，不要混淆各角的度数。
【难度系数】
0.7
9.如图，$∠ AOB=30°$，P是$∠ AOB$内一点，$PO=10$，Q，R分别是OA，OB上的动点，则$△ PQR$周长的最小值是
10
。答案
9.10
解析
【分析】
要解决△PQR周长最小值的问题，核心是利用轴对称的性质将三条线段的和转化为两点之间的线段长度。解题思路如下：1. 分别作点P关于OA、OB的对称点，利用轴对称性质可得PQ等于对称点到Q的距离，PR等于另一个对称点到R的距离，此时△PQR的周长就等于两个对称点之间的线段长度；2. 根据两点之间线段最短，此时的周长就是最小值；3. 结合已知∠AOB=30°和PO=10，通过角度计算证明两个对称点与点O构成的三角形是等边三角形，即可求出线段长度。
【解析】
解：分别作点P关于OA的对称点$P_1$，关于OB的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，交OA于点Q，交OB于点R，连接$OP_1$、$OP_2$。
根据轴对称的性质可知：
$PQ = P_1Q$，$PR = P_2R$，$OP_1 = OP = OP_2 = 10$，
$∠P_1OA = ∠POA$，$∠P_2OB = ∠POB$，
∴ $∠P_1OP_2 = ∠P_1OA + ∠AOB + ∠P_2OB = ∠POA + ∠AOB + ∠POB = 2∠AOB = 2×30° = 60°$，
∴ $△ P_1OP_2$是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ $P_1P_2 = OP_1 = 10$，
此时$△ PQR$的周长$= PQ + QR + PR = P_1Q + QR + P_2R = P_1P_2 = 10$，即周长最小值为10。
【答案】
10
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于最短路径问题中的典型题型，解题核心是通过作对称点将三角形周长的最小值转化为两点之间的线段长度，再结合角度关系和等边三角形的性质求解，掌握对称点的作图方法是解题的关键。
【难度系数】
0.6
要解决△PQR周长最小值的问题，核心是利用轴对称的性质将三条线段的和转化为两点之间的线段长度。解题思路如下：1. 分别作点P关于OA、OB的对称点，利用轴对称性质可得PQ等于对称点到Q的距离，PR等于另一个对称点到R的距离，此时△PQR的周长就等于两个对称点之间的线段长度；2. 根据两点之间线段最短，此时的周长就是最小值；3. 结合已知∠AOB=30°和PO=10，通过角度计算证明两个对称点与点O构成的三角形是等边三角形，即可求出线段长度。
【解析】
解：分别作点P关于OA的对称点$P_1$，关于OB的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，交OA于点Q，交OB于点R，连接$OP_1$、$OP_2$。
根据轴对称的性质可知：
$PQ = P_1Q$，$PR = P_2R$，$OP_1 = OP = OP_2 = 10$，
$∠P_1OA = ∠POA$，$∠P_2OB = ∠POB$，
∴ $∠P_1OP_2 = ∠P_1OA + ∠AOB + ∠P_2OB = ∠POA + ∠AOB + ∠POB = 2∠AOB = 2×30° = 60°$，
∴ $△ P_1OP_2$是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ $P_1P_2 = OP_1 = 10$，
此时$△ PQR$的周长$= PQ + QR + PR = P_1Q + QR + P_2R = P_1P_2 = 10$，即周长最小值为10。
【答案】
10
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于最短路径问题中的典型题型，解题核心是通过作对称点将三角形周长的最小值转化为两点之间的线段长度，再结合角度关系和等边三角形的性质求解，掌握对称点的作图方法是解题的关键。
【难度系数】
0.6
10. 如图，在等边三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD//AB，OE//AC。
(1)试判断△ODE的形状，并说明理由；
(2)若BC=20，求△ODE的周长。
(1)试判断△ODE的形状，并说明理由；
(2)若BC=20，求△ODE的周长。
答案
10.解:(1)△ODE是等边三角形.理由如下：
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵OD//AB,OE//AC,
∴∠ODE=∠ABC=60°,∠OED=∠ACB=60°,
∴△ODE是等边三角形.
(2)
∵BO平分∠ABC,OD//AB,
∴∠ABO=∠DBO,∠ABO=∠DOB,
∴∠DOB=∠DBO,
∴BD=OD.
同理可证CE=OE.
∵△ODE的周长=DO+OE+ED=BD+DE+EC=BC=20.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵OD//AB,OE//AC,
∴∠ODE=∠ABC=60°,∠OED=∠ACB=60°,
∴△ODE是等边三角形.
(2)
∵BO平分∠ABC,OD//AB,
∴∠ABO=∠DBO,∠ABO=∠DOB,
∴∠DOB=∠DBO,
∴BD=OD.
同理可证CE=OE.
∵△ODE的周长=DO+OE+ED=BD+DE+EC=BC=20.
解析
【分析】
(1)要判断△ODE的形状，首先结合等边△ABC的内角均为60°的性质，利用平行线的同位角相等的性质，可得到△ODE的两个内角都为60°，即可根据等边三角形的判定规则得出结论。
(2)要求△ODE的周长，先观察线段的等量关系，结合角平分线的定义和平行线的内错角相等的性质，可推导出△ODB和△OEC均为等腰三角形，得到OD=BD、OE=CE，进而将△ODE的周长转化为BC的长度即可求解。
【解析】
(1)△ODE是等边三角形，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°。
∵OD//AB，OE//AC，
∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°，
∴△ODE是等边三角形。
(2)
∵BO平分∠ABC，OD//AB，
∴∠ABO=∠DBO，∠ABO=∠DOB，
∴∠DOB=∠DBO，
∴BD=OD。
同理可证CE=OE。
∴△ODE的周长=DO+OE+ED=BD+DE+EC=BC=20。
【答案】
(1)△ODE是等边三角形；(2)20
【知识点】
等边三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查了等边三角形、平行线、角平分线的相关知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质，灵活转化线段关系，其中“角平分线+平行线构造等腰三角形”是几何题中非常常见的模型，需要熟练掌握运用。
【难度系数】
0.7
(1)要判断△ODE的形状，首先结合等边△ABC的内角均为60°的性质，利用平行线的同位角相等的性质，可得到△ODE的两个内角都为60°，即可根据等边三角形的判定规则得出结论。
(2)要求△ODE的周长，先观察线段的等量关系，结合角平分线的定义和平行线的内错角相等的性质，可推导出△ODB和△OEC均为等腰三角形，得到OD=BD、OE=CE，进而将△ODE的周长转化为BC的长度即可求解。
【解析】
(1)△ODE是等边三角形，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°。
∵OD//AB，OE//AC，
∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°，
∴△ODE是等边三角形。
(2)
∵BO平分∠ABC，OD//AB，
∴∠ABO=∠DBO，∠ABO=∠DOB，
∴∠DOB=∠DBO，
∴BD=OD。
同理可证CE=OE。
∴△ODE的周长=DO+OE+ED=BD+DE+EC=BC=20。
【答案】
(1)△ODE是等边三角形；(2)20
【知识点】
等边三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查了等边三角形、平行线、角平分线的相关知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质，灵活转化线段关系，其中“角平分线+平行线构造等腰三角形”是几何题中非常常见的模型，需要熟练掌握运用。
【难度系数】
0.7
11.如图，A是线段CB上一点，△ABD，△ACE都是等边三角形，AD与BE相交于点G，AE与CD相交于点F.
(1)求证:△BAE≌△DAC;
(2)求证:△AGF是等边三角形;
(3)设BE，CD相交于点P，连接AP，求∠APB的度数.
(1)求证:△BAE≌△DAC;
(2)求证:△AGF是等边三角形;
(3)设BE，CD相交于点P，连接AP，求∠APB的度数.
答案
11.(1)证明:
∵△ABD,△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAE=∠DAC.
在△BAE和△DAC中,$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠BAE=∠DAC, \\ AE=AC, \end{cases}$
∴△BAE≌△DAC(SAS).
(2)证明:
∵△BAE≌△DAC,
∴∠ABG=∠ADF.
∵∠BAD=∠EAC=60°,
∴∠DAF=180°-∠BAD-∠EAC=60°=∠BAG.
在△BAG和△DAF中,$\begin{cases} ∠ABG=∠ADF, \\ AB=AD, \\ ∠BAG=∠DAF, \end{cases}$
∴△BAG≌△DAF(ASA),
∴AG=AF.
∵∠GAF=60°,
∴△AGF是等边三角形.
(3)解:如答图,作AM⊥BE于点M,AN⊥CD于点N.
由(1)知△BAE≌△DAC,
∴∠ABG=∠ADF.
∵∠BGD=∠ABG+∠BAD=∠ADF+∠GPD,
∴∠GPD=∠BAD=60°,
∴∠BPC=120°.
∵△DAC≌△BAE,
∴CD=BE,$S_{△DAC}=S_{△BAE}$.
∵AM⊥BE,AN⊥CD,
∴$\frac{1}{2}BE·AM=\frac{1}{2}CD·AN$,
∴AM=AN,
∴点A在∠BPC的平分线上，
即PA平分∠BPC,
∴∠APB=60°.
解析
【分析】
(1)要证△BAE≌△DAC，先从等边三角形的性质入手，可得两组对应边相等：AB=AD、AC=AE，再推导两边的夹角相等：∠BAD和∠CAE均为60°，同时加上公共角∠DAE即可得到∠BAE=∠DAC，满足SAS全等判定条件即可完成证明。
(2)要证△AGF是等边三角形，可利用(1)的全等结论得到∠ABG=∠ADF，再结合AB=AD、∠BAG=∠DAF=60°，证明△BAG≌△DAF，得到AG=AF，结合∠GAF=60°，即可根据等边三角形的判定定理得证。
(3)求∠APB的度数时，先由(1)的全等推导可得∠BPC=120°，再通过作AM⊥BE、AN⊥CD，利用全等三角形面积相等、对应边相等推出AM=AN，根据角平分线的判定可知PA平分∠BPC，即可求出∠APB的度数。
【解析】
(1)证明：
∵△ABD,△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠BAE=∠DAC.
在△BAE和△DAC中,
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠BAE=∠DAC, \\ AE=AC, \end{cases}$
∴△BAE≌△DAC(SAS).
(2)证明：
∵△BAE≌△DAC,
∴∠ABG=∠ADF.
∵∠BAD=∠EAC=60°,
∴∠DAF=180°-∠BAD-∠EAC=60°=∠BAG.
在△BAG和△DAF中,
$\begin{cases} ∠ABG=∠ADF, \\ AB=AD, \\ ∠BAG=∠DAF, \end{cases}$
∴△BAG≌△DAF(ASA),
∴AG=AF.
∵∠GAF=60°,
∴△AGF是等边三角形.
(3)解：如答图，作AM⊥BE于点M,AN⊥CD于点N.
由(1)知△BAE≌△DAC,
∴∠ABG=∠ADF.
∵∠BGD=∠ABG+∠BAD=∠ADF+∠GPD,
∴∠GPD=∠BAD=60°,
∴∠BPC=120°.
∵△DAC≌△BAE,
∴CD=BE,$S_{△DAC}=S_{△BAE}$.
∵AM⊥BE,AN⊥CD,
∴$\frac{1}{2}BE·AM=\frac{1}{2}CD·AN$,
∴AM=AN,
∴点A在∠BPC的平分线上，
即PA平分∠BPC,
∴∠APB=$\frac{1}{2}$∠BPC=60°.
【答案】
(1)证明见上述解析；
(2)证明见上述解析；
(3)$∠ APB=60°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定
【点评】
本题是典型的等边三角形综合题，三个小问层层递进，前一问的结论可直接作为后一问的推导依据，解题时要注意条件的前后关联，熟练掌握全等证明方法和等边三角形、角平分线的相关性质是解题的核心。
【难度系数】
0.6
(1)要证△BAE≌△DAC，先从等边三角形的性质入手，可得两组对应边相等：AB=AD、AC=AE，再推导两边的夹角相等：∠BAD和∠CAE均为60°，同时加上公共角∠DAE即可得到∠BAE=∠DAC，满足SAS全等判定条件即可完成证明。
(2)要证△AGF是等边三角形，可利用(1)的全等结论得到∠ABG=∠ADF，再结合AB=AD、∠BAG=∠DAF=60°，证明△BAG≌△DAF，得到AG=AF，结合∠GAF=60°，即可根据等边三角形的判定定理得证。
(3)求∠APB的度数时，先由(1)的全等推导可得∠BPC=120°，再通过作AM⊥BE、AN⊥CD，利用全等三角形面积相等、对应边相等推出AM=AN，根据角平分线的判定可知PA平分∠BPC，即可求出∠APB的度数。
【解析】
(1)证明：
∵△ABD,△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠BAE=∠DAC.
在△BAE和△DAC中,
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠BAE=∠DAC, \\ AE=AC, \end{cases}$
∴△BAE≌△DAC(SAS).
(2)证明：
∵△BAE≌△DAC,
∴∠ABG=∠ADF.
∵∠BAD=∠EAC=60°,
∴∠DAF=180°-∠BAD-∠EAC=60°=∠BAG.
在△BAG和△DAF中,
$\begin{cases} ∠ABG=∠ADF, \\ AB=AD, \\ ∠BAG=∠DAF, \end{cases}$
∴△BAG≌△DAF(ASA),
∴AG=AF.
∵∠GAF=60°,
∴△AGF是等边三角形.
(3)解：如答图，作AM⊥BE于点M,AN⊥CD于点N.
由(1)知△BAE≌△DAC,
∴∠ABG=∠ADF.
∵∠BGD=∠ABG+∠BAD=∠ADF+∠GPD,
∴∠GPD=∠BAD=60°,
∴∠BPC=120°.
∵△DAC≌△BAE,
∴CD=BE,$S_{△DAC}=S_{△BAE}$.
∵AM⊥BE,AN⊥CD,
∴$\frac{1}{2}BE·AM=\frac{1}{2}CD·AN$,
∴AM=AN,
∴点A在∠BPC的平分线上，
即PA平分∠BPC,
∴∠APB=$\frac{1}{2}$∠BPC=60°.
【答案】
(1)证明见上述解析；
(2)证明见上述解析；
(3)$∠ APB=60°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定
【点评】
本题是典型的等边三角形综合题，三个小问层层递进，前一问的结论可直接作为后一问的推导依据，解题时要注意条件的前后关联，熟练掌握全等证明方法和等边三角形、角平分线的相关性质是解题的核心。
【难度系数】
0.6
[模型]共顶点的双等边三角形
[条件]如图，△ABC,△ADE都是等边三角形.
[结论]△ABD≌△ACE.
易错知识点:等边三角形的性质与判定
易错考法:等边三角形的判定
[条件]如图，△ABC,△ADE都是等边三角形.
[结论]△ABD≌△ACE.
易错知识点:等边三角形的性质与判定
易错考法:等边三角形的判定
答案
证明：
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC±∠CAD=∠DAE±∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠BAD=∠CAE \\AD=AE\end{array} $
∴△ABD≌△ACE（SAS）。
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC±∠CAD=∠DAE±∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠BAD=∠CAE \\AD=AE\end{array} $
∴△ABD≌△ACE（SAS）。
解析
【分析】
要证明△ABD≌△ACE，首先回忆全等三角形的判定定理，结合已知的两个等边三角形的条件思考：首先根据等边三角形三边相等、内角为60°的性质，可得到两组对应边相等：AB=AC、AD=AE，以及两个等角∠BAC=∠DAE=60°；接下来观察两个待证全等三角形的夹角，∠BAD和∠CAE可通过∠BAC与∠DAE同时加/减公共角∠CAD推导得到相等，满足全等判定中的SAS条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC±∠CAD=∠DAE±∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠BAD=∠CAE \\AD=AE\end{array} $
∴△ABD≌△ACE（SAS）。
【答案】
证明：
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC±∠CAD=∠DAE±∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠BAD=∠CAE \\AD=AE\end{array} $
∴△ABD≌△ACE（SAS）。
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形SAS判定
【点评】
本题属于共顶点双等边三角形的基础模型题，解题的关键是熟练运用等边三角形的性质得到边、角的等量关系，再通过角的和差推导得到全等所需的夹角条件，该模型是几何证明中常用的经典模型，掌握其推导逻辑可快速解决同类的线段相等、角相等证明问题。
【难度系数】
0.8
要证明△ABD≌△ACE，首先回忆全等三角形的判定定理，结合已知的两个等边三角形的条件思考：首先根据等边三角形三边相等、内角为60°的性质，可得到两组对应边相等：AB=AC、AD=AE，以及两个等角∠BAC=∠DAE=60°；接下来观察两个待证全等三角形的夹角，∠BAD和∠CAE可通过∠BAC与∠DAE同时加/减公共角∠CAD推导得到相等，满足全等判定中的SAS条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC±∠CAD=∠DAE±∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠BAD=∠CAE \\AD=AE\end{array} $
∴△ABD≌△ACE（SAS）。
【答案】
证明：
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC±∠CAD=∠DAE±∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠BAD=∠CAE \\AD=AE\end{array} $
∴△ABD≌△ACE（SAS）。
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形SAS判定
【点评】
本题属于共顶点双等边三角形的基础模型题，解题的关键是熟练运用等边三角形的性质得到边、角的等量关系，再通过角的和差推导得到全等所需的夹角条件，该模型是几何证明中常用的经典模型，掌握其推导逻辑可快速解决同类的线段相等、角相等证明问题。
【难度系数】
0.8
