8.如图,在△ABC中,AC=BC,∠A=30°,CD⊥AC交AB于点D,CD=1,则AB的长是。

8.3

9.如图，$∠ AOB=30°$，P是$∠ AOB$内一点，$PO=10$，Q，R分别是OA，OB上的动点，则$△ PQR$周长的最小值是。

9.10

10. 如图，在等边三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD//AB，OE//AC。
(1)试判断△ODE的形状，并说明理由；
(2)若BC=20，求△ODE的周长。

10.解:(1)△ODE是等边三角形.理由如下：
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵OD//AB,OE//AC,
∴∠ODE=∠ABC=60°,∠OED=∠ACB=60°,
∴△ODE是等边三角形.
(2)
∵BO平分∠ABC,OD//AB,
∴∠ABO=∠DBO,∠ABO=∠DOB,
∴∠DOB=∠DBO,
∴BD=OD.
同理可证CE=OE.
∵△ODE的周长=DO+OE+ED=BD+DE+EC=BC=20.

11.如图，A是线段CB上一点，△ABD，△ACE都是等边三角形，AD与BE相交于点G，AE与CD相交于点F.
(1)求证:△BAE≌△DAC;
(2)求证:△AGF是等边三角形;
(3)设BE，CD相交于点P，连接AP，求∠APB的度数.

11.(1)证明:
∵△ABD,△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAE=∠DAC.
在△BAE和△DAC中,$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠BAE=∠DAC, \\ AE=AC, \end{cases}$
∴△BAE≌△DAC(SAS).
(2)证明:
∵△BAE≌△DAC,
∴∠ABG=∠ADF.
∵∠BAD=∠EAC=60°,
∴∠DAF=180°-∠BAD-∠EAC=60°=∠BAG.
在△BAG和△DAF中,$\begin{cases} ∠ABG=∠ADF, \\ AB=AD, \\ ∠BAG=∠DAF, \end{cases}$
∴△BAG≌△DAF(ASA),
∴AG=AF.
∵∠GAF=60°,
∴△AGF是等边三角形.
(3)解:如答图,作AM⊥BE于点M,AN⊥CD于点N.
由(1)知△BAE≌△DAC,
∴∠ABG=∠ADF.
∵∠BGD=∠ABG+∠BAD=∠ADF+∠GPD,
∴∠GPD=∠BAD=60°,
∴∠BPC=120°.
∵△DAC≌△BAE,
∴CD=BE,$S_{△DAC}=S_{△BAE}$.
∵AM⊥BE,AN⊥CD,
∴$\frac{1}{2}BE·AM=\frac{1}{2}CD·AN$,
∴AM=AN,
∴点A在∠BPC的平分线上，
即PA平分∠BPC,
∴∠APB=60°.

[模型]共顶点的双等边三角形
[条件]如图，△ABC,△ADE都是等边三角形.
[结论]△ABD≌△ACE.

易错知识点:等边三角形的性质与判定
易错考法:等边三角形的判定

证明：
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC±∠CAD=∠DAE±∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠BAD=∠CAE \\AD=AE\end{array} $
∴△ABD≌△ACE（SAS）。