8.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，分别以点$B$和点$C$为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径作弧，两弧交于点$D$，作直线$AD$交$BC$于点$E$。若$∠ BAC=110°$，则$∠ BAE$的大小为。第8题图

8.55°

【分析】
首先根据题中的尺规作图方法，可判断出直线AD是线段BC的垂直平分线；再结合已知AB=AC，可知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AE平分顶角∠BAC，因此∠BAE的度数为∠BAC的一半，代入角度计算即可。
【解析】
解：由尺规作图的方法可知，直线AD是线段BC的垂直平分线。
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形。
根据等腰三角形三线合一的性质，可得AE平分∠BAC，
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×110° = 55°。
【答案】
55°
【知识点】
线段垂直平分线作图；等腰三角形三线合一；角的运算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先识别尺规作图得到的线段垂直平分线，再结合等腰三角形的性质求解，主要考查学生对基础作图和几何性质的掌握情况。
【难度系数】
0.8

9.(2024秋·浦口区月考)在△ABC中,∠A=80°,当∠B=时,△ABC是等腰三角形.

9.80°或50°或20°

【分析】
要判断△ABC是等腰三角形，需满足有两个内角相等，已知∠A=80°，需分三种情况讨论：①∠A为顶角，∠B为底角；②∠A为底角，∠B也为底角；③∠A为底角，∠B为顶角，结合三角形内角和为180°分别计算∠B的度数，验证所得结果符合三角形内角要求即可。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 当∠A为顶角时，∠B和∠C为等腰三角形的两个底角，二者相等。
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ B=(180°-∠ A)÷2=(180°-80°)÷2=50°$
2. 当∠A为底角，∠B也为底角时，两底角相等：
$∠ B=∠ A=80°$
3. 当∠A为底角，∠B为顶角时，另一个底角$∠ C=∠ A=80°$，根据内角和可得：
$∠ B=180°-2×∠ A=180°-2×80°=20°$
以上三种情况均满足三角形内角和定理，均成立。
【答案】
80°或50°或20°
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是分情况讨论已知角是顶角还是底角，避免漏解，同时要注意计算得到的角度需满足三角形内角和的要求。
【难度系数】
0.6

10.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,点E是AB的中点,连接DE.(1)求证:△ABD是等腰三角形;(2)求∠BDE的度数.第10题图

10.(1)证明:
∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=36°.
∵∠A=∠ABD=36°,
∴BD=AD,
∴△ABD是等腰三角形.
(2)解:
∵E是AB的中点,DA=DB,
∴DE⊥AB.
∵∠ABD=36°,
∴∠BDE=90°-36°=54°.

【分析】
(1) 要证明△ABD是等腰三角形，核心是证明该三角形有两个内角相等或两条边相等。首先根据等腰△ABC的顶角∠A=36°，可先计算出底角∠ABC的度数，再结合BD是∠ABC的角平分线，求出∠ABD的度数，验证其与∠A相等即可完成证明。
(2) 由(1)已证△ABD是等腰三角形，E为AB中点，可根据等腰三角形三线合一的性质得到DE⊥AB，再在直角三角形BED中利用直角三角形两锐角互余的规律，结合∠ABD的度数即可求出∠BDE的大小。
【解析】
(1) 证明：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=(180°-36°)÷2=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=½∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴BD=AD，
∴△ABD是等腰三角形。
(2) 解：
由(1)可知DA=DB，△ABD为等腰三角形，
∵E是AB的中点，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，DE⊥AB，即∠BED=90°，
在Rt△BED中，∠ABD=36°，
∴∠BDE=90°-36°=54°。
【答案】
(1) △ABD是等腰三角形，证明如上；
(2) ∠BDE=54°
【知识点】
等腰三角形的判定；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于等腰三角形相关知识的基础考查题，解题时需要熟练运用等腰三角形的内角规律、判定定理以及三线合一的性质，结合角度计算即可求解，对基础定理的掌握要求较高。
【难度系数】
0.8

11.(2024秋·南京月考)在△ABC中，AB=AC，D是边AB上一点，∠BCD=∠A.
(1)如图①，求证:CD=CB.
(2)如图②，过点B作BE⊥AC，垂足为E，BE与CD相交于点F.
①求证:∠BCD=2∠CBE；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数.

11.(1)证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠BDC是△ADC的一个外角,
∴∠BDC=∠A+∠ACD.
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD,∠BCD=∠A,
∴∠BDC=∠ACB,
∴∠ABC=∠BDC.
∴CD=CB.
(2)①证明:
∵BE⊥AC,
∴∠BEC=90°,
∴∠CBE+∠ACB=90°.
设∠CBE=α,则∠ACB=90°-α,
∴∠ABC=∠ACB=∠BDC=90°-α,
∴∠BCD=180°-∠BDC-∠ABC=180°-2(90°-α)=2α,
∴∠BCD=2∠CBE.
②解:
∵∠BFD是△CBF的一个外角,
∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α,分三种情况:
当BD=BF时,∠BDC=∠BFD=3α.
∵∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-α,
∴90°-α=3α,
∴α=22.5°,
∴∠A=∠BCD=2α=45°;
当DB=DF时,∠DBE=∠BFD=3α.
∵∠DBE=∠ABC-∠CBE=90°-α-α=90°-2α,
∴90°-2α=3α,
∴α=18°,
∴∠A=∠BCD=2α=36°;
当FB=FD时,∠DBF=∠BDF.
∵∠BDF=∠ABC＞∠DBF,
∴不存在FB=FD.
综上所述,∠A的度数为45°或36°.

【分析】
(1) 要证CD=CB，根据等腰三角形判定定理，需证两边所对的角∠ABC=∠BDC。首先由AB=AC得∠ABC=∠ACB，再利用三角形外角性质得∠BDC=∠A+∠ACD，结合已知∠BCD=∠A，将∠ACB拆分为∠BCD+∠ACD，即可推出∠BDC=∠ACB，进而得到∠ABC=∠BDC完成证明。
(2) ①要证∠BCD=2∠CBE，由BE⊥AC可得∠CBE与∠ACB互余，可设∠CBE为α，用含α的式子表示∠ACB，结合(1)的结论得到∠ABC=∠BDC=∠ACB，在△BCD中用内角和定理计算∠BCD，即可得到二者的倍数关系。
②△BDF为等腰三角形需分三种情况讨论：BD=BF、DB=DF、FB=FD，分别根据等腰三角形等边对等角的性质，结合已推导的角的数量关系列方程求解，同时排除不符合三角形角度大小关系的情况，最终得到∠A的度数。
【解析】
(1) 证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠BDC是△ADC的一个外角,
∴∠BDC=∠A+∠ACD.
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD,∠BCD=∠A,
∴∠BDC=∠ACB,
∴∠ABC=∠BDC.
∴CD=CB.
(2) ①证明:
∵BE⊥AC,
∴∠BEC=90°,
∴∠CBE+∠ACB=90°.
设∠CBE=α,则∠ACB=90°-α,
∴∠ABC=∠ACB=∠BDC=90°-α,
∴∠BCD=180°-∠BDC-∠ABC=180°-2(90°-α)=2α,
∴∠BCD=2∠CBE.
②解:
∵∠BFD是△CBF的一个外角,
∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α,分三种情况:
当BD=BF时,∠BDC=∠BFD=3α.
∵∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-α,
∴90°-α=3α,
∴α=22.5°,
∴∠A=∠BCD=2α=45°;
当DB=DF时,∠DBE=∠BFD=3α.
∵∠DBE=∠ABC-∠CBE=90°-α-α=90°-2α,
∴90°-2α=3α,
∴α=18°,
∴∠A=∠BCD=2α=36°;
当FB=FD时,∠DBF=∠BDF.
∵∠BDF=∠ABC＞∠DBF,
∴不存在FB=FD的情况.
综上所述,∠A的度数为45°或36°.
【答案】
(1) 证明成立；(2) ①证明成立；②∠A的度数为36°或45°
【知识点】
等腰三角形的性质与判定，三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形章节的典型综合题，侧重考查角度推导能力和分类讨论思想，解题时要灵活运用等角转换、互余关系梳理角度间的数量关系，讨论等腰三角形时需做到不重不漏，同时注意验证结论是否符合三角形的基本性质。
【难度系数】
0.5