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8.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，分别以点$B$和点$C$为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径作弧，两弧交于点$D$，作直线$AD$交$BC$于点$E$。若$∠ BAC=110°$，则$∠ BAE$的大小为
第8题图
55°
。第8题图答案
8.55°
9.(2024秋·浦口区月考)在△ABC中,∠A=80°,当∠B=
80°或50°或20°
时,△ABC是等腰三角形.答案
9.80°或50°或20°
10.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,点E是AB的中点,连接DE.(1)求证:△ABD是等腰三角形;(2)求∠BDE的度数.
第10题图
第10题图答案
10.(1)证明:
∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=36°.
∵∠A=∠ABD=36°,
∴BD=AD,
∴△ABD是等腰三角形.
(2)解:
∵E是AB的中点,DA=DB,
∴DE⊥AB.
∵∠ABD=36°,
∴∠BDE=90°-36°=54°.
∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=36°.
∵∠A=∠ABD=36°,
∴BD=AD,
∴△ABD是等腰三角形.
(2)解:
∵E是AB的中点,DA=DB,
∴DE⊥AB.
∵∠ABD=36°,
∴∠BDE=90°-36°=54°.
11.(2024秋·南京月考)在△ABC中，AB=AC，D是边AB上一点，∠BCD=∠A.
(1)如图①，求证:CD=CB.
(2)如图②，过点B作BE⊥AC，垂足为E，BE与CD相交于点F.
①求证:∠BCD=2∠CBE；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数.
(1)如图①，求证:CD=CB.
(2)如图②，过点B作BE⊥AC，垂足为E，BE与CD相交于点F.
①求证:∠BCD=2∠CBE；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数.
答案
11.(1)证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠BDC是△ADC的一个外角,
∴∠BDC=∠A+∠ACD.
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD,∠BCD=∠A,
∴∠BDC=∠ACB,
∴∠ABC=∠BDC.
∴CD=CB.
(2)①证明:
∵BE⊥AC,
∴∠BEC=90°,
∴∠CBE+∠ACB=90°.
设∠CBE=α,则∠ACB=90°-α,
∴∠ABC=∠ACB=∠BDC=90°-α,
∴∠BCD=180°-∠BDC-∠ABC=180°-2(90°-α)=2α,
∴∠BCD=2∠CBE.
②解:
∵∠BFD是△CBF的一个外角,
∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α,分三种情况:
当BD=BF时,∠BDC=∠BFD=3α.
∵∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-α,
∴90°-α=3α,
∴α=22.5°,
∴∠A=∠BCD=2α=45°;
当DB=DF时,∠DBE=∠BFD=3α.
∵∠DBE=∠ABC-∠CBE=90°-α-α=90°-2α,
∴90°-2α=3α,
∴α=18°,
∴∠A=∠BCD=2α=36°;
当FB=FD时,∠DBF=∠BDF.
∵∠BDF=∠ABC＞∠DBF,
∴不存在FB=FD.
综上所述,∠A的度数为45°或36°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠BDC是△ADC的一个外角,
∴∠BDC=∠A+∠ACD.
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD,∠BCD=∠A,
∴∠BDC=∠ACB,
∴∠ABC=∠BDC.
∴CD=CB.
(2)①证明:
∵BE⊥AC,
∴∠BEC=90°,
∴∠CBE+∠ACB=90°.
设∠CBE=α,则∠ACB=90°-α,
∴∠ABC=∠ACB=∠BDC=90°-α,
∴∠BCD=180°-∠BDC-∠ABC=180°-2(90°-α)=2α,
∴∠BCD=2∠CBE.
②解:
∵∠BFD是△CBF的一个外角,
∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α,分三种情况:
当BD=BF时,∠BDC=∠BFD=3α.
∵∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-α,
∴90°-α=3α,
∴α=22.5°,
∴∠A=∠BCD=2α=45°;
当DB=DF时,∠DBE=∠BFD=3α.
∵∠DBE=∠ABC-∠CBE=90°-α-α=90°-2α,
∴90°-2α=3α,
∴α=18°,
∴∠A=∠BCD=2α=36°;
当FB=FD时,∠DBF=∠BDF.
∵∠BDF=∠ABC＞∠DBF,
∴不存在FB=FD.
综上所述,∠A的度数为45°或36°.
