1.(常州期中)下列能断定$△ ABC$为等腰三角形的是（）

A.$∠ A=40°,∠ B=50°$
B.$∠ A=2∠ B=70°$
C.$∠ A=40°,∠ B=70°$
D.$AB=3,BC=6$,周长为14

1.C

【分析】
要判断△ABC是否为等腰三角形，可依据等腰三角形的判定规则：要么三角形中有两个内角相等，要么有两条边长度相等。解题时需对每个选项分别计算，先利用三角形内角和为180°求出未知角，或结合周长公式求出未知边长，再验证是否满足等腰三角形的判定条件即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：已知∠A=40°，∠B=50°，根据三角形内角和为180°，可得∠C=180°-40°-50°=90°，三个内角均不相等，不是等腰三角形，排除；
选项B：由∠A=2∠B=70°，得∠A=70°，∠B=35°，则∠C=180°-70°-35°=75°，三个内角均不相等，不是等腰三角形，排除；
选项C：已知∠A=40°，∠B=70°，可得∠C=180°-40°-70°=70°，则∠B=∠C，满足等腰三角形“等角对等边”的判定条件，△ABC是等腰三角形；
选项D：已知AB=3，BC=6，周长为14，则AC=14-3-6=5，三边长分别为3、5、6，均不相等，不是等腰三角形，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查等腰三角形的判定方法，解题时只需结合三角形内角和、周长公式逐一验证选项，计算细心即可顺利得分。
【难度系数】
0.8

2.在△ABC中，∠A=80°,∠B=50°,若AB=6 cm,则AC的长为（）

A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.8 cm

2.C

【分析】
要计算AC的长度，首先结合已知的两个内角度数，可先利用三角形内角和定理求出第三个角的度数，再判断角的相等关系，最后根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理推导边的数量关系，即可求出AC的长度。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 80° - 50° = 50°$
$\therefore ∠ B = ∠ C = 50°$
根据等腰三角形“等角对等边”的判定，可得：
$AC = AB$
$\because AB = 6\mathrm{cm}$
$\therefore AC = 6\mathrm{cm}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先通过三角形内角和求出未知角的度数，再利用等角对等边确定相等的边，即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9

3.(2024秋·崇川区月考)如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E.若AD=4 cm,△ABC的周长为26 cm,则△BCE的周长为cm.

3.18

【分析】
解题时首先观察已知条件，看到DE是AB的垂直平分线，优先回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得EB=EA，同时AB长度是AD的2倍。接下来分别分析两个三角形的周长关系：△ABC的周长包含AB、AC、BC，△BCE的周长包含BE、EC、BC，利用EB=EA进行等量替换，可将△BCE的周长转化为AC+BC，再结合△ABC的总周长减去AB的长度即可求出结果。
【解析】
解：
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EB=EA，AB=2AD，
已知AD=4cm，
∴AB=2×4=8cm，
∵△ABC的周长为26cm，即AB+AC+BC=26cm，
∴AC+BC=26-AB=26-8=18cm，
△BCE的周长为：BE+EC+BC，
将BE替换为EA，可得：
周长=EA+EC+BC=AC+BC=18cm。
【答案】
18
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础常考题，解题的核心是熟练运用线段垂直平分线的性质完成线段的等量替换，将未知的三角形周长转化为已知条件相关的线段和，简化计算过程。
【难度系数】
0.75

4.(2024秋·鼓楼区月考)如图,在△ABC中,ED//BC,∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G,F.若FG=5,ED=8,则EB+DC的值为.

4.13

【分析】
解题时首先结合已知条件ED//BC和角平分线，利用平行线的性质得到内错角相等，再结合角平分线的定义进行等量代换，可证得△EBG和△DFC都是等腰三角形，从而将EB转化为EG、DC转化为DF；接下来分析线段EG、DF与已知ED、FG的和差关系，代入数值即可计算出EB+DC的结果。
【解析】
解：
∵ED//BC
∴∠EGB=∠GBC，∠DFC=∠FCB（两直线平行，内错角相等）
∵BG平分∠ABC
∴∠ABG=∠GBC
∴∠EGB=∠ABG
∴EB=EG（等角对等边）
同理，
∵CF平分∠ACB
∴∠ACF=∠FCB
∴∠DFC=∠ACF
∴DC=DF（等角对等边）
∴EB+DC=EG+DF
又
∵EG=EF+FG，DF=DG+FG
∴EG+DF=EF+FG+DG+FG=(EF+FG+DG)+FG=ED+FG
已知ED=8，FG=5
∴EB+DC=8+5=13
【答案】
13
【知识点】
等腰三角形的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是掌握“平行线+角平分线”的经典模型，该模型通常可推导出等腰三角形，实现线段的等量转化，再结合线段和差即可求解，是三角形部分的常考题型。
【难度系数】
0.7

5.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线交AC于点D,过点D作DE//BC交AB于点E.
(1)求证:BE=DE;
(2)若∠A=80°,∠C=40°,求∠BDE的度数.

5.(1)证明:
∵在△ABC中,∠ABC的平分线交AC于点D,
∴∠ABD=∠CBD.
∵DE//BC,
∴∠EDB=∠CBD,
∴∠EBD=∠EDB,
∴BE=DE.
(2)解:
∵∠A=80°,∠C=40°,
∴∠ABC=60°.
∵∠ABC的平分线交AC于点D,
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∵DE//BC,
∴∠BDE=∠CBD=30°.

【分析】
（1）要证明BE=DE，可通过证明△BED为等腰三角形，利用“等角对等边”推导：首先根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，再结合DE//BC的性质，得到内错角∠EDB=∠CBD，等量代换可得∠EBD=∠EDB，即可证得BE=DE。
（2）求∠BDE的度数时，先利用三角形内角和为180°，结合已知的∠A和∠C的度数求出∠ABC的度数，再由角平分线的性质求出∠CBD的度数，最后根据平行线的内错角相等，得到∠BDE=∠CBD，即可算出结果。
【解析】
(1)证明：
∵在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD。
∵DE//BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE。
(2)解：
∵在△ABC中，∠A=80°，∠C=40°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-80°-40°=60°。
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
∵DE//BC，
∴∠BDE=∠CBD=30°。
【答案】
(1) BE=DE，得证；
(2) ∠BDE=30°
【知识点】
等腰三角形的判定、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题关键是灵活运用角平分线定义、平行线的性质和等腰三角形判定定理，是几何中边相等证明、角度计算的常见基础题型，熟练掌握相关性质定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

6. 如图,在△ABC中,AB+AC=8,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN//BC,分别交AB,AC于点M,N,则△AMN的周长为 （）

A.12
B.4
C.8
D.不确定

6.C

【分析】
解题时首先观察已知条件：存在角平分线与平行线，二者结合通常可推导出等腰三角形，实现线段的等量转化。首先利用角平分线性质和平行线的内错角相等，推导△MBE和△NCE为等腰三角形，得到ME=MB、NE=NC，再将△AMN的周长中的线段MN拆分为ME+EN，替换后即可将周长转化为AB与AC的和，代入已知条件即可求解。
【解析】
解：
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB
∴∠MBE=∠CBE，∠NCE=∠BCE
∵MN//BC
∴∠MEB=∠CBE，∠NEC=∠BCE（两直线平行，内错角相等）
∴∠MBE=∠MEB，∠NCE=∠NEC
∴MB=ME，NC=NE（等角对等边）
△AMN的周长=AM + MN + AN
∵MN=ME+EN
∴周长=AM + ME + EN + AN = AM + MB + NC + AN = (AM+MB) + (AN+NC) = AB + AC
已知AB+AC=8，故△AMN的周长为8。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题考查角平分线、平行线与等腰三角形的综合应用，核心是掌握“角平分线+平行线可得等腰三角形”这一常用几何模型，通过线段等量转化即可快速求解，无需单独计算各段线段长度。
【难度系数】
0.7

7.如图，在正方形网格中，网格的交点称为格点.已知A,B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（）

A.6
B.7
C.8
D.9

7.C

【分析】
要找出所有使△ABC为等腰三角形的格点C，需按等腰三角形的腰和底部分类讨论：①AB为等腰三角形的腰，此时分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆，圆经过的格点（排除A、B本身）即为符合条件的点C；②AB为等腰三角形的底边，此时作AB的垂直平分线，垂直平分线上的格点即为符合条件的点C。最后统计所有不重复的符合条件的点的个数即可。
【解析】
我们分两类情况讨论：
1. 当AB为等腰三角形的腰时：
（1）以A为圆心、AB长为半径作圆，与网格格点的交点排除点B后，共得到3个符合要求的点C，此时满足AB=AC；
（2）以B为圆心、AB长为半径作圆，与网格格点的交点排除点A后，共得到3个符合要求的点C，此时满足BA=BC；
2. 当AB为等腰三角形的底边时：
作AB的垂直平分线，与网格格点的交点共2个，这2个点均满足AC=BC，符合要求。
综上，符合条件的点C的总个数为3+3+2=8个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定，分类讨论思想，勾股定理
【点评】
本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是按“AB为腰”“AB为底边”的逻辑分类讨论，结合画图辅助分析，能有效避免漏数或重复计数。
【难度系数】
0.65