10.如图,在△ABC中,AC=AE,BC=BD,
(1)若∠A=20°,∠B=40°,则∠DCE的度数是;
(2)若∠ACB=110°,求∠DCE的度数.

10.(1)30°
(2)解:设∠BCD=∠BDC=α,∠ACE=∠AEC=β,
则α+β−∠DCE=∠ACB=110°,
∴∠DCE=α+β−110°=180°−∠DCE−110°,
∴∠DCE=35°.

【分析】
解题时先从已知的等腰三角形条件入手，利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到两组相等的底角；再观察角的和差关系：∠ACE与∠BCD相加时，重叠部分恰好是∠DCE，因此得到等量关系∠ACE+∠BCD=∠ACB+∠DCE，这是解题的核心。(1)问可先分别计算两个等腰三角形的底角、△ABC的∠ACB，代入等量关系直接求解；(2)问没有给出底角的具体值，可通过设参数表示等腰三角形的底角，结合三角形内角和定理联立等量关系，消去参数即可求出∠DCE。
【解析】
(1) 在△ACE中，
∵AC=AE，∠A=20°，
∴∠ACE=∠AEC=$\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-20°}{2}=80°$。
在△BCD中，
∵BC=BD，∠B=40°，
∴∠BCD=∠BDC=$\frac{180°-∠ B}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$。
在△ABC中，∠ACB=$180°-∠ A-∠ B=180°-20°-40°=120°$。
又
∵∠ACE+∠BCD=∠ACB+∠DCE，
∴∠DCE=∠ACE+∠BCD-∠ACB=$80°+70°-120°=30°$。
(2) 设∠BCD=∠BDC=α，∠ACE=∠AEC=β。
在△CDE中，根据三角形内角和定理得：∠DCE+α+β=$180°$，即$α+β=180°-∠ DCE$。
根据角的和差关系可知：∠ACE+∠BCD-∠DCE=∠ACB，
代入∠ACB=110°得：$α+β-∠ DCE=110°$。
将$α+β=180°-∠ DCE$代入上式，得：
$180°-∠ DCE-∠ DCE=110°$，
整理得$2∠ DCE=70°$，解得$∠ DCE=35°$。
【答案】
(1) $30°$；(2) $35°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题重点考查等腰三角形性质与三角形内角和的综合应用，解题的关键是准确找到角之间的重叠等量关系，既可以通过直接计算求解，也可以通过设参数的方法消元求解，对学生的角关系分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.7

11.(秦淮区期末)如图,在$△ ABC$中,$AE=BE$,$∠ AED=∠ ABC$.
(1)求证:$BD$平分$∠ ABC$;
(2)若$AB=CB$,$∠ AED=4∠ EAD$,求$∠ C$的度数.

11.(1)证明:
∵∠AED=∠ABC,∠AED=∠ABE+∠EAB,
∠ABC=∠ABE+∠DBC,
∴∠EAB=∠DBC.
∵AE=BE,
∴∠EAB=∠ABE,
∴∠DBC=∠ABE,
∴BD平分∠ABC.
(2)解:设∠EAD=x,则∠AED=4x.
∵∠AED=∠ABE+∠EAB,∠EAB=∠ABE,BD平分∠ABC,
∴∠BAE=2x,∠ABC=4x,
∴∠BAC=3x.
∵AB=CB,
∴∠BAC=∠C,
∴∠C=3x.
∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°,
∴4x+3x+3x=180°,解得x=18°,
∴∠C=3x=54°,即∠C的度数是54°.

【分析】
(1) 要证明BD平分∠ABC，即需证∠ABE=∠DBC。首先利用三角形外角的性质，可得∠AED=∠ABE+∠EAB，结合已知∠AED=∠ABC，将∠ABC拆分为∠ABE+∠DBC，可推出∠EAB=∠DBC；再根据AE=BE，由等腰三角形等边对等角的性质得∠EAB=∠ABE，等量代换即可得到∠DBC=∠ABE，完成证明。
(2) 已知∠AED=4∠EAD，可设∠EAD=x，用含x的式子表示出∠AED，结合(1)的结论和等腰三角形的性质，分别用x表示出∠ABC、∠BAC、∠C，再根据三角形内角和为180°列方程求解，代入即可得到∠C的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵∠AED=∠ABC，∠AED是△ABE的外角，
∴∠AED=∠ABE+∠EAB，
又
∵∠ABC=∠ABE+∠DBC，
∴∠EAB=∠DBC，
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠ABE，
∴∠DBC=∠ABE，
∴BD平分∠ABC。
(2) 解：
设∠EAD=x，则∠AED=4x，
∵∠AED=∠ABE+∠EAB，且∠EAB=∠ABE，BD平分∠ABC，
∴∠BAE=2x，∠ABC=4x，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAD=3x，
∵AB=CB，
∴∠BAC=∠C，
∴∠C=3x，
在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠C=180°，
∴4x+3x+3x=180°，解得x=18°，
∴∠C=3x=3×18°=54°。
【答案】
(1) BD平分∠ABC得证；
(2) $\boldsymbol{54°}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查角平分线的判定、等腰三角形性质和三角形角度计算，解题时要注意角之间的等量转化，通过设未知数列方程求解角度是常用的解题技巧，熟练掌握角的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

12.在$△ ABC$中，$AB=AC$。
(1)如图①，若$P$是$BC$边上任意一点，$PF⊥ AB$于点$F$，$PE⊥ AC$于点$E$，$BD$为$△ ABC$的高线，试探究$PE$，$PF$与$BD$之间的数量关系；
(2)如图②，若$P$是$BC$延长线上一点，$PF⊥ AB$于点$F$，$PE⊥ AC$交$AC$的延长线于点$E$，$CD$为$△ ABC$的高线，试探究$PE$，$PF$与$CD$之间的数量关系。

12.解:(1)如答图①,连接AP,则$S_{△ABC}=S_{△ABP}+S_{△ACP}$,
∴$\frac{1}{2}AC·BD=\frac{1}{2}AB·PF+\frac{1}{2}AC·PE$.
∵AB=AC,
∴BD=PE+PF.
(2)如答图②,连接AP,则$S_{△ABC}=S_{△ABP}-S_{△ACP}$,
∴$\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}AB·PF-\frac{1}{2}AC·PE$.
∵AB=AC,
∴CD=PF−PE.

【分析】
要探究等腰三角形中多条垂线段的数量关系，优先考虑面积法：
(1) 图①中，PE、PF、BD分别是△ACP、△ABP、△ABC的高，连接AP后，△ABC的面积可拆分为△ABP和△ACP的面积之和，代入面积公式，结合AB=AC的条件化简即可得到结论。
(2) 图②中，P在BC延长线上，连接AP后，△ABC的面积等于△ABP的面积减去△ACP的面积，同样代入面积公式，结合AB=AC化简即可得到结论。
【解析】
(1) 连接AP，由面积和差关系可得：$S_{△ABC}=S_{△ABP}+S_{△ACP}$，
根据三角形面积公式代入得：$\frac{1}{2}AC·BD=\frac{1}{2}AB·PF+\frac{1}{2}AC·PE$，
已知$AB=AC$，等式两边同时乘2并约去腰长，可得$BD=PE+PF$。
(2) 连接AP，由面积和差关系可得：$S_{△ABC}=S_{△ABP}-S_{△ACP}$，
根据三角形面积公式代入得：$\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}AB·PF-\frac{1}{2}AC·PE$，
已知$AB=AC$，等式两边同时乘2并约去腰长，可得$CD=PF-PE$。
【答案】
12.解:(1)如答图①,连接AP,则$S_{△ABC}=S_{△ABP}+S_{△ACP}$,
∴$\frac{1}{2}AC·BD=\frac{1}{2}AB·PF+\frac{1}{2}AC·PE$.
∵AB=AC,
∴BD=PE+PF.
(2)如答图②,连接AP,则$S_{△ABC}=S_{△ABP}-S_{△ACP}$,
∴$\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}AB·PF-\frac{1}{2}AC·PE$.
∵AB=AC,
∴CD=PF−PE.

【知识点】
等腰三角形的性质、三角形面积计算、等积法应用
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型题型，利用面积的和差关系建立等式，可快速推导垂线段的数量关系，这种面积转化的思路是解决同类型垂线段和差问题的常用技巧，实用性较强。
【难度系数】
0.7