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10.如图,在△ABC中,AC=AE,BC=BD,
(1)若∠A=20°,∠B=40°,则∠DCE的度数是
(2)若∠ACB=110°,求∠DCE的度数.
(1)若∠A=20°,∠B=40°,则∠DCE的度数是
30°
;(2)若∠ACB=110°,求∠DCE的度数.
答案
10.(1)30°
(2)解:设∠BCD=∠BDC=α,∠ACE=∠AEC=β,
则α+β−∠DCE=∠ACB=110°,
∴∠DCE=α+β−110°=180°−∠DCE−110°,
∴∠DCE=35°.
(2)解:设∠BCD=∠BDC=α,∠ACE=∠AEC=β,
则α+β−∠DCE=∠ACB=110°,
∴∠DCE=α+β−110°=180°−∠DCE−110°,
∴∠DCE=35°.
11.(秦淮区期末)如图,在$△ ABC$中,$AE=BE$,$∠ AED=∠ ABC$.
(1)求证:$BD$平分$∠ ABC$;
(2)若$AB=CB$,$∠ AED=4∠ EAD$,求$∠ C$的度数.
(1)求证:$BD$平分$∠ ABC$;
(2)若$AB=CB$,$∠ AED=4∠ EAD$,求$∠ C$的度数.
答案
11.(1)证明:
∵∠AED=∠ABC,∠AED=∠ABE+∠EAB,
∠ABC=∠ABE+∠DBC,
∴∠EAB=∠DBC.
∵AE=BE,
∴∠EAB=∠ABE,
∴∠DBC=∠ABE,
∴BD平分∠ABC.
(2)解:设∠EAD=x,则∠AED=4x.
∵∠AED=∠ABE+∠EAB,∠EAB=∠ABE,BD平分∠ABC,
∴∠BAE=2x,∠ABC=4x,
∴∠BAC=3x.
∵AB=CB,
∴∠BAC=∠C,
∴∠C=3x.
∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°,
∴4x+3x+3x=180°,解得x=18°,
∴∠C=3x=54°,即∠C的度数是54°.
∵∠AED=∠ABC,∠AED=∠ABE+∠EAB,
∠ABC=∠ABE+∠DBC,
∴∠EAB=∠DBC.
∵AE=BE,
∴∠EAB=∠ABE,
∴∠DBC=∠ABE,
∴BD平分∠ABC.
(2)解:设∠EAD=x,则∠AED=4x.
∵∠AED=∠ABE+∠EAB,∠EAB=∠ABE,BD平分∠ABC,
∴∠BAE=2x,∠ABC=4x,
∴∠BAC=3x.
∵AB=CB,
∴∠BAC=∠C,
∴∠C=3x.
∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°,
∴4x+3x+3x=180°,解得x=18°,
∴∠C=3x=54°,即∠C的度数是54°.
12.在$△ ABC$中，$AB=AC$。
(1)如图①，若$P$是$BC$边上任意一点，$PF⊥ AB$于点$F$，$PE⊥ AC$于点$E$，$BD$为$△ ABC$的高线，试探究$PE$，$PF$与$BD$之间的数量关系；
(2)如图②，若$P$是$BC$延长线上一点，$PF⊥ AB$于点$F$，$PE⊥ AC$交$AC$的延长线于点$E$，$CD$为$△ ABC$的高线，试探究$PE$，$PF$与$CD$之间的数量关系。
(1)如图①，若$P$是$BC$边上任意一点，$PF⊥ AB$于点$F$，$PE⊥ AC$于点$E$，$BD$为$△ ABC$的高线，试探究$PE$，$PF$与$BD$之间的数量关系；
(2)如图②，若$P$是$BC$延长线上一点，$PF⊥ AB$于点$F$，$PE⊥ AC$交$AC$的延长线于点$E$，$CD$为$△ ABC$的高线，试探究$PE$，$PF$与$CD$之间的数量关系。
答案
12.解:(1)如答图①,连接AP,则$S_{△ABC}=S_{△ABP}+S_{△ACP}$,
∴$\frac{1}{2}AC·BD=\frac{1}{2}AB·PF+\frac{1}{2}AC·PE$.
∵AB=AC,
∴BD=PE+PF.
(2)如答图②,连接AP,则$S_{△ABC}=S_{△ABP}-S_{△ACP}$,
∴$\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}AB·PF-\frac{1}{2}AC·PE$.
∵AB=AC,
∴CD=PF−PE.
