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1.(2024春·姑苏区期中)若等腰三角形的两边长分别为3 cm和8 cm,则它的周长为 (
A.14 cm
B.14 cm或19 cm
C.19 cm
D.以上都不对
C
)A.14 cm
B.14 cm或19 cm
C.19 cm
D.以上都不对
答案
1.C
解析
【分析】
解决本题需要结合等腰三角形的性质和三角形三边关系思考：首先等腰三角形两条腰长度相等，题中没有明确说明3cm和8cm哪个是腰长，因此需要分两种情况分类讨论；其次每种情况得到的三边长都需要满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），排除不能构成三角形的情况后，再计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 若腰长为3 cm，则三边长分别为3 cm，3 cm，8 cm，
∵ 3 + 3 = 6 ＜ 8，不满足三角形两边之和大于第三边，
∴ 该情况无法构成三角形，舍去；
② 若腰长为8 cm，则三边长分别为8 cm，8 cm，3 cm，
∵ 3 + 8 = 11 ＞ 8，8 + 8 = 16 ＞ 3，满足三角形三边关系，
此时三角形周长 = 8 + 8 + 3 = 19 cm。
综上，该等腰三角形的周长为19 cm。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形周长计算的常见题型，易错点是忽略对三角形三边关系的验证，直接将两种情况的周长都作为结果错选B，解题时一定要牢记分类讨论后先验证能否构成三角形，再计算周长。
【难度系数】
0.6
解决本题需要结合等腰三角形的性质和三角形三边关系思考：首先等腰三角形两条腰长度相等，题中没有明确说明3cm和8cm哪个是腰长，因此需要分两种情况分类讨论；其次每种情况得到的三边长都需要满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），排除不能构成三角形的情况后，再计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 若腰长为3 cm，则三边长分别为3 cm，3 cm，8 cm，
∵ 3 + 3 = 6 ＜ 8，不满足三角形两边之和大于第三边，
∴ 该情况无法构成三角形，舍去；
② 若腰长为8 cm，则三边长分别为8 cm，8 cm，3 cm，
∵ 3 + 8 = 11 ＞ 8，8 + 8 = 16 ＞ 3，满足三角形三边关系，
此时三角形周长 = 8 + 8 + 3 = 19 cm。
综上，该等腰三角形的周长为19 cm。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形周长计算的常见题型，易错点是忽略对三角形三边关系的验证，直接将两种情况的周长都作为结果错选B，解题时一定要牢记分类讨论后先验证能否构成三角形，再计算周长。
【难度系数】
0.6
2. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，下列结论不一定正确的是 （
A.∠B=∠C
B.BC=2BD
C.∠BAD=∠CAD
D.AD=$\frac{1}{2}$BC
D
）A.∠B=∠C
B.BC=2BD
C.∠BAD=∠CAD
D.AD=$\frac{1}{2}$BC
答案
2.D
解析
【分析】
这道题考查等腰三角形的性质应用，解题思路如下：首先由AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，再结合AD⊥BC的条件，利用等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质逐一验证选项A、B、C；最后分析选项D，明确该结论仅在等腰直角三角形中成立，一般等腰三角形不满足，即可找到不一定正确的选项。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
1. 根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠B=∠C，故A选项结论正确，不符合题意；
2.
∵AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，AD是BC边上的中线，也是顶角∠BAC的角平分线，
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD，即BC=BD+CD=2BD，故B、C选项结论均正确，不符合题意；
3. 对于D选项：只有当△ABC是等腰直角三角形（即∠BAC=90°）时，才有AD=$\frac{1}{2}$BC，普通等腰三角形不满足该结论，因此D选项结论不一定正确，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质，三线合一，直角三角形性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查对等腰三角形性质的理解，需要明确“等边对等角”“三线合一”是所有等腰三角形都具备的通用性质，而AD=$\frac{1}{2}$BC是等腰直角三角形特有的结论，不能直接套用到所有等腰三角形中。
【难度系数】
0.8
这道题考查等腰三角形的性质应用，解题思路如下：首先由AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，再结合AD⊥BC的条件，利用等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质逐一验证选项A、B、C；最后分析选项D，明确该结论仅在等腰直角三角形中成立，一般等腰三角形不满足，即可找到不一定正确的选项。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
1. 根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠B=∠C，故A选项结论正确，不符合题意；
2.
∵AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，AD是BC边上的中线，也是顶角∠BAC的角平分线，
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD，即BC=BD+CD=2BD，故B、C选项结论均正确，不符合题意；
3. 对于D选项：只有当△ABC是等腰直角三角形（即∠BAC=90°）时，才有AD=$\frac{1}{2}$BC，普通等腰三角形不满足该结论，因此D选项结论不一定正确，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质，三线合一，直角三角形性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查对等腰三角形性质的理解，需要明确“等边对等角”“三线合一”是所有等腰三角形都具备的通用性质，而AD=$\frac{1}{2}$BC是等腰直角三角形特有的结论，不能直接套用到所有等腰三角形中。
【难度系数】
0.8
3.如图,直线$a// b$,直线$l$与直线$a$,$b$分别相交于点$A$,$B$,点$C$在直线$b$上,且$CA=CB$.若$∠1=32°$,则$∠2$的度数为 （
A.$32°$
B.$58°$
C.$74°$
D.$75°$
C
）A.$32°$
B.$58°$
C.$74°$
D.$75°$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先从已知条件CA=CB入手，可判断△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理就能求出底角∠CBA的度数；再利用直线a//b的条件，根据平行线“两直线平行，同位角相等”的性质，可得到∠2与∠CBA相等，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵CA=CB，
∴△ABC是等腰三角形，∠CAB=∠CBA。
已知∠ACB=∠1=32°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ CBA=\frac{180°-∠ ACB}{2}=\frac{180°-32°}{2}=74°$
又
∵直线$a// b$，直线$l$是截线，∠2与∠CBA是同位角，
根据两直线平行，同位角相等，得$∠ 2=∠ CBA=74°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，将等腰三角形、平行线、三角形内角和的知识点结合考查，解题的核心是先通过等腰三角形求出对应底角，再借助平行线性质关联所求角，解题思路清晰，是几何部分的常规考查题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件CA=CB入手，可判断△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理就能求出底角∠CBA的度数；再利用直线a//b的条件，根据平行线“两直线平行，同位角相等”的性质，可得到∠2与∠CBA相等，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵CA=CB，
∴△ABC是等腰三角形，∠CAB=∠CBA。
已知∠ACB=∠1=32°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ CBA=\frac{180°-∠ ACB}{2}=\frac{180°-32°}{2}=74°$
又
∵直线$a// b$，直线$l$是截线，∠2与∠CBA是同位角，
根据两直线平行，同位角相等，得$∠ 2=∠ CBA=74°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，将等腰三角形、平行线、三角形内角和的知识点结合考查，解题的核心是先通过等腰三角形求出对应底角，再借助平行线性质关联所求角，解题思路清晰，是几何部分的常规考查题型。
【难度系数】
0.8
4.若一个等腰三角形的一个内角为$80°$，则它的底角的度数是
80°或 50°
。答案
4.80°或 50°
解析
【分析】
已知等腰三角形的一个内角为80°，但未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：①若该角为底角，可直接得到底角度数，再结合三角形内角和定理验证是否合理；②若该角为顶角，根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为180°，即可算出底角的度数，最后综合两种情况得到最终结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当80°的角为等腰三角形的底角时，底角的度数就是80°，此时顶角为$180°-80°×2=20°$，符合三角形内角和定理；
2. 当80°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数为$\frac{180°-80°}{2}=50°$，此时两个底角均为50°，符合三角形内角和定理。
综上，该等腰三角形底角的度数为80°或50°。
【答案】
80°或50°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形性质应用的典型基础题，解题的关键是明确未指明类型的内角要分顶角、底角两种情况讨论，避免因思维定式漏解，同时得出结果后要验证是否满足三角形内角和的要求。
【难度系数】
0.7
已知等腰三角形的一个内角为80°，但未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：①若该角为底角，可直接得到底角度数，再结合三角形内角和定理验证是否合理；②若该角为顶角，根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为180°，即可算出底角的度数，最后综合两种情况得到最终结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当80°的角为等腰三角形的底角时，底角的度数就是80°，此时顶角为$180°-80°×2=20°$，符合三角形内角和定理；
2. 当80°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数为$\frac{180°-80°}{2}=50°$，此时两个底角均为50°，符合三角形内角和定理。
综上，该等腰三角形底角的度数为80°或50°。
【答案】
80°或50°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形性质应用的典型基础题，解题的关键是明确未指明类型的内角要分顶角、底角两种情况讨论，避免因思维定式漏解，同时得出结果后要验证是否满足三角形内角和的要求。
【难度系数】
0.7
5.在$△ ABC$中，$AB=AC$.
(1)已知$∠ A=72°$，求$∠ C$的度数；
(2)已知$△ ABC$的周长为20，求$AB$长的取值范围.
(1)已知$∠ A=72°$，求$∠ C$的度数；
(2)已知$△ ABC$的周长为20，求$AB$长的取值范围.
答案
5.解:(1)
∵AB=AC,∠A=72°,
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=54°,
∴∠C的度数为54°.
(2)设AB=AC=x.
∵△ABC的周长为20,
∴BC=20−(AB+AC)=20−2x,
∴$\begin{cases} x+x＞20-2x, \\ x-x＜20-2x, \end{cases}$解得5＜x＜10.
∴AB长的取值范围为5＜x＜10.
∵AB=AC,∠A=72°,
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=54°,
∴∠C的度数为54°.
(2)设AB=AC=x.
∵△ABC的周长为20,
∴BC=20−(AB+AC)=20−2x,
∴$\begin{cases} x+x＞20-2x, \\ x-x＜20-2x, \end{cases}$解得5＜x＜10.
∴AB长的取值范围为5＜x＜10.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 首先由AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠B=∠C，再结合三角形内角和为180°，代入已知的∠A度数，即可求出∠C的度数。
(2) 要求AB的取值范围，先设AB=AC=x，根据周长可表示出底边BC的长度为20-2x，再根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”列出关于x的不等式组，解不等式组即可得到AB的取值范围。
【解析】
(1)
∵AB=AC，∠A=72°，
∴∠B=∠C，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-72°)=54°$。
(2) 设AB=AC=x，
∵△ABC的周长为20，
∴BC=20-(AB+AC)=20-2x，
根据三角形三边关系列不等式组：
$\begin{cases} x+x＞20-2x \\ x-x＜20-2x \end{cases}$
解第一个不等式：2x＞20-2x，移项得4x＞20，解得x＞5；
解第二个不等式：0＜20-2x，解得x＜10。
∴不等式组的解集为5＜x＜10。
【答案】
(1) $∠ C=54°$；
(2) $5＜AB＜10$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形三边关系
【点评】
本题属于等腰三角形的基础应用题型，第一问直接考察等腰三角形的性质和内角和计算，难度较低；第二问需要结合周长公式表示各边长度，再利用三边关系列不等式组求解，解题时注意不要忽略边长为正的隐含条件即可。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 首先由AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠B=∠C，再结合三角形内角和为180°，代入已知的∠A度数，即可求出∠C的度数。
(2) 要求AB的取值范围，先设AB=AC=x，根据周长可表示出底边BC的长度为20-2x，再根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”列出关于x的不等式组，解不等式组即可得到AB的取值范围。
【解析】
(1)
∵AB=AC，∠A=72°，
∴∠B=∠C，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-72°)=54°$。
(2) 设AB=AC=x，
∵△ABC的周长为20，
∴BC=20-(AB+AC)=20-2x，
根据三角形三边关系列不等式组：
$\begin{cases} x+x＞20-2x \\ x-x＜20-2x \end{cases}$
解第一个不等式：2x＞20-2x，移项得4x＞20，解得x＞5；
解第二个不等式：0＜20-2x，解得x＜10。
∴不等式组的解集为5＜x＜10。
【答案】
(1) $∠ C=54°$；
(2) $5＜AB＜10$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形三边关系
【点评】
本题属于等腰三角形的基础应用题型，第一问直接考察等腰三角形的性质和内角和计算，难度较低；第二问需要结合周长公式表示各边长度，再利用三边关系列不等式组求解，解题时注意不要忽略边长为正的隐含条件即可。
【难度系数】
0.8
6.(鼓楼区月考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线DE交AC于点D,交AB于点E,下列结论错误的是 (
A.BD平分∠ABC
B.D是线段AC的中点
C.AD=BD=BC
D.△BCD的周长等于AB+BC
B
)A.BD平分∠ABC
B.D是线段AC的中点
C.AD=BD=BC
D.△BCD的周长等于AB+BC
答案
6.B
解析
【分析】
解题时先结合已知条件，首先利用等腰三角形内角性质计算△ABC的底角度数，再根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，推导对应角相等，逐一验证各个选项：先推导∠ABD和∠DBC的度数判断A选项，再计算∠BDC的度数推导边的等量关系判断C选项，通过线段等量代换计算△BCD的周长判断D选项，最后通过边的大小关系判断B选项的正误。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=(180°−36°)÷2=72°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=72°−36°=36°=∠ABD，即BD平分∠ABC，A选项结论正确，不符合题意；
在△BCD中，∠DBC=36°，∠C=72°，
∴∠BDC=180°−36°−72°=72°=∠C，
∴BD=BC，又
∵AD=BD，
∴AD=BD=BC，C选项结论正确，不符合题意；
△BCD的周长=BC+CD+BD，将BD替换为AD，可得周长=BC+CD+AD=BC+AC，又
∵AC=AB，
∴△BCD的周长=AB+BC，D选项结论正确，不符合题意；
由AD=BD=BC，在△BCD中，∠DBC=36°＜∠BDC=72°，根据大角对大边可得CD＜BC=AD，即CD＜AD，因此D不是AC的中点，B选项结论错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于等腰三角形相关的基础综合题，解题的关键是熟练运用等腰三角形等边对等角、等角对等边的性质以及线段垂直平分线的性质，结合角度计算推导边的等量关系，逐个验证选项即可。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件，首先利用等腰三角形内角性质计算△ABC的底角度数，再根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，推导对应角相等，逐一验证各个选项：先推导∠ABD和∠DBC的度数判断A选项，再计算∠BDC的度数推导边的等量关系判断C选项，通过线段等量代换计算△BCD的周长判断D选项，最后通过边的大小关系判断B选项的正误。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=(180°−36°)÷2=72°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=72°−36°=36°=∠ABD，即BD平分∠ABC，A选项结论正确，不符合题意；
在△BCD中，∠DBC=36°，∠C=72°，
∴∠BDC=180°−36°−72°=72°=∠C，
∴BD=BC，又
∵AD=BD，
∴AD=BD=BC，C选项结论正确，不符合题意；
△BCD的周长=BC+CD+BD，将BD替换为AD，可得周长=BC+CD+AD=BC+AC，又
∵AC=AB，
∴△BCD的周长=AB+BC，D选项结论正确，不符合题意；
由AD=BD=BC，在△BCD中，∠DBC=36°＜∠BDC=72°，根据大角对大边可得CD＜BC=AD，即CD＜AD，因此D不是AC的中点，B选项结论错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于等腰三角形相关的基础综合题，解题的关键是熟练运用等腰三角形等边对等角、等角对等边的性质以及线段垂直平分线的性质，结合角度计算推导边的等量关系，逐个验证选项即可。
【难度系数】
0.7
7.定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形ABC是“倍长三角形”,底边BC的长为3,则腰AB的长为
6
.答案
7.6
解析
【分析】
首先明确题目给出的两个核心条件：一是△ABC为等腰三角形，底边BC=3，因此腰AB=AC；二是该三角形是“倍长三角形”，即存在两边长满足2倍关系。解题时需先分类讨论两种可能的2倍关系：腰长是底边长的2倍、底边长是腰长的2倍，再结合三角形三边关系判断两种情况是否能构成三角形，舍去不符合要求的情况即可得到腰长。
【解析】
∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3
∴腰AB=AC
∵△ABC是“倍长三角形”，分两种情况讨论：
① 若腰长是底边长的2倍，即AB=2BC
则AB=2×3=6，此时三角形三边长为6、6、3
∵3+6＞6，6+6＞3，满足三角形两边之和大于第三边，可构成三角形；
② 若底边长是腰长的2倍，即BC=2AB
则AB=3÷2=1.5，此时三角形三边长为1.5、1.5、3
∵1.5+1.5=3，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去该情况。
综上，腰AB的长为6。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查等腰三角形的相关应用，解题时要注意根据倍长关系分类讨论，同时必须用三角形三边关系验证所得边长能否构成三角形，避免漏验证导致错解。
【难度系数】
0.7
首先明确题目给出的两个核心条件：一是△ABC为等腰三角形，底边BC=3，因此腰AB=AC；二是该三角形是“倍长三角形”，即存在两边长满足2倍关系。解题时需先分类讨论两种可能的2倍关系：腰长是底边长的2倍、底边长是腰长的2倍，再结合三角形三边关系判断两种情况是否能构成三角形，舍去不符合要求的情况即可得到腰长。
【解析】
∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3
∴腰AB=AC
∵△ABC是“倍长三角形”，分两种情况讨论：
① 若腰长是底边长的2倍，即AB=2BC
则AB=2×3=6，此时三角形三边长为6、6、3
∵3+6＞6，6+6＞3，满足三角形两边之和大于第三边，可构成三角形；
② 若底边长是腰长的2倍，即BC=2AB
则AB=3÷2=1.5，此时三角形三边长为1.5、1.5、3
∵1.5+1.5=3，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去该情况。
综上，腰AB的长为6。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查等腰三角形的相关应用，解题时要注意根据倍长关系分类讨论，同时必须用三角形三边关系验证所得边长能否构成三角形，避免漏验证导致错解。
【难度系数】
0.7
8.在等腰三角形ABC中,若∠C=70°,则∠B的度数是
40°或 55°或 70°
.答案
8.40°或 55°或 70°
解析
【分析】
解决本题的核心是明确等腰三角形的角未明确为顶角或底角时，需分类讨论：首先回忆等腰三角形“两底角相等”的性质，以及三角形内角和为180°的定理；因为题干仅说明△ABC是等腰三角形，未指明∠C是顶角还是底角，也未说明∠B的身份，所以分三类讨论：①∠C为顶角，∠B为底角；②∠C为底角，∠B也为底角；③∠C为底角，∠B为顶角；分别计算每种情况的∠B度数，再验证是否符合三角形内角和要求即可。
【解析】
已知等腰三角形ABC中∠C=70°，分三种情况讨论：
1. 当∠C为顶角时，∠A和∠B是两个相等的底角，根据三角形内角和为180°：
$∠ B=(180°-∠ C)÷2=(180°-70°)÷2=55°$；
2. 当∠C为底角，且∠B也为底角时，根据等腰三角形两底角相等：
$∠ B=∠ C=70°$；
3. 当∠C为底角，且∠B为顶角时，另一个底角$∠ A=∠ C=70°$，根据三角形内角和：
$∠ B=180°-2×∠ C=180°-2×70°=40°$。
以上三种情况均满足三角形内角和定理，都成立。
【答案】
$40°$或$55°$或$70°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型易错题，解题关键是注意未明确等腰三角形已知角的类型时，要全面分类讨论，避免漏解，同时计算后要验证是否符合三角形的基本性质。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是明确等腰三角形的角未明确为顶角或底角时，需分类讨论：首先回忆等腰三角形“两底角相等”的性质，以及三角形内角和为180°的定理；因为题干仅说明△ABC是等腰三角形，未指明∠C是顶角还是底角，也未说明∠B的身份，所以分三类讨论：①∠C为顶角，∠B为底角；②∠C为底角，∠B也为底角；③∠C为底角，∠B为顶角；分别计算每种情况的∠B度数，再验证是否符合三角形内角和要求即可。
【解析】
已知等腰三角形ABC中∠C=70°，分三种情况讨论：
1. 当∠C为顶角时，∠A和∠B是两个相等的底角，根据三角形内角和为180°：
$∠ B=(180°-∠ C)÷2=(180°-70°)÷2=55°$；
2. 当∠C为底角，且∠B也为底角时，根据等腰三角形两底角相等：
$∠ B=∠ C=70°$；
3. 当∠C为底角，且∠B为顶角时，另一个底角$∠ A=∠ C=70°$，根据三角形内角和：
$∠ B=180°-2×∠ C=180°-2×70°=40°$。
以上三种情况均满足三角形内角和定理，都成立。
【答案】
$40°$或$55°$或$70°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型易错题，解题关键是注意未明确等腰三角形已知角的类型时，要全面分类讨论，避免漏解，同时计算后要验证是否符合三角形的基本性质。
【难度系数】
0.6
9.(海安期末)在$△ ABC$中，$AB=BC$，$△ ABC$的中线$AM$将这个三角形的周长分成15和12两部分，则$AC$的长为
7或11
。答案
9.7或11
解析
【分析】
本题首先根据等腰三角形AB=BC的性质，结合中线的定义可得M为BC中点，即BM=MC。由于中线AM分三角形周长为15和12两部分，未明确哪部分对应AB+BM、哪部分对应AC+CM，因此需要分两种情况分类讨论，分别列方程求解AC的长度，最后需根据三角形三边关系验证所得边长是否能构成三角形，排除不合理解。
【解析】
设AB=BC=2x，AC=y，
∵AM是△ABC的中线，
∴BM=MC=x，
分两种情况讨论：
情况1：当AB+BM=15，AC+CM=12时，
$\begin{cases} 2x+x=15 \\ y+x=12 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=5 \\ y=7 \end{cases}$
此时三角形三边长为AB=BC=10，AC=7，满足$10+7＞10$、$10+10＞7$，符合三角形三边关系，成立；
情况2：当AB+BM=12，AC+CM=15时，
$\begin{cases} 2x+x=12 \\ y+x=15 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=4 \\ y=11 \end{cases}$
此时三角形三边长为AB=BC=8，AC=11，满足$8+8＞11$、$8+11＞8$，符合三角形三边关系，成立。
综上，AC的长为7或11。
【答案】
7或11
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形中线的定义，三角形三边关系
【点评】
本题核心考查分类讨论思想的应用，解题的关键是考虑到中线分周长的两种可能性，同时要注意最后必须验证三边是否满足三角形的三边关系，避免出现漏解或者错解的问题。
【难度系数】
0.6
本题首先根据等腰三角形AB=BC的性质，结合中线的定义可得M为BC中点，即BM=MC。由于中线AM分三角形周长为15和12两部分，未明确哪部分对应AB+BM、哪部分对应AC+CM，因此需要分两种情况分类讨论，分别列方程求解AC的长度，最后需根据三角形三边关系验证所得边长是否能构成三角形，排除不合理解。
【解析】
设AB=BC=2x，AC=y，
∵AM是△ABC的中线，
∴BM=MC=x，
分两种情况讨论：
情况1：当AB+BM=15，AC+CM=12时，
$\begin{cases} 2x+x=15 \\ y+x=12 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=5 \\ y=7 \end{cases}$
此时三角形三边长为AB=BC=10，AC=7，满足$10+7＞10$、$10+10＞7$，符合三角形三边关系，成立；
情况2：当AB+BM=12，AC+CM=15时，
$\begin{cases} 2x+x=12 \\ y+x=15 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=4 \\ y=11 \end{cases}$
此时三角形三边长为AB=BC=8，AC=11，满足$8+8＞11$、$8+11＞8$，符合三角形三边关系，成立。
综上，AC的长为7或11。
【答案】
7或11
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形中线的定义，三角形三边关系
【点评】
本题核心考查分类讨论思想的应用，解题的关键是考虑到中线分周长的两种可能性，同时要注意最后必须验证三边是否满足三角形的三边关系，避免出现漏解或者错解的问题。
【难度系数】
0.6
