8. 如图，$∠ BAC=110°$，若$MP$，$NQ$分别垂直平分$AB$，$AC$，则$∠ PAQ$的度数是________。

8.$40°$

【分析】
解题时首先抓住题目中“MP、NQ分别垂直平分AB、AC”的条件，回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，由此可得到等腰三角形，进而推导出∠PAB=∠B、∠QAC=∠C。再结合三角形内角和定理先算出∠B与∠C的度数和，即可得到∠PAB与∠QAC的和，最后用∠BAC减去这两个角的和就能求出∠PAQ的度数。
【解析】
在△ABC中，∠BAC=110°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ BAC = 180° - 110° = 70°$
∵MP垂直平分AB，点P在MP上
∴PA=PB，根据等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ PAB = ∠ B$
同理，NQ垂直平分AC，点Q在NQ上
∴QA=QC，得$∠ QAC = ∠ C$
∴$∠ PAB + ∠ QAC = ∠ B + ∠ C = 70°$
∴$∠ PAQ = ∠ BAC - (∠ PAB + ∠ QAC) = 110° - 70° = 40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成等角转化，结合三角形内角和即可快速求解，是垂直平分线性质应用的典型考法。
【难度系数】
0.7

9.如图，OP平分∠AOB，点E为OA上一点，OE=4，点P到OB的距离是2，则△POE的面积为.

9.4

【分析】
解题思路如下：首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。题目已知OP平分∠AOB，点P到OB的距离是2，由此可推出点P到OA的距离也为2，这个距离就是△POE中边OE上的高。已知OE的长度为4，代入三角形面积公式即可求出△POE的面积。
【解析】
过点P作PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D。
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC = PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
已知点P到OB的距离是2，即PD=2，
∴PC=2。
又
∵OE=4，PC是△POE中OE边上的高，
∴△POE的面积$ S=\frac{1}{2} × OE × PC = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4 $。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是灵活运用角平分线的性质求出三角形的高，再结合三角形面积公式计算结果，考查了对基础性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8

10.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B。有下列结论：①PA=PB；②PO平分∠APB；③OA=OB；④AB垂直平分OP。其中一定成立的是。(填序号)

10.①②③

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先OP是∠AOB的角平分线，且PA、PB分别垂直于角的两边，首先联想角平分线的性质可判断①；再通过证明Rt△OPA和Rt△OPB全等，利用全等三角形对应角、对应边相等的性质判断②③；最后结合等腰三角形三线合一的性质，分析AB和OP的位置关系，判断④是否成立。
【解析】
1. 证明①成立：
∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PA=PB，故①正确。
2. 证明②③成立：
在Rt△OPA和Rt△OPB中，
$\{\begin{array}{l}OP=OP\\ PA=PB\end{array} $
∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL），
∴∠APO=∠BPO，OA=OB，
即PO平分∠APB，故②③正确。
3. 判断④：
∵OA=OB，OP平分∠AOB，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得OP垂直平分AB，无法推出AB垂直平分OP，故④错误。
综上，一定成立的是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是角平分线性质、全等三角形、等腰三角形性质的综合基础题，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，注意辨析"OP垂直平分AB"和"AB垂直平分OP"的区别，避免逻辑混淆。
【难度系数】
0.7

三、解答题(共40分)
11.(10分)如图，在四边形ABCD中，CE垂直平分AD，CF垂直平分AB.求证:CD=CB.

11.证明:连接 AC. $\because CE$ 垂直平分 $AD,\therefore CD=AC$.
$\because CF$ 垂直平分 $AB,\therefore AC=BC,\therefore CD=CB$.

【分析】
要证明CD=CB，可通过构造中间相等的线段进行等量代换推导。观察已知条件有两条垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，我们可以连接AC作为中间量，由CE垂直平分AD可推出CD=AC，由CF垂直平分AB可推出AC=CB，最后等量代换就能得到CD=CB的结论。
【解析】
证明：连接AC.
∵CE垂直平分AD，
∴CD=AC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）.
∵CF垂直平分AB，
∴AC=BC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）.
∴CD=CB（等量代换）.
【答案】
证明:连接 AC. $\because CE$ 垂直平分 $AD,\therefore CD=AC$.
$\because CF$ 垂直平分 $AB,\therefore AC=BC,\therefore CD=CB$.
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是合理添加辅助线AC，利用线段垂直平分线的性质得到相等线段，再通过等量代换即可完成证明，主要考查对基础几何性质的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.85

12.(12分)如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD交BE于点O.
(1)若OC=OB，求证：点O在∠BAC的平分线上；
(2)若点O在∠BAC的平分线上，求证：OB=OC.

12.证明:(1)$\because CD⊥ AB,BE⊥ AC$,
$\therefore ∠ BDO=∠ CEO=90°$.
在$△ CEO$和$△ BDO$中,$\begin{cases} ∠ CEO=∠ BDO, \\ ∠ COE=∠ BOD, \\ OC=OB, \end{cases}$
$\therefore △ CEO≌△ BDO(\mathrm{AAS}),\therefore OE=OD$,
$\therefore$ 点$O$在$∠ BAC$的平分线上.
(2)连接 $AO$.
$\because AO$平分$∠ BAC,CD⊥ AB,BE⊥ AC,\therefore OD=OE$.
在$△ DOB$和$△ EOC$中,$\begin{cases} ∠ DOB=∠ EOC, \\ OD=OE, \\ ∠ ODB=∠ OEC, \end{cases}$
$\therefore △ DOB≌△ EOC(\mathrm{ASA}),\therefore OB=OC$.

【分析】
(1) 要证明点O在∠BAC的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需证明点O到AC、AB两边的距离OE=OD即可。已知OC=OB，结合CD⊥AB、BE⊥AC可得两个直角相等，再加上对顶角相等，可通过AAS证明△CEO和△BDO全等，得到OE=OD，进而完成证明。
(2) 要证明OB=OC，可通过证明△DOB和△EOC全等得到。已知点O在∠BAC的平分线上，根据角平分线的性质定理可得O到AB、AC的距离OD=OE，再结合对顶角相等、两个直角相等，可通过ASA证明两个三角形全等，从而推出OB=OC。
【解析】
(1) 证明：$\because CD⊥ AB,BE⊥ AC$，
$\therefore ∠ BDO=∠ CEO=90°$。
在$△ CEO$和$△ BDO$中，
$\begin{cases}∠ CEO=∠ BDO \\∠ COE=∠ BOD \\OC=OB\end{cases}$
$\therefore △ CEO≌△ BDO(\mathrm{AAS})$，
$\therefore OE=OD$。
又$\because OE⊥ AC,OD⊥ AB$，即点O到$∠ BAC$两边的距离相等，
$\therefore$点O在$∠ BAC$的平分线上。
(2) 证明：连接$AO$。
$\because$点O在$∠ BAC$的平分线上，$CD⊥ AB,BE⊥ AC$，
$\therefore OD=OE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$△ DOB$和$△ EOC$中，
$\begin{cases}∠ DOB=∠ EOC \\OD=OE \\∠ ODB=∠ OEC=90°\end{cases}$
$\therefore △ DOB≌△ EOC(\mathrm{ASA})$，
$\therefore OB=OC$。
【答案】
(1) 点O在$∠ BAC$的平分线上，证明成立；
(2) $OB=OC$，证明成立。
【知识点】
角平分线的性质与判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础证明题，将全等三角形与角平分线的知识结合考查，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定条件，区分角平分线的性质和判定定理的使用场景，理清题目的已知条件和待证结论之间的逻辑关系。
【难度系数】
0.7

13.(18分)如图,在$△ ABC$中,边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O,这两条垂直平分线分别交BC于点D,E.
(1)若$∠ ABC=30°,∠ ACB=40°$,求$∠ DAE$的度数;
(2)已知$△ ADE$的周长为7 cm,分别连接OA,OB,OC.若$△ OBC$的周长为15 cm,求OA的长.

13.解:(1)$\because ∠ ABC=30°,∠ ACB=40°$,
$\therefore ∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ ACB=110°$.
$\because DM$是线段$AB$的垂直平分线,$\therefore DA=DB$,
$\therefore ∠ DAB=∠ ABC=30°$.
同理,$EA=EC,∠ EAC=∠ ACB=40°$,
$\therefore ∠ DAE=∠ BAC-∠ BAD-∠ EAC=110°-30°-40°=40°$.
(2)$\because △ ADE$的周长为7 cm,$\therefore AD+DE+EA=7$ cm,
$\therefore BC=DB+DE+EC=AD+DE+EA=7$ cm.
$\because △ OBC$的周长为15 cm,$\therefore OB+OC+BC=15$ cm.
$\because BC=7$ cm,$\therefore OB+OC=8$ cm.
$\because OM$垂直平分$AB$,$\therefore OA=OB$,同理,$OA=OC$,
$\therefore OA=OB=OC=4$ cm.

【分析】
（1）求∠DAE的度数时，首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数；再根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB、EA=EC，结合等腰三角形“等边对等角”的性质求出∠DAB和∠EAC的度数，最后用∠BAC减去∠DAB和∠EAC的度数即可得到结果。
（2）求OA的长度时，首先根据△ADE的周长，结合AD=BD、AE=EC的等量关系，推导出BC的长度等于△ADE的周长；再根据△OBC的周长求出OB与OC的长度和，最后利用线段垂直平分线的性质得到OA=OB=OC，即可求出OA的长度。
【解析】
(1) 已知$∠ABC=30°,∠ACB=40°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-30°-40°=110°$
∵DM是线段AB的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴$DA=DB$，根据等腰三角形等边对等角，得$∠DAB=∠ABC=30°$
同理，ON是AC的垂直平分线，得$EA=EC$，$∠EAC=∠ACB=40°$
∴$∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠EAC=110°-30°-40°=40°$
(2)
∵$△ADE$的周长为7 cm，即$AD+DE+EA=7\ \mathrm{cm}$
又
∵$DA=DB$，$EA=EC$
∴$BC=DB+DE+EC=AD+DE+EA=7\ \mathrm{cm}$
∵$△OBC$的周长为15 cm，即$OB+OC+BC=15\ \mathrm{cm}$
将$BC=7\ \mathrm{cm}$代入，得$OB+OC=15-7=8\ \mathrm{cm}$
∵OM垂直平分AB，
∴$OA=OB$，同理ON垂直平分AC，$OA=OC$
∴$OA=OB=OC$，则$2OA=8\ \mathrm{cm}$，解得$OA=4\ \mathrm{cm}$
【答案】
(1) $∠DAE=40°$；(2) $OA=4\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是线段垂直平分线性质应用的典型题型，解题核心是利用垂直平分线的性质实现角、线段的等量转化，将未知量和已知条件建立关联，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7