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1.(锡山区期中)如图,在$△ ABC$中,BC的垂直平分线分别交AC,BC于点D,E.若$△ ABD$的周长为13,$BE=5$,则$△ ABC$的周长为 (
A.14
B.28
C.18
D.23
D
)A.14
B.28
C.18
D.23
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先观察到DE是BC的垂直平分线，优先回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得BD=CD、BC=2BE。再看已知条件△ABD的周长为13，可将周长中的BD替换为CD，得到AB+AC的长度，最后结合BC的长度就能求出△ABC的周长。
【解析】
∵DE是BC的垂直平分线
∴BD=CD，BC=2BE
已知BE=5，因此BC=2×5=10
∵△ABD的周长为13，即AB+AD+BD=13
将BD替换为CD，可得AB+AD+CD=AB+AC=13
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=13+10=23
故选D
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算、等量代换
【点评】
本题是基础常考题，核心是利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量转换，将未知三角形周长拆解为已知的周长和线段长度之和，解题思路清晰，掌握垂直平分线的性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到DE是BC的垂直平分线，优先回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得BD=CD、BC=2BE。再看已知条件△ABD的周长为13，可将周长中的BD替换为CD，得到AB+AC的长度，最后结合BC的长度就能求出△ABC的周长。
【解析】
∵DE是BC的垂直平分线
∴BD=CD，BC=2BE
已知BE=5，因此BC=2×5=10
∵△ABD的周长为13，即AB+AD+BD=13
将BD替换为CD，可得AB+AD+CD=AB+AC=13
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=13+10=23
故选D
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算、等量代换
【点评】
本题是基础常考题，核心是利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量转换，将未知三角形周长拆解为已知的周长和线段长度之和，解题思路清晰，掌握垂直平分线的性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是∠CAB的平分线,DE⊥AB于点E.已知AC=6 cm,则BD+DE的长为 （
A.5 cm
B.6 cm
C.7 cm
D.8 cm
B
）A.5 cm
B.6 cm
C.7 cm
D.8 cm
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：AD是∠CAB的角平分线，且DC⊥AC、DE⊥AB，可结合角平分线的性质将DE转化为CD，此时BD+DE可转化为BD+CD，也就是BC的长度，再结合AC=BC的已知条件，就能快速求出结果。
【解析】
解：
∵AD是∠CAB的平分线，∠C=90°（即DC⊥AC），DE⊥AB，
∴根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得CD=DE。
∴BD+DE = BD+CD = BC。
又
∵AC=BC，AC=6 cm，
∴BC=6 cm，即BD+DE=6 cm。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，等量代换
【点评】
本题是基础几何应用题，核心考查角平分线性质的应用，解题关键是通过性质实现线段的等量转化，将分散的线段和转化为已知的整段线段长度，体现了几何中的转化思想。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理已知条件：AD是∠CAB的角平分线，且DC⊥AC、DE⊥AB，可结合角平分线的性质将DE转化为CD，此时BD+DE可转化为BD+CD，也就是BC的长度，再结合AC=BC的已知条件，就能快速求出结果。
【解析】
解：
∵AD是∠CAB的平分线，∠C=90°（即DC⊥AC），DE⊥AB，
∴根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得CD=DE。
∴BD+DE = BD+CD = BC。
又
∵AC=BC，AC=6 cm，
∴BC=6 cm，即BD+DE=6 cm。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，等量代换
【点评】
本题是基础几何应用题，核心考查角平分线性质的应用，解题关键是通过性质实现线段的等量转化，将分散的线段和转化为已知的整段线段长度，体现了几何中的转化思想。
【难度系数】
0.8
3.如图，$DC⊥AC$于点$C$，$DE⊥AB$于点$E$，且$DE=DC$，则下列结论正确的是 （
A.$∠1=∠2$
B.$DE=DF$
C.$BD=FD$
D.$AB=AC$
A
）A.$∠1=∠2$
B.$DE=DF$
C.$BD=FD$
D.$AB=AC$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：DC垂直AC，DE垂直AB，说明DE是点D到AB边的距离，DC是点D到AC边的距离，且题目给出DE=DC。此时联系角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，可推出AD是∠BAC的角平分线，进而得到∠1=∠2。其余选项没有对应已知条件支撑，无法证明结论成立，即可选出正确答案。
【解析】
解：
∵DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE是点D到AB的距离，DC是点D到AC的距离，
又
∵DE=DC，
根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得点D在∠BAC的角平分线上，即AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，A选项结论成立。
B选项DE=DF、C选项BD=FD、D选项AB=AC均无对应的已知条件可证明，结论不成立。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是基础类考题，核心考查角平分线判定定理的应用，解题关键是准确识别点到角两边的距离相等的条件，结合判定定理即可快速推导结论。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：DC垂直AC，DE垂直AB，说明DE是点D到AB边的距离，DC是点D到AC边的距离，且题目给出DE=DC。此时联系角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，可推出AD是∠BAC的角平分线，进而得到∠1=∠2。其余选项没有对应已知条件支撑，无法证明结论成立，即可选出正确答案。
【解析】
解：
∵DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE是点D到AB的距离，DC是点D到AC的距离，
又
∵DE=DC，
根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得点D在∠BAC的角平分线上，即AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，A选项结论成立。
B选项DE=DF、C选项BD=FD、D选项AB=AC均无对应的已知条件可证明，结论不成立。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是基础类考题，核心考查角平分线判定定理的应用，解题关键是准确识别点到角两边的距离相等的条件，结合判定定理即可快速推导结论。
【难度系数】
0.8
4.如图,在$△ ABC$中,分别以点B和点C为圆心,大于$\frac{1}{2}BC$长为半径画弧,两弧相交于点M,N.作直线MN,交AC于点D,交BC于点E,连接BD.若$AB=7$,$AC=12$,$BC=6$,则$△ ABD$的周长为 （
A.25
B.22
C.19
D.18
C
）A.25
B.22
C.19
D.18
答案
4.C
解析
【分析】
首先根据题目中的尺规作图方法，判断出直线MN是线段BC的垂直平分线；再根据线段垂直平分线的性质得到BD=CD，将△ABD的周长中的BD替换为CD，就可以把△ABD的周长转化为AB与AC的长度和，最后代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
由尺规作图的步骤可知，直线MN是线段BC的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$BD=CD$。
$△ ABD$的周长$=AB+AD+BD$，
将BD替换为CD，可得：
$△ ABD$的周长$=AB+AD+CD=AB+(AD+CD)=AB+AC$。
已知$AB=7$，$AC=12$，代入得：
$△ ABD$的周长$=7+12=19$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
尺规作垂直平分线、线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题解题的关键是识别尺规作图的类型，利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量转化，从而简化周长的计算，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
首先根据题目中的尺规作图方法，判断出直线MN是线段BC的垂直平分线；再根据线段垂直平分线的性质得到BD=CD，将△ABD的周长中的BD替换为CD，就可以把△ABD的周长转化为AB与AC的长度和，最后代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
由尺规作图的步骤可知，直线MN是线段BC的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$BD=CD$。
$△ ABD$的周长$=AB+AD+BD$，
将BD替换为CD，可得：
$△ ABD$的周长$=AB+AD+CD=AB+(AD+CD)=AB+AC$。
已知$AB=7$，$AC=12$，代入得：
$△ ABD$的周长$=7+12=19$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
尺规作垂直平分线、线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题解题的关键是识别尺规作图的类型，利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量转化，从而简化周长的计算，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
5. 如图，$AD// BC$，$∠ ABC$的平分线$BP$与$∠ BAD$的平分线$AP$交于点$P$，作$PE⊥ AB$于点$E$，$PE=5$，则两条平行线$AD$与$BC$间的距离为 （
A.5
B.8
C.9
D.10
D
）A.5
B.8
C.9
D.10
答案
5.D
解析
【分析】
首先观察题目给出的条件，出现角平分线和点到角一边的垂线段，优先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。要求两条平行线AD与BC间的距离，我们可以过点P分别作AD、BC的垂线，两条垂线段的长度和就是平行线间的距离，再结合角平分线的性质求出两条垂线段的长度即可得到结果。
【解析】
过点P作$PF ⊥ AD$于点F，$PG ⊥ BC$于点G。
1. 因为AP是$∠ BAD$的平分线，$PE ⊥ AB$，$PF ⊥ AD$，根据角平分线的性质，可得$PF=PE=5$；
2. 因为BP是$∠ ABC$的平分线，$PE ⊥ AB$，$PG ⊥ BC$，根据角平分线的性质，可得$PG=PE=5$；
3. 已知$AD // BC$，$PF ⊥ AD$，所以$PF ⊥ BC$，因此F、P、G三点共线，AD与BC之间的距离就是线段FG的长度，即$FG=PF+PG=5+5=10$。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；平行线间的距离
【点评】
本题解题的核心是灵活运用角平分线的性质，通过作辅助线将平行线间的距离转化为两条垂线段的和，考查了转化思想的应用和对基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
首先观察题目给出的条件，出现角平分线和点到角一边的垂线段，优先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。要求两条平行线AD与BC间的距离，我们可以过点P分别作AD、BC的垂线，两条垂线段的长度和就是平行线间的距离，再结合角平分线的性质求出两条垂线段的长度即可得到结果。
【解析】
过点P作$PF ⊥ AD$于点F，$PG ⊥ BC$于点G。
1. 因为AP是$∠ BAD$的平分线，$PE ⊥ AB$，$PF ⊥ AD$，根据角平分线的性质，可得$PF=PE=5$；
2. 因为BP是$∠ ABC$的平分线，$PE ⊥ AB$，$PG ⊥ BC$，根据角平分线的性质，可得$PG=PE=5$；
3. 已知$AD // BC$，$PF ⊥ AD$，所以$PF ⊥ BC$，因此F、P、G三点共线，AD与BC之间的距离就是线段FG的长度，即$FG=PF+PG=5+5=10$。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；平行线间的距离
【点评】
本题解题的核心是灵活运用角平分线的性质，通过作辅助线将平行线间的距离转化为两条垂线段的和，考查了转化思想的应用和对基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
6.如图，ED为△ABC的边AC的垂直平分线，且AB=5，△BCE的周长为8，则BC=
3
。答案
6.3
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。观察图形可知点E在AC的垂直平分线ED上，因此可得到AE和CE的等量关系；再结合△BCE的周长公式，将周长中的CE替换为AE，就能把△BCE的周长转化为BC与AB的和，最后代入已知的AB长度和△BCE的周长，即可求出BC的长度。
【解析】
∵ED是AC的垂直平分线，点E在ED上
∴AE = CE（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∵△BCE的周长为8
∴BC + BE + CE = 8
将CE替换为AE，可得：BC + BE + AE = 8
又
∵BE + AE = AB，AB = 5
∴BC + 5 = 8
解得：BC = 3
【答案】
3
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量代换，从而将未知线段与已知条件建立关联，这类题型是线段垂直平分线性质的典型应用，需熟练掌握转化思路。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。观察图形可知点E在AC的垂直平分线ED上，因此可得到AE和CE的等量关系；再结合△BCE的周长公式，将周长中的CE替换为AE，就能把△BCE的周长转化为BC与AB的和，最后代入已知的AB长度和△BCE的周长，即可求出BC的长度。
【解析】
∵ED是AC的垂直平分线，点E在ED上
∴AE = CE（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∵△BCE的周长为8
∴BC + BE + CE = 8
将CE替换为AE，可得：BC + BE + AE = 8
又
∵BE + AE = AB，AB = 5
∴BC + 5 = 8
解得：BC = 3
【答案】
3
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量代换，从而将未知线段与已知条件建立关联，这类题型是线段垂直平分线性质的典型应用，需熟练掌握转化思路。
【难度系数】
0.8
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC.若CD=8,E是AB上的一个动点,则DE的最小值为
8
.答案
7.8
解析
【分析】要找到DE的最小值，首先明确D是定点，E是AB上的动点，根据“直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短”，可知当DE垂直于AB时，DE的长度最小。再结合AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°即DC⊥AC，利用角平分线的性质即可推出最短时DE的长度与CD相等，代入数值即可得到结果。
【解析】根据垂线段最短的性质，当DE⊥AB时，DE的长度取得最小值。
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，即DC⊥AC，DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=CD。
又
∵CD=8，
∴DE的最小值为8。
【答案】8
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【点评】本题是基础的几何最值类题目，解题的关键是先结合垂线段最短确定DE取最小值的位置，再利用角平分线的性质完成等量代换求出结果，注重对基础性质的理解和应用考查。
【难度系数】0.8
【解析】根据垂线段最短的性质，当DE⊥AB时，DE的长度取得最小值。
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，即DC⊥AC，DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=CD。
又
∵CD=8，
∴DE的最小值为8。
【答案】8
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【点评】本题是基础的几何最值类题目，解题的关键是先结合垂线段最短确定DE取最小值的位置，再利用角平分线的性质完成等量代换求出结果，注重对基础性质的理解和应用考查。
【难度系数】0.8
