1.(2024春·苏州期中)下列长度(单位:cm)的三根小木棒,能搭成三角形的是 ()

A.3,4,8
B.5,6,11
C.5,6,10
D.8,8,16

1.C

【分析】
要判断三根小木棒能否搭成三角形，需依据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们只需比较较短两根木棒的长度和与最长木棒的长度即可：若较短两边之和大于最长边，则能构成三角形；若小于或等于最长边，则不能构成三角形，接下来逐一验证各选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，采用简便判断方法：比较较短两边之和与最长边的大小。
A选项：较短两边为3和4，和为3+4=7，7＜8，不满足三边关系，不能搭成三角形；
B选项：较短两边为5和6，和为5+6=11，11=11，不满足三边关系，不能搭成三角形；
C选项：较短两边为5和6，和为5+6=11，11＞10，满足三边关系，可以搭成三角形；
D选项：较短两边为8和8，和为8+8=16，16=16，不满足三边关系，不能搭成三角形。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形三边关系的应用，解题时用较短两边之和与最长边比较的方法可提升答题效率，需注意“两边之和等于第三边时无法构成三角形”这一易错点。
【难度系数】
0.9

2.(2024春·沛县期中)如图,已知$AD⊥ BC,GC⊥ BC,CF⊥ AB$,D,C,F是垂足,则下列说法中错误的是 ()

A.在$△ ABC$中,CF是AB边上的高
B.在$△ AGC$中,CF是AG边上的高
C.在$△ GBC$中,GC是BC边上的高
D.在$△ BFC$中,CG是BF边上的高

2.D

【分析】
解题的核心是掌握三角形高的定义：从三角形的一个顶点向其对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该三角形这条对边上的高。我们只需逐个判断每个选项中的线段是否满足“过对应三角形的一个顶点、垂直于该顶点的对边”两个条件，即可得出结论。
【解析】
根据三角形高的定义逐一分析选项：
选项A：在$△ ABC$中，$CF ⊥ AB$，垂足为$F$，满足从顶点$C$向对边$AB$作垂线的要求，因此$CF$是$AB$边上的高，该说法正确，不符合题意。
选项B：在$△ AGC$中，边$AG$在直线$AB$上，已知$CF ⊥ AB$，即$CF ⊥ AG$，垂足为$F$，满足从顶点$C$向对边$AG$作垂线的要求，因此$CF$是$AG$边上的高，该说法正确，不符合题意。
选项C：在$△ GBC$中，$GC ⊥ BC$，垂足为$C$，满足从顶点$G$向对边$BC$作垂线的要求，因此$GC$是$BC$边上的高，该说法正确，不符合题意。
选项D：在$△ BFC$中，$BF$边上的高需垂直于$BF$，已知仅有$CF ⊥ BF$，$CG$不垂直于$BF$，因此$CG$不是$BF$边上的高，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对三角形高的定义的理解与应用，解题时要注意区分不同三角形对应的顶点和对边，紧扣定义判断即可避免出错。
【难度系数】
0.8

3.(鼓楼区期中)如图，已知$△ DBE ≌ △ ABC$，$∠ EBC=40°$.若$AB ⊥ DE$，则$∠ A$的度数是 ()

A.$35°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$

3.D

【分析】
解题时首先利用全等三角形对应角相等的性质，推导得出∠DBA=∠EBC；再结合AB⊥DE得到直角，利用直角三角形两锐角互余求出∠D的度数；最后根据全等三角形对应角相等，即可得到∠A的度数。
【解析】
解：
∵△DBE ≌ △ABC
∴∠DBE=∠ABC，∠D=∠A
∴∠DBE - ∠ABE = ∠ABC - ∠ABE，即∠DBA=∠EBC
已知∠EBC=40°，
∴∠DBA=40°
∵AB⊥DE，
∴∠DFB=90°
在Rt△DFB中，∠D + ∠DBA = 90°
∴∠D=90° - 40°=50°
又
∵∠D=∠A
∴∠A=50°
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用类题目，解题核心是找准全等三角形的对应角，结合垂直的性质完成角度的推导计算。
【难度系数】
0.7

4.(2024春·工业园区期末)如图,已知$AB=CD$.若添加一个条件后,可得$△ ABC≌△ CDA$,则在下列条件中,可以添加的是 ()

A.$∠ B=∠ D$
B.$AD// BC$
C.$AB// CD$
D.$AC$平分$∠ BCD$

4.C

【分析】
要判定△ABC≌△CDA，首先梳理已知条件：已知AB=CD，且AC是两个三角形的公共边，即AC=CA，目前已有两组边对应相等。根据全等三角形的判定定理，要么补充第三组边BC=AD（用SSS判定），要么补充两组已知边的夹角∠BAC=∠DCA（用SAS判定）。接下来逐个分析选项能否推出上述缺少的条件，同时要注意SSA（两边及其中一边的对角对应相等）不能判定三角形全等，由此排除错误选项即可。
【解析】
已知AB=CD，AC为△ABC和△CDA的公共边，因此AC=CA。
对各选项逐一分析：
A. 添加∠B=∠D，此时属于两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不满足全等三角形的判定条件，无法证明△ABC≌△CDA，故A错误；
B. 添加AD//BC，根据“两直线平行，内错角相等”可得∠DAC=∠BCA，该角不是已知两组边的夹角，仍属于SSA，无法证明全等，故B错误；
C. 添加AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”可得∠BAC=∠DCA，在△ABC和△CDA中：
$\{\begin{array}{l}AB=CD\\∠BAC=∠DCA\\AC=CA\end{array} $
因此△ABC≌△CDA（SAS），故C正确；
D. 添加AC平分∠BCD，可得∠BCA=∠DCA，此时仍属于SSA，无法证明全等，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形判定，平行线的性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，明确SSA不能作为三角形全等的判定依据，结合已知条件筛选符合要求的补充条件即可。
【难度系数】
0.8

5. 若等腰三角形的一边长为5 cm，另一边长为10 cm，则它的第三条边长是 cm.

5.10

【分析】
已知等腰三角形两条边长分别为5cm和10cm，首先根据等腰三角形两腰相等的性质，第三条边存在两种可能：5cm或10cm。接下来需要结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）对两种情况分别验证，排除无法构成三角形的情况，即可得到正确答案。
【解析】
解：
∵等腰三角形的两腰长度相等，已知两边长为5cm和10cm，因此分两种情况讨论：
① 若第三条边长为5cm，则三角形三边长为5cm、5cm、10cm，
∵5+5=10，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，故该情况舍去；
② 若第三条边长为10cm，则三角形三边长为5cm、10cm、10cm，
∵5+10＞10，10+10＞5，满足三角形三边关系，可构成三角形，符合题意。
综上，第三条边长为10cm。
【答案】
10
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形性质应用的常见题型，解题时需要先根据等腰三角形的特征分情况讨论边长，再结合三角形三边关系验证是否能构成三角形，易错点是忽略验证环节直接多解，做题时要注意养成验证的习惯。
【难度系数】
0.7

6.在$△ ABC$中，$∠ A=50°$，$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线相交于点$O$，则$∠ BOC$的度数是________.

6.115°

【分析】
解题时先回忆三角形内角和为180°的性质，已知△ABC中∠A的度数，可先求出∠ABC与∠ACB的度数和；再根据角平分线的定义，得到∠OBC、∠OCB分别是∠ABC、∠ACB的一半，进而求出∠OBC与∠OCB的和；最后在△BOC中再次利用三角形内角和定理，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 50° = 130°$
∵ BO平分$∠ ABC$，CO平分$∠ ACB$
∴ $∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴ $∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2} × 130° = 65°$
在△BOC中，再次根据三角形内角和定理：
$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - 65° = 115°$
【答案】
$115°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础类的几何计算题，核心是结合角平分线的性质将已知角的条件转化到所求三角形中，两次运用三角形内角和定理即可求解，熟练掌握相关基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85

7.(泗阳县期末)如图,在△ABC中,∠CAD=∠EAD,∠ADC=∠ADE,CB=5 cm,BD=3 cm,则ED的长为cm.

7.2

【分析】
解题时先观察已知条件：题目给出两组角相等（∠CAD=∠EAD、∠ADC=∠ADE），还有公共边AD，符合角边角（ASA）的全等三角形判定条件，可先证明△ADC和△ADE全等；再根据全等三角形对应边相等，可得ED=CD，最后结合线段的和差关系，用CB的长度减去BD的长度算出CD的长度，即可得到ED的长度。
【解析】
在△ADC和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}∠CAD=∠EAD\\AD=AD\quad (\mathrm{公共边})\\∠ADC=∠ADE\end{array} $
∴△ADC≌△ADE（ASA）
∴CD=ED
∵CB=5cm，BD=3cm
∴CD=CB-BD=5-3=2(cm)
∴ED=2cm
【答案】
2
【知识点】
ASA判定三角形全等；全等三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查全等三角形的判定与性质的应用，解题的关键是从已知条件中找到全等三角形的判定依据，再通过对应边相等实现未知线段与已知线段的转化，即可快速求解。
【难度系数】
0.8

8.(2024春·昆山月考)如图,已知线段$AB=30\ \mathrm{cm}$,射线$AC⊥ AB$于点$A$,射线$BD⊥ AB$于点$B$,点$M$从点$B$向点$A$运动,每秒走$1\ \mathrm{cm}$,点$N$从点$B$向点$D$运动,每秒走$4\ \mathrm{cm}$.点$M,N$同时从点$B$出发.若射线$AC$上有一点$P$,使得$△ PAM$和$△ MBN$全等,则线段$AP$的长为$\mathrm{cm}$.

8.6或60

【分析】
首先明确已知条件：$AC⊥ AB$，$BD⊥ AB$，因此$∠ A=∠ B=90°$，$△ PAM$和$△ MBN$均为直角三角形。由于题目未明确两个三角形的对应顶点，需分两种情况讨论对应边相等的关系。先设运动时间为$t$秒，用含$t$的代数式表示出$BM$、$AM$、$BN$的长度，再根据两种全等的对应关系列方程求解$t$，进而求出$AP$的长度，最后验证解是否符合实际运动的取值范围。
【解析】
设点$M$、$N$的运动时间为$t$秒，由题意可得：
$BM=t\ \mathrm{cm}$，$BN=4t\ \mathrm{cm}$，
$\because AB=30\ \mathrm{cm}$，$\therefore AM=AB-BM=(30-t)\ \mathrm{cm}$，
$\because AC⊥ AB$，$BD⊥ AB$，$\therefore ∠ A=∠ B=90°$。
$△ PAM$和$△ MBN$全等，分两种情况讨论：
1. 当$△ PAM ≌ △ MBN$时，对应边$AM=BN$，$AP=BM$，
列方程组：$\begin{cases}30-t=4t \\ AP=t \end{cases}$，
解得$t=6$，因此$AP=6\ \mathrm{cm}$；
2. 当$△ PAM ≌ △ NBM$时，对应边$AM=BM$，$AP=BN$，
列方程组：$\begin{cases}30-t=t \\ AP=4t \end{cases}$，
解得$t=15$，因此$AP=4×15=60\ \mathrm{cm}$。
两种情况的$t$值均满足$AM＞0$，符合题意。
【答案】
6或60
【知识点】
全等三角形的性质，动点问题，分类讨论
【点评】
本题是全等三角形与动点结合的典型题型，解题关键是注意未明确对应顶点的全等三角形要分类讨论所有可能的对应情况，求出解后要验证是否符合实际取值范围，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6