8.(2024春·无锡期中改编)如图，$CB⊥AD$，$AE⊥CD$，垂足分别为$B$，$E$，且$AE$，$BC$相交于点$F$。若$AB=BC=16$，$CF=8$，连接$DF$，求图中阴影部分的面积。

8.解:$\because CB⊥ AD,AE⊥ CD$,
$\therefore ∠ABF=∠CBD=90°,∠FEC=90°$.
$\because ∠AFB=∠EFC,\therefore ∠A=∠C$.
在$△ ABF$和$△ CBD$中,$\begin{cases} ∠ABF=∠CBD,\\ AB=CB,\\ ∠A=∠C, \end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ CBD(\mathrm{ASA}),\therefore BF=BD$.
$\because BF=BC-CF=16-8=8,\therefore BD=8$,
$\therefore$阴影部分的面积$=\frac{1}{2}· FC· BD=\frac{1}{2}×8×8=32$.

【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手，可得多个直角相等，结合对顶角相等可推出∠A=∠C，此时发现△ABF和△CBD具备“角边角”的全等条件，证明全等后即可得到BF=BD；先计算BF的长度就得到BD的长度，再观察阴影部分是△CFD，其底边为CF，高为BD，代入三角形面积公式即可求出阴影面积。
【解析】
$\because CB⊥ AD,AE⊥ CD$,
$\therefore ∠ABF=∠CBD=90°,∠FEC=90°$.
$\because ∠AFB=∠EFC,\therefore ∠A=∠C$.
在$△ ABF$和$△ CBD$中,
$\begin{cases} ∠ABF=∠CBD,\\ AB=CB,\\ ∠A=∠C, \end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ CBD(\mathrm{ASA}),\therefore BF=BD$.
$\because BF=BC-CF=16-8=8,\therefore BD=8$,
$\therefore$阴影部分的面积$=\frac{1}{2}· FC· BD=\frac{1}{2}×8×8=32$.
【答案】
32
【知识点】
ASA判定全等，全等三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于全等三角形的综合应用类题目，核心是通过角度互余、对顶角相等推导出全等所需的等角条件，证明全等得到未知边的长度，进而计算阴影面积，能有效考查对全等判定及性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7

9.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,过点$C$作$CD⊥ AB$,垂足为$D$.在射线$CD$上截取$CE=CA$,过点$E$作$EF⊥ CE$,交$CB$的延长线于点$F$.
(1)求证:$△ ABC≌△ CFE$;
(2)若$AB=9$,$EF=5$,求$BF$的长.

9.(1)证明:$\because EF⊥ CE,\therefore ∠E=90°$.
$\because ∠ACB=∠ADC=90°,\therefore ∠A=∠ECF=90°-∠ACE$.
在$△ ABC$和$△ CFE$中,$\begin{cases} ∠A=∠ECF,\\ CA=EC,\\ ∠ACB=∠E=90°, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ CFE(\mathrm{ASA})$.
(2)解:$\because △ ABC≌△ CFE,\therefore CF=AB=9,CB=EF=5$,
$\therefore BF=CF-CB=9-5=4$.

【分析】
(1) 要证明△ABC≌△CFE，先梳理已知条件：已知∠ACB=∠E=90°，CE=CA，还缺一组对应角相等。观察角的关系：CD⊥AB，则∠A+∠ACD=90°，又∠ECF+∠ACD=90°，根据同角的余角相等可得∠A=∠ECF，满足ASA全等判定的条件。
(2) 求BF的长，可利用全等三角形对应边相等的性质，先得到CF=AB、BC=EF，再通过BF=CF-CB代入数值计算即可。
【解析】
(1) 证明：$\because EF⊥ CE$，$\therefore ∠E=90°$。
$\because ∠ACB=∠ADC=90°$，$\therefore ∠A+∠ACD=90°$，$∠ECF+∠ACD=90°$，$\therefore ∠A=∠ECF=90°-∠ACD$。
在$△ ABC$和$△ CFE$中，
$\begin{cases} ∠A=∠ECF,\\ CA=EC,\\ ∠ACB=∠E=90°, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ CFE(\mathrm{ASA})$。
(2) 解：$\because △ ABC≌△ CFE$，$\therefore CF=AB=9$，$CB=EF=5$，
$\therefore BF=CF-CB=9-5=4$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $BF=4$
【知识点】
ASA判定三角形全等、全等三角形的性质、同角的余角相等
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础常考题，解题核心是先利用直角三角形锐角互余的性质找到相等的对应角完成全等证明，再结合全等的性质求解线段长度，逻辑链条清晰，考查基础的几何推理能力。
【难度系数】
0.7

10.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,E为CD的中点,连接AE,BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.AD=2 cm,BC=5 cm.
(1)求证:AD=FC;
(2)求AB的长.

10.(1)证明:$\because AD// BC,\therefore ∠ADE=∠FCE$.
$\because E$是$CD$的中点,$\therefore DE=CE$.
在$△ ADE$和$△ FCE$中,$\begin{cases} ∠ADE=∠FCE,\\ DE=CE,\\ ∠AED=∠FEC, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ FCE(\mathrm{ASA}),\therefore AD=FC$.
(2)解:$\because △ ADE≌△ FCE,\therefore AE=EF$.
$\because BE⊥ AE,\therefore ∠AEB=∠FEB=90°$.
在$△ ABE$和$△ FBE$中,$\begin{cases} AE=FE,\\ ∠AEB=∠FEB,\\ BE=BE, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ FBE(\mathrm{SAS}),\therefore AB=BF$.
$\because AD=2\ \mathrm{cm},BC=5\ \mathrm{cm}$,
$\therefore AB=BF=BC+CF=BC+AD=5+2=7(\mathrm{cm})$.

【分析】
（1）要证AD=FC，可通过证明△ADE与△FCE全等推导：首先由AD//BC可得一组内错角相等，结合E是CD中点得到一组边相等，再加上对顶角相等，即可用ASA判定两三角形全等，进而得到对应边AD=FC。
（2）求AB的长时，由第一问的全等可得AE=EF，结合BE⊥AE的条件，可证明△ABE与△FBE全等，得到AB=BF，而BF=BC+CF，CF与AD相等，代入已知线段长度即可求出AB的长。
【解析】
(1) 证明：$\because AD// BC,\therefore ∠ ADE=∠ FCE$。
$\because E$是$CD$的中点，$\therefore DE=CE$。
在$△ ADE$和$△ FCE$中，
$\begin{cases} ∠ ADE=∠ FCE,\\ DE=CE,\\ ∠ AED=∠ FEC, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ FCE(\mathrm{ASA})$，$\therefore AD=FC$。
(2) 解：$\because △ ADE≌△ FCE,\therefore AE=EF$。
$\because BE⊥ AE,\therefore ∠ AEB=∠ FEB=90°$。
在$△ ABE$和$△ FBE$中，
$\begin{cases} AE=FE,\\ ∠ AEB=∠ FEB,\\ BE=BE, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ FBE(\mathrm{SAS})$，$\therefore AB=BF$。
$\because AD=2\ \mathrm{cm},BC=5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB=BF=BC+CF=BC+AD=5+2=7(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) AD=FC得证；(2) $AB=7\ \mathrm{cm}$
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定与性质，垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形应用的典型题目，解题关键是结合已知条件两次构造全等三角形，通过线段的等量转化将未知边转化为已知边的和进行求解，要求熟练掌握全等三角形的判定定理和性质。
【难度系数】
0.7

11.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,点E,F分别在AD,BC上,过点A,C分别作EF的垂线,垂足分别为G,H,且EH=FG.
(1)求证:△AGE≌△CHF;
(2)连接AC,线段GH与AC是否互相平分?请说明理由.

11.(1)证明:$\because EH=FG,\therefore EH-EF=FG-EF$,
即$FH=EG$.
$\because AG⊥ EF,CH⊥ EF,\therefore ∠G=∠H=90°$.
$\because AD// BC,\therefore ∠DEF=∠BFE$.
$\because ∠AEG=∠DEF,∠CFH=∠BFE$,
$\therefore ∠AEG=∠CFH$.
在$△ AGE$和$△ CHF$中,$\begin{cases} ∠G=∠H,\\ EG=FH,\\ ∠AEG=∠CFH, \end{cases}$
$\therefore △ AGE≌△ CHF(\mathrm{ASA})$.
(2)解:线段$GH$与$AC$互相平分.理由如下:
如答图,连接$AC$交$GH$于点$O$.
$\because △ AGE≌△ CHF,\therefore AG=CH$.
$\because ∠G=∠H=90°,\therefore AG// CH,\therefore ∠OAG=∠OCH$.
在$△ OAG$和$△ OCH$中,$\begin{cases} ∠G=∠H,\\ AG=CH,\\ ∠OAG=∠OCH, \end{cases}$
$\therefore △ OAG≌△ OCH(\mathrm{ASA}),\therefore OA=OC,OG=OH$,
$\therefore$线段$GH$与$AC$互相平分.

【分析】
(1) 要证明△AGE≌△CHF，首先梳理已知条件：由AG、CH分别垂直EF可得一组直角相等；已知EH=FG，两边同时减去公共线段EF即可推出EG=FH；再结合AD//BC，利用平行线的内错角相等和对顶角相等，可推出△AGE和△CHF的另一组对应角相等，满足ASA全等判定条件，即可完成证明。
(2) 要判断GH与AC是否互相平分，可连接AC交GH于点O，只需证明OA=OC、OG=OH即可。由第一问的全等结论可得AG=CH，结合AG、CH都垂直于EF可推出AG平行且等于CH，进而可证△OAG和△OCH全等，得到对应边相等，即可得出两条线段互相平分的结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ EH=FG，
∴ EH-EF=FG-EF，即FH=EG。
∵ AG⊥EF，CH⊥EF，
∴ ∠G=∠H=90°。
∵ AD//BC，
∴ ∠DEF=∠BFE。
∵ ∠AEG=∠DEF，∠CFH=∠BFE，
∴ ∠AEG=∠CFH。
在△AGE和△CHF中，
$\begin{cases} ∠G=∠H,\\ EG=FH,\\ ∠AEG=∠CFH, \end{cases}$
∴ △AGE≌△CHF(ASA)。
(2) 线段GH与AC互相平分，理由如下：
连接AC交GH于点O。
∵ △AGE≌△CHF，
∴ AG=CH。
∵ ∠G=∠H=90°，
∴ AG//CH，
∴ ∠OAG=∠OCH。
在△OAG和△OCH中，
$\begin{cases} ∠G=∠H,\\ AG=CH,\\ ∠OAG=∠OCH, \end{cases}$
∴ △OAG≌△OCH(ASA)，
∴ OA=OC，OG=OH，
∴ 线段GH与AC互相平分。
【答案】
11.(1)证明:$\because EH=FG,\therefore EH-EF=FG-EF$,
即$FH=EG$.
$\because AG⊥ EF,CH⊥ EF,\therefore ∠G=∠H=90°$.
$\because AD// BC,\therefore ∠DEF=∠BFE$.
$\because ∠AEG=∠DEF,∠CFH=∠BFE$,
$\therefore ∠AEG=∠CFH$.
在$△ AGE$和$△ CHF$中,$\begin{cases} ∠G=∠H,\\ EG=FH,\\ ∠AEG=∠CFH, \end{cases}$
$\therefore △ AGE≌△ CHF(\mathrm{ASA})$.
(2)解:线段$GH$与$AC$互相平分.理由如下:
如答图,连接$AC$交$GH$于点$O$.
$\because △ AGE≌△ CHF,\therefore AG=CH$.
$\because ∠G=∠H=90°,\therefore AG// CH,\therefore ∠OAG=∠OCH$.
在$△ OAG$和$△ OCH$中,$\begin{cases} ∠G=∠H,\\ AG=CH,\\ ∠OAG=∠OCH, \end{cases}$
$\therefore △ OAG≌△ OCH(\mathrm{ASA}),\therefore OA=OC,OG=OH$,
$\therefore$线段$GH$与$AC$互相平分.

【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的性质；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是全等三角形相关知识的基础综合题，解题核心是熟练掌握角边角(ASA)判定全等的条件，第二问通过添加辅助线构造全等三角形，即可快速验证线段的平分关系，对巩固几何基础推导逻辑有很好的训练作用。
【难度系数】
0.7