三、解答题(共52分)
9.(10分)(2024春·启东月考)已知△ABC的三边长是a,b,c.
(1)若a=6,b=8,且三角形的周长是小于22的偶数,求c的值;
(2)化简:|a+b−c|+|c−a−b|.

9.解:(1)
∵a,b,c是△ABC的三边长,a=6,b=8,
∴2＜c＜14.
∵三角形的周长是小于22的偶数,
∴2＜c＜8,
∴c=4或6.
(2)原式=a+b−c−c+a+b=2a+2b−2c.

10.(12分)(2024春·睢宁县月考)如图,已知AD,AE分别是△ABC的高和中线,AB=3 cm,AC=4 cm,BC=5 cm,∠BAC=90°.
(1)求△ABE的面积;
(2)求AD的长.

10.解:(1)在△ABC中,∠BAC=90°,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$AB·AC=$\frac{1}{2}$×3×4=6(cm²),
∵AE是△ABC的中线,
∴S△ABE=$\frac{1}{2}$S△ABC=3(cm²).
(2)
∵AD是△ABC的高,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·AD.
∵S△ABC=6 cm²,BC=5 cm,
∴AD=2.4 cm.

11.(12分)(2024春·昆山期末)如图,在△ABC中,D为AC的中点,F为AB边上一点,连接FD,并延长FD至点E,使得ED=DF,连接CE.
(1)求证:△CDE≌△ADF;
(2)若EF//BC,∠A=60°,∠E=50°,求∠BCD的度数.

11.(1)证明:
∵D为AC的中点,
∴CD=AD.
在△CDE和△ADF中,$\begin{cases} CD=AD,\\ ∠CDE=∠ADF,\\ ED=FD, \end{cases}$
∴△CDE≌△ADF(SAS).
(2)解:
∵△CDE≌△ADF,
∴∠DCE=∠A.
∵EF//BC,∠E=50°,
∴∠BCE=180°−∠E=180°−50°=130°.
∵∠DCE=∠A=60°,
∴∠BCD=∠BCE−∠DCE=130°−60°=70°.

12.(18分)如图，BD，CE是$△ ABC$的高，点P在BD的延长线上，$CA=BP$，点Q在CE上，$QC=AB$.
(1)$∠1$ $∠2$；(填“＞”“＜”或“=”)
(2)探究PA与AQ之间的数量及位置关系；
(3)若把(1)中的$△ ABC$改为钝角三角形，$AC＞AB$，$∠ A$是钝角，其他条件不变，试探究PA与AQ之间的关系，请画出图形并写出结论.

12.(1)=
(2)解:AP=AQ,AP⊥AQ.理由如下:
∵BD,CE是△ABC的高,
∴BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠1+∠CAB=90°,∠2+∠CAB=90°,
∴∠1=∠2.
在△QAC和△APB中,$\begin{cases} QC=AB,\\ ∠1=∠2,\\ CA=BP, \end{cases}$
∴△QAC≌△APB(SAS),
∴AQ=AP,∠QAC=∠P.
∵∠DAP+∠P=90°,
∴∠DAP+∠QAC=90°,
∴∠QAP=90°,即AQ⊥AP.
(3)解:AP=AQ,AP⊥AQ.理由如下:
如答图所示.

∵BD,CE是△ABC的高,
∴BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠1+∠CAE=90°,∠2+∠DAB=90°.
∵∠CAE=∠DAB,
∴∠1=∠2.
在△QAC和△APB中,$\begin{cases} QC=AB,\\ ∠1=∠2,\\ CA=BP, \end{cases}$
∴△QAC≌△APB(SAS),
∴AQ=AP,∠QAC=∠P.
∵∠PDA=90°,
∴∠P+∠PAD=90°,
∴∠QAC+∠PAD=90°,
∴∠QAP=90°,
∴AQ⊥AP,即AP=AQ,AP⊥AQ.