三、解答题(共52分)
9.(10分)(2024春·启东月考)已知△ABC的三边长是a,b,c.
(1)若a=6,b=8,且三角形的周长是小于22的偶数,求c的值;
(2)化简:|a+b−c|+|c−a−b|.

9.解:(1)
∵a,b,c是△ABC的三边长,a=6,b=8,
∴2＜c＜14.
∵三角形的周长是小于22的偶数,
∴2＜c＜8,
∴c=4或6.
(2)原式=a+b−c−c+a+b=2a+2b−2c.

【分析】
(1) 先利用三角形三边关系确定c的初步取值范围：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边；再结合周长是小于22的偶数的条件，先由a+b=14为偶数，根据偶数加偶数为偶数判断c为偶数，再由周长小于22推出c的上限，最终筛选出符合要求的c值。
(2) 先根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负：两边之和大于第三边，可得a+b-c＞0，c-a-b＜0；再依据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项完成化简。
【解析】
(1)
∵a,b,c是△ABC的三边长，a=6，b=8，
∴根据三角形三边关系可得：8-6 ＜ c ＜ 8+6，即2 ＜ c ＜ 14，
∵三角形的周长是小于22的偶数，且a+b=6+8=14为偶数，
∴c为偶数，且14+c ＜ 22，解得c ＜ 8，
结合2 ＜ c ＜ 14可得2 ＜ c ＜ 8，
∴c的取值为4或6。
(2)
∵a,b,c是△ABC的三边长，
∴a+b ＞ c，即a+b-c ＞ 0，c - a - b = c - (a+b) ＜ 0，
∴根据绝对值的性质去绝对值：
|a+b−c|+|c−a−b| = (a+b - c) + [-(c - a - b)]
= a+b - c - c + a + b
= 2a + 2b - 2c。
【答案】
(1) c的值为4或6；(2) 化简结果为2a+2b−2c
【知识点】
三角形三边关系，绝对值化简，整式加减运算
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用考题，第一问需要结合周长的限制条件筛选边长，易错点是容易遗漏周长小于22的约束，错误扩大c的取值范围；第二问的核心是利用三边关系判断绝对值内式子的正负，再按绝对值规则化简即可，整体考查基础运算和逻辑判断能力。
【难度系数】
0.8

10.(12分)(2024春·睢宁县月考)如图,已知AD,AE分别是△ABC的高和中线,AB=3 cm,AC=4 cm,BC=5 cm,∠BAC=90°.
(1)求△ABE的面积;
(2)求AD的长.

10.解:(1)在△ABC中,∠BAC=90°,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$AB·AC=$\frac{1}{2}$×3×4=6(cm²),
∵AE是△ABC的中线,
∴S△ABE=$\frac{1}{2}$S△ABC=3(cm²).
(2)
∵AD是△ABC的高,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·AD.
∵S△ABC=6 cm²,BC=5 cm,
∴AD=2.4 cm.

【分析】
(1) 要求△ABE的面积，首先观察已知条件，△ABC是直角三角形，已知两条直角边AB、AC的长度，可先计算出△ABC的面积；再结合AE是△ABC的中线，根据三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的部分（两个小三角形等底同高），即可得到△ABE的面积是△ABC面积的一半。
(2) 要求AD的长度，AD是△ABC的边BC上的高，△ABC的面积已经算出，同一个三角形的面积可以用“$\frac{1}{2}$×底×对应高”表示，因此可以用等面积法，建立关于AD的等式，代入已知的BC长度和面积即可求出AD的长。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠BAC=90°，根据直角三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}×3×4=6(\mathrm{cm}^2)$
∵AE是△ABC的中线，
∴BE=EC，△ABE和△AEC等底同高，面积相等，
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm}^2)$。
(2)
∵AD是△ABC的边BC上的高，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC·AD$，
已知$S_{△ ABC}=6\mathrm{cm}^2$，BC=5cm，代入得：
$6=\frac{1}{2}×5×AD$，
解得$AD=\frac{12}{5}=2.4(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) $\boxed{3\ \mathrm{cm}^2}$；(2) $\boxed{2.4\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
直角三角形面积计算，三角形中线的性质，等面积法
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查三角形面积的计算方式和中线的性质，等面积法是求解三角形高线长度的常用方法，熟练掌握该技巧能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8

11.(12分)(2024春·昆山期末)如图,在△ABC中,D为AC的中点,F为AB边上一点,连接FD,并延长FD至点E,使得ED=DF,连接CE.
(1)求证:△CDE≌△ADF;
(2)若EF//BC,∠A=60°,∠E=50°,求∠BCD的度数.

11.(1)证明:
∵D为AC的中点,
∴CD=AD.
在△CDE和△ADF中,$\begin{cases} CD=AD,\\ ∠CDE=∠ADF,\\ ED=FD, \end{cases}$
∴△CDE≌△ADF(SAS).
(2)解:
∵△CDE≌△ADF,
∴∠DCE=∠A.
∵EF//BC,∠E=50°,
∴∠BCE=180°−∠E=180°−50°=130°.
∵∠DCE=∠A=60°,
∴∠BCD=∠BCE−∠DCE=130°−60°=70°.

【分析】
(1) 要证明△CDE≌△ADF，先梳理已知条件：D为AC中点可得CD=AD，题目给出ED=FD，再结合∠CDE和∠ADF是对顶角，度数相等，三组条件满足SAS全等判定定理，即可完成证明。
(2) 求∠BCD的度数，先借助第一问的全等结论，得到对应角∠DCE=∠A=60°；再根据EF//BC，利用平行线同旁内角互补的性质，结合已知∠E=50°算出∠BCE的度数；最后用∠BCE减去∠DCE即可得到∠BCD的度数。
【解析】
(1) 证明:
∵D为AC的中点,
∴CD=AD.
在△CDE和△ADF中,$\begin{cases} CD=AD,\\ ∠CDE=∠ADF,\\ ED=FD, \end{cases}$
∴△CDE≌△ADF(SAS).
(2) 解:
∵△CDE≌△ADF,
∴∠DCE=∠A.
∵EF//BC,∠E=50°,
∴∠BCE=180°−∠E=180°−50°=130°.
∵∠DCE=∠A=60°,
∴∠BCD=∠BCE−∠DCE=130°−60°=70°.
【答案】
(1) △CDE≌△ADF得证；
(2) $\boldsymbol{70°}$
【知识点】
全等三角形的判定（SAS），全等三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，第一问考察全等三角形的判定，第二问结合全等性质和平行线性质求解角度，解题时可直接将第一问的结论作为第二问的已知条件使用，熟练掌握基础定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

12.(18分)如图，BD，CE是$△ ABC$的高，点P在BD的延长线上，$CA=BP$，点Q在CE上，$QC=AB$.
(1)$∠1$ $∠2$；(填“＞”“＜”或“=”)
(2)探究PA与AQ之间的数量及位置关系；
(3)若把(1)中的$△ ABC$改为钝角三角形，$AC＞AB$，$∠ A$是钝角，其他条件不变，试探究PA与AQ之间的关系，请画出图形并写出结论.

12.(1)=
(2)解:AP=AQ,AP⊥AQ.理由如下:
∵BD,CE是△ABC的高,
∴BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠1+∠CAB=90°,∠2+∠CAB=90°,
∴∠1=∠2.
在△QAC和△APB中,$\begin{cases} QC=AB,\\ ∠1=∠2,\\ CA=BP, \end{cases}$
∴△QAC≌△APB(SAS),
∴AQ=AP,∠QAC=∠P.
∵∠DAP+∠P=90°,
∴∠DAP+∠QAC=90°,
∴∠QAP=90°,即AQ⊥AP.
(3)解:AP=AQ,AP⊥AQ.理由如下:
如答图所示.

∵BD,CE是△ABC的高,
∴BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠1+∠CAE=90°,∠2+∠DAB=90°.
∵∠CAE=∠DAB,
∴∠1=∠2.
在△QAC和△APB中,$\begin{cases} QC=AB,\\ ∠1=∠2,\\ CA=BP, \end{cases}$
∴△QAC≌△APB(SAS),
∴AQ=AP,∠QAC=∠P.
∵∠PDA=90°,
∴∠P+∠PAD=90°,
∴∠QAC+∠PAD=90°,
∴∠QAP=90°,
∴AQ⊥AP,即AP=AQ,AP⊥AQ.

【分析】
(1) 判断∠1和∠2的大小关系时，结合BD、CE是△ABC的高，可得∠1、∠2都与∠CAB互余，根据同角的余角相等即可推出两角相等；
(2) 探究PA与AQ的关系时，先看数量关系：已知QC=AB、CA=BP，结合(1)得到的∠1=∠2，可通过SAS证明△QAC≌△APB，即可得到AQ=AP；再看位置关系：由全等性质得∠QAC=∠P，结合BD⊥AC可知∠P+∠DAP=90°，等量代换后可证得∠QAP=90°，即两线段垂直；
(3) 钝角三角形的情况与(2)思路一致，先利用高的性质和对顶角相等证∠1=∠2，再通过SAS证三角形全等，即可得到与(2)相同的结论。
【解析】
(1)
∵BD，CE是△ABC的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠1+∠CAB=90°，∠2+∠CAB=90°，
根据同角的余角相等可得∠1=∠2。
(2) 解：AP=AQ，AP⊥AQ，理由如下：
∵BD，CE是△ABC的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠1+∠CAB=90°，∠2+∠CAB=90°，
∴∠1=∠2。
在△QAC和△APB中，
$\begin{cases} QC=AB,\\ ∠1=∠2,\\ CA=BP, \end{cases}$
∴△QAC≌△APB(SAS)，
∴AQ=AP，∠QAC=∠P。
∵∠DAP+∠P=90°，
∴∠DAP+∠QAC=90°，
∴∠QAP=90°，即AQ⊥AP。
(3) 解：AP=AQ，AP⊥AQ，理由如下：
如答图所示。

∵BD，CE是△ABC的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠1+∠CAE=90°，∠2+∠DAB=90°。
∵∠CAE=∠DAB（对顶角相等），
∴∠1=∠2。
在△QAC和△APB中，
$\begin{cases} QC=AB,\\ ∠1=∠2,\\ CA=BP, \end{cases}$
∴△QAC≌△APB(SAS)，
∴AQ=AP，∠QAC=∠P。
∵∠PDA=90°，
∴∠P+∠PAD=90°，
∴∠QAC+∠PAD=90°，
∴∠QAP=90°，
∴AQ⊥AP，即AP=AQ，AP⊥AQ。
【答案】
(1) =
(2) AP=AQ，AP⊥AQ
(3) 图形见，结论为AP=AQ，AP⊥AQ
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，垂直的定义
【点评】
本题属于三角形全等的综合应用题，解题关键是利用三角形高的性质推导相等的角，结合已知边相等的条件证明三角形全等，再通过全等的性质推导边的数量关系和垂直的位置关系，第三问的变式考查学生的类比迁移能力，可体会图形变化过程中不变的数量与位置规律。
【难度系数】
0.6