8.如图，∠AOB=42°，P为∠AOB内一点，P'，P''分别是点P关于OA，OB的对称点，连接P'P''，分别交OA，OB于点M，N。如果P'P''=5 cm，△PMN的周长为l，∠P'OP''的度数为α，那么l和α的值分别是（）

A.l=5 cm，α=84°
B.l=5 cm，α=85°
C.l=6 cm，α=80°
D.l=6 cm，α=85°

8.A

【分析】
解题时首先回忆轴对称的性质：点关于直线对称时，对称轴是对应点连线的垂直平分线，垂直平分线上的任意点到两个对应点的距离相等，对应角相等。第一步求△PMN的周长：利用对称把PM转化为P'M，PN转化为P''N，周长就可以转化为P'P''的长度；第二步求∠P'OP''的度数：利用对称得到∠AOP=∠AOP'，∠BOP=∠BOP''，则∠P'OP''可以转化为2倍的∠AOB，代入数值计算即可。
【解析】
∵P'是点P关于OA的对称点，
∴OA垂直平分线段PP'，
∴PM=P'M，OP=OP'，∠AOP=∠AOP'，
同理可得，PN=P''N，OP=OP''，∠BOP=∠BOP''。
①求△PMN的周长l：
l=PM+MN+PN=P'M+MN+P''N=P'P''，
已知P'P''=5cm，
∴l=5cm。
②求∠P'OP''的度数α：
α=∠P'OP''=∠P'OA+∠AOB+∠P''OB，
将∠P'OA=∠AOP，∠P''OB=∠BOP代入得：
α=∠AOP+∠AOB+∠BOP=2∠AOB，
已知∠AOB=42°，
∴α=2×42°=84°。
综上，l=5cm，α=84°，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，角的和差计算
【点评】
本题是轴对称性质的典型应用考题，解题的核心是通过对称关系实现线段和角度的等量转化，熟练掌握轴对称的相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7

9.如图，线段AB，BC的垂直平分线$l_1$，$l_2$相交于点O.若$∠ 1=38°$，则$∠ AOC$的度数为

9.$76°$

【分析】
解题时首先利用线段垂直平分线的性质，连接OB可得OA=OB=OC，将∠AOC通过三角形外角性质转化为2倍的∠ABC；再根据垂直平分线与线段垂直的特征，结合四边形内角和、邻补角的性质推导得出∠ABC=∠1，最后代入计算即可得到∠AOC的度数。
【解析】
连接OB，延长BO到点P。
1. 因为$l_1$是线段AB的垂直平分线，$l_2$是线段BC的垂直平分线，所以$OA=OB$，$OB=OC$，且$l_1⊥ AB$，$l_2⊥ BC$。
由$OA=OB$得$∠ OAB=∠ OBA$，由$OB=OC$得$∠ OBC=∠ OCB$。
2. 设$l_1$与AB交于点D，$l_2$与BC交于点E，则$∠ ODB=∠ OEB=90°$。
在四边形ODBE中，内角和为$360°$，因此$∠ DOE + ∠ DBE + 90° + 90° = 360°$，即$∠ DOE + ∠ DBE = 180°$。
又因为$∠ DOE + ∠ 1 = 180°$（邻补角互补），所以$∠ DBE = ∠ 1 = 38°$，即$∠ ABC=38°$。
3. 根据三角形外角的性质，$∠ AOP$是$△ AOB$的外角，因此$∠ AOP=∠ OAB+∠ OBA=2∠ OBA$；
同理$∠ COP$是$△ COB$的外角，$∠ COP=∠ OCB+∠ OBC=2∠ OBC$。
所以$∠ AOC=∠ AOP+∠ COP=2(∠ OBA+∠ OBC)=2∠ ABC=2×38°=76°$。
【答案】
$76°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是通过添加辅助线OB，将所求角与已知角建立关联，熟练掌握线段垂直平分线、等腰三角形及三角形外角的相关性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7

10.如图，P是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD.
求证:(1)∠PCD=∠PDC；
(2)OP是线段CD的垂直平分线.

10.证明:(1)$\because OP$是$∠AOB$的平分线,且$PC⊥OA,PD⊥OB$,
$\therefore PC=PD,\therefore ∠PCD=∠PDC$.
(2)$\because PC⊥OA,PD⊥OB,\therefore ∠OCP=∠ODP=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ POC$和$\mathrm{Rt}△ POD$中,$\begin{cases} PC=PD, \\ OP=OP, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ POC≌\mathrm{Rt}△ POD$(HL),$\therefore OC=OD$.
又$\because PC=PD,\therefore OP$是线段CD的垂直平分线.

【分析】
(1) 要证∠PCD=∠PDC，可先证明两个角所在的△PCD为等腰三角形，即证边PC=PD。已知P在∠AOB的平分线上，且PC、PD分别垂直于角的两边OA、OB，根据角平分线的性质即可得到PC=PD，再利用等腰三角形等边对等角的性质即可得证。
(2) 要证OP是CD的垂直平分线，结合垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。首先通过HL证明Rt△POC≌Rt△POD，得到OC=OD，说明点O在CD的垂直平分线上；再结合(1)中得到的PC=PD，说明点P也在CD的垂直平分线上，两点确定一条直线，即可推出OP是CD的垂直平分线。
【解析】
(1) 已知OP是∠AOB的平分线，且PC⊥OA，PD⊥OB，根据角平分线的性质可得PC=PD，由等腰三角形等边对等角的性质可推出∠PCD=∠PDC。
(2) 由垂直的定义得∠OCP=∠ODP=90°，在Rt△POC和Rt△POD中，PC=PD、OP为公共边，根据HL判定两个直角三角形全等，可得对应边OC=OD；结合PC=PD，可知点O、P均在线段CD的垂直平分线上，因此OP是线段CD的垂直平分线。
【答案】
证明:(1)$\because OP$是$∠AOB$的平分线,且$PC⊥OA,PD⊥OB$,
$\therefore PC=PD,\therefore ∠PCD=∠PDC$。
(2)$\because PC⊥OA,PD⊥OB,\therefore ∠OCP=∠ODP=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ POC$和$\mathrm{Rt}△ POD$中,$\begin{cases} PC=PD, \\ OP=OP, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ POC≌\mathrm{Rt}△ POD$(HL),$\therefore OC=OD$。
又$\because PC=PD,\therefore OP$是线段CD的垂直平分线。
【知识点】
角平分线的性质，直角三角形全等判定，线段垂直平分线判定
【点评】
本题是基础几何证明题，围绕核心几何定理的应用设计，解题时需结合已知条件灵活选取对应定理，梳理逻辑推导关系，是巩固基础几何知识的典型习题。
【难度系数】
0.8

11.如图,在$△ ABC$中,$∠ CAB$的平分线$AD$与$BC$的垂直平分线$DE$交于点$D$,$DM\bot AB$于点$M$,$DN\bot AC$,交$AC$的延长线于点$N$.
求证:(1)$BM=CN$;
(2)$AM=AN=\frac{1}{2}(AB+AC)$.

11.证明:(1)如答图,连接BD.
$\because AD$是$∠CAB$的平分线,$DM⊥AB,DN⊥AC$,
$\therefore DM=DN,∠DAB=∠DAC$.
$\because DE$垂直平分BC,$\therefore DB=DC$.
在$\mathrm{Rt}△ DMB$和$\mathrm{Rt}△ DNC$中,$\begin{cases} DB=DC, \\ DM=DN, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DMB≌\mathrm{Rt}△ DNC$(HL),$\therefore BM=CN$.
(2)在$△ ADM$和$△ ADN$中,$\begin{cases} ∠DAM=∠DAN, \\ ∠AMD=∠AND=90°, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ADM≌△ ADN$(AAS),
$\therefore AM=AN$,
$\therefore AM=AN=\frac{1}{2}(AB-BM+AC+CN)=\frac{1}{2}(AB+AC)$.

【分析】
(1) 要证明$BM=CN$，可先证两条线段所在的$\mathrm{Rt}△ DMB$和$\mathrm{Rt}△ DNC$全等：首先根据角平分线的性质得到$DM=DN$，再根据线段垂直平分线的性质得到$DB=DC$，利用HL判定直角三角形全等即可得证。
(2) 要证明$AM=AN=\frac{1}{2}(AB+AC)$，先通过AAS证明$△ ADM$和$△ ADN$全等，得到$AM=AN$；再将$AB$拆分为$AM+BM$、$AC$拆分为$AN-CN$，结合第一问得到的$BM=CN$，代入化简即可推出线段和的关系。
【解析】
证明：(1) 如答图，连接$BD$。
$\because AD$是$∠ CAB$的平分线，$DM⊥ AB$，$DN⊥ AC$，
$\therefore DM=DN$，$∠ DAB=∠ DAC$。
$\because DE$垂直平分$BC$，$\therefore DB=DC$。
在$\mathrm{Rt}△ DMB$和$\mathrm{Rt}△ DNC$中，$\begin{cases} DB=DC, \\ DM=DN, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DMB≌\mathrm{Rt}△ DNC$（HL），$\therefore BM=CN$。
(2) 在$△ ADM$和$△ ADN$中，$\begin{cases} ∠ DAM=∠ DAN, \\ ∠ AMD=∠ AND=90°, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ADM≌△ ADN$（AAS），
$\therefore AM=AN$，
$\therefore AM=AN=\frac{1}{2}(AB-BM+AC+CN)=\frac{1}{2}(AB+AC)$。

【答案】
(1) $BM=CN$，证明过程如上；
(2) $AM=AN=\frac{1}{2}(AB+AC)$，证明过程如上。

【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心是结合角平分线、线段垂直平分线的性质构造全等三角形，在推导线段和的关系时要合理利用已证的等量关系做代换，是轴对称相关性质的典型应用题型。
【难度系数】
0.7