1. 下列条件中,不能判定直线CD是线段AB(点C,D不在线段AB上)的垂直平分线的是 ()

A.$CA=CB,DA=DB$
B.$CA=CB,CD⊥ AB$
C.$CA=DA,CB=DB$
D.$CA=CB,CD$平分AB

1.C

【分析】
要判断直线CD是否为线段AB的垂直平分线，需结合线段垂直平分线的判定定理和等腰三角形三线合一的性质分析：①若两个点都到线段AB两端的距离相等，则过这两个点的直线就是AB的垂直平分线；②若CA=CB（即△CAB为等腰三角形），则只需CD满足垂直AB或平分AB，根据三线合一即可推出CD是AB的垂直平分线。我们逐一验证各选项，排除能判定的选项，即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$CA=CB$说明点C在AB的垂直平分线上，$DA=DB$说明点D在AB的垂直平分线上，根据“两点确定一条直线”，直线CD就是AB的垂直平分线，可判定，不符合题意。
选项B：$CA=CB$可得△CAB是等腰三角形，又$CD⊥AB$，根据等腰三角形“三线合一”，CD同时平分AB，因此CD垂直且平分AB，是AB的垂直平分线，可判定，不符合题意。
选项C：$CA=DA$说明点A在CD的垂直平分线上，$CB=DB$说明点B在CD的垂直平分线上，只能推出AB是CD的垂直平分线，无法证明CD垂直且平分AB，不能判定CD是AB的垂直平分线，符合题意。
选项D：$CA=CB$可得△CAB是等腰三角形，又CD平分AB，根据等腰三角形“三线合一”，CD同时垂直于AB，因此CD垂直且平分AB，是AB的垂直平分线，可判定，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题考查线段垂直平分线的判定方法，解题时要明确判定逻辑，结合两点确定一条直线和等腰三角形三线合一的性质逐一验证即可，注意不要混淆“CD是AB的垂直平分线”和“AB是CD的垂直平分线”的判定条件。
【难度系数】
0.7

2. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N。若∠BAC=70°，则∠EAN的度数为。

2.40°

【分析】解题时首先运用线段垂直平分线的性质得到等腰三角形，再利用等边对等角将角进行转化：第一步根据三角形内角和定理求出∠B与∠C的度数和；第二步结合垂直平分线性质得到∠EAB=∠B、∠NAC=∠C，进而得到∠EAB与∠NAC的度数和；第三步通过角的和差关系，用∠EAB+∠NAC的和减去∠BAC的度数，即可求出∠EAN的度数。
【解析】
解：在△ABC中，∠BAC=70°
由三角形内角和定理得：$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ BAC = 180° - 70° = 110°$
∵ 点E在AB的垂直平分线上
∴ $EA = EB$，根据等边对等角可得$∠ EAB = ∠ B$
同理，点N在AC的垂直平分线上，
∴ $NA = NC$，$∠ NAC = ∠ C$
∴ $∠ EAB + ∠ NAC = ∠ B + ∠ C = 110°$
又
∵ $∠ EAB + ∠ NAC = ∠ BAC + ∠ EAN$
∴ $∠ EAN = (∠ EAB + ∠ NAC) - ∠ BAC = 110° - 70° = 40°$
【答案】$40°$
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】本题是基础几何计算题，重点考查线段垂直平分线、等腰三角形性质的综合运用，解题的核心是找准角之间的和差关系，通过角的等量代换完成求解，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】0.7

3.如图,在△ABC中,AD是高,E,F分别为AB,AC的中点,连接DE,EF,FD.
(1)若AB=14,AC=10,求四边形AEDF的周长;
(2)EF与AD存在怎样的位置关系?证明你的结论.

3.解:(1)在Rt△ADB中,E为AB的中点,
∴DE=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×14=7$,$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×14=7$.
同理可得$DF=AF=\frac{1}{2}AC=5$.
∴四边形AEDF的周长$=7+7+5+5=24$.
(2)$EF⊥AD$.证明如下：
$\because AF=DF,\therefore$点F在AD的垂直平分线上.
同理可得点E在AD的垂直平分线上,
$\therefore EF$垂直平分AD,即$EF⊥AD$.

【分析】
(1) 首先由AD是高可得△ABD、△ACD均为直角三角形，已知E、F分别是AB、AC的中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可推出DE=AE=½AB，DF=AF=½AC，代入已知边长计算各边长度后求和，即可得到四边形AEDF的周长。
(2) 要判断EF与AD的位置关系，先根据(1)的结论得到AE=DE、AF=DF，根据“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知E、F均在AD的垂直平分线上，再结合两点确定一条直线，即可得出EF是AD的垂直平分线，从而得到二者的位置关系。
【解析】
(1) 解：
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB中，E是AB的中点，
∴$DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×14=7$，$AE=\frac{1}{2}AB=7$，
同理，在Rt△ADC中，F是AC的中点，
∴$DF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$，$AF=\frac{1}{2}AC=5$，
∴四边形AEDF的周长为$AE+DE+DF+AF=7+7+5+5=24$。
(2) $EF⊥AD$（EF垂直平分AD），证明如下：
由(1)可得$AE=DE$，$AF=DF$，
∴点E在AD的垂直平分线上，点F也在AD的垂直平分线上，
∵两点确定一条直线，
∴EF是AD的垂直平分线，即$EF⊥AD$。
【答案】
(1) 24；(2) EF垂直平分AD（或$EF⊥AD$）
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，线段垂直平分线判定，两点确定一条直线
【点评】
本题是基础几何应用题，重点考查直角三角形性质和线段垂直平分线的判定，解题时要注意结合已知中点的条件，合理选择对应的性质定理，第二问也可通过三角形中位线的性质推导，解法灵活，难度较低。
【难度系数】
0.8

4.如图，AD是△ABC的角平分线.若∠B=90°,BD=3,则点D到AC的距离是.

4.3

【分析】
解题时先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先确定点D到AB的距离：已知∠B=90°，即BD⊥AB，所以BD的长度就是点D到AB边的距离。又因为AD是∠BAC的角平分线，所以点D到∠BAC的两边AB、AC的距离相等，因此点D到AC的距离与BD长度相等，代入已知BD=3即可得出结果。
【解析】
过点D作DE⊥AC，垂足为E。
∵AD是∠BAC的角平分线，∠B=90°即DB⊥AB，DE⊥AC，
∴根据角平分线的性质可得DE=BD。
∵BD=3，
∴DE=3，即点D到AC的距离为3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础题型，核心考查角平分线性质的直接应用，解题关键是找准角平分线上的点到角两边对应的距离，无需复杂计算，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9

5.如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AD$平分$∠ BAC$，$BD=4\ \mathrm{cm}$，$CD=3\ \mathrm{cm}$，$P$是边$AB$上的动点，则$DP$长的最小值为$\mathrm{cm}.$

5.3

【分析】
要求动点P到D的最短距离，首先根据“垂线段最短”的性质，可知当DP垂直于AB时，DP的长度最小；接下来求该垂线段的长度，已知AD是∠BAC的角平分线，且∠C=90°即DC⊥AC，符合角平分线的性质的应用条件：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此D到AB的距离DP等于D到AC的距离CD，代入已知CD的长度即可得解。
【解析】
根据垂线段最短可知，当DP⊥AB时，DP的长度取最小值。
∵AD平分∠BAC，∠C=90°（即DC⊥AC），DP⊥AB，
∴根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DP=CD，
又
∵CD=3cm，
∴DP长的最小值为3cm。
【答案】
3
【知识点】
垂线段最短；角平分线的性质
【点评】
本题是几何最短路径的基础常考题，解题关键是先确定DP取最小值的位置，再结合角平分线的性质转化线段长度求解，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7

6.如图,在锐角三角形ABC中,AB=4,△ABC的面积为8,BD平分∠ABC,M,N分别是BD,BC上的动点,则CM+MN的最小值是.

6.4

【分析】
本题属于线段和的最小值问题，解题核心是利用轴对称性质转化线段。首先BD是∠ABC的角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，我们可以将BC上的垂线段MN转化为AB边上的垂线段，这样CM+MN就可以转化为点C到AB边的垂线段长度，再结合“垂线段最短”的原理，该垂线段就是CM+MN的最小值，最后通过三角形面积公式计算即可。
【解析】
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N。
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB，MN⊥BC，
∴根据角平分线的性质可得MN=ME，
∴CM+MN=CM+ME=CE，
由“垂线段最短”可知，此时CE的长度即为CM+MN的最小值。
已知△ABC的面积为8，AB=4，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × CE$，
代入数据得：$\frac{1}{2} × 4 × CE = 8$，
解得CE=4。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质，垂线段最短，三角形面积计算
【点评】
本题是典型的几何最值问题，解题关键是利用角平分线的对称性完成线段的转化，将折线段的和转化为点到直线的垂线段，很好地体现了转化思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.6

7.如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA＜OC，∠AOB=∠COD=36°。连接AC，BD交于点M，连接OM。
(1)求∠AMB的度数；
(2)MO是∠AMD的平分线吗？请说明理由。

7.解:(1)$\because ∠AOB=∠COD=36°$,
$\therefore ∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC$,
即$∠AOC=∠BOD$.
在$△ AOC$和$△ BOD$中,$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOC=∠BOD, \\ OC=OD, \end{cases}$
$\therefore △ AOC≌△ BOD$(SAS),$\therefore ∠OAC=∠OBD$.
$\because ∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB$,
$\therefore ∠AMB=∠AOB=36°$.
(2)MO是$∠AMD$的平分线.理由如下：
如答图,作$OG⊥AM$于点G,$OH⊥DM$于点H,则$∠OGA=∠OHB=90°$.
$\because ∠OAG=∠OBH,∠OGA=∠OHB,OA=OB$,
$\because △ AOG≌△ BOH$(AAS),$\therefore OG=OH$.
$\because OG=OH,OG⊥AC,OH⊥BD,\therefore MO$平分$∠AMD$.

【分析】
(1)求解∠AMB的度数时，首先根据已知的等角∠AOB=∠COD，推导得出△AOC和△BOD的夹角相等，结合已知的边相等条件，用SAS证明两三角形全等，得到对应角相等，再利用三角形外角的性质即可推出∠AMB的度数。
(2)判断MO是否为∠AMD的平分线时，依据角平分线的判定定理，可通过作OG⊥AM、OH⊥DM，证明OG=OH来推导结论；利用(1)中全等得到的等角，结合OA=OB和直角条件，用AAS证明△AOG≌△BOH，即可得到OG=OH，从而证得结论。
【解析】
(1) $\because ∠AOB=∠COD=36°$,
$\therefore ∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC$,
即$∠AOC=∠BOD$.
在$△AOC$和$△BOD$中,
$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOC=∠BOD, \\ OC=OD, \end{cases}$
$\therefore △AOC≌△BOD(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠OAC=∠OBD$.
由三角形外角的性质可得$∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB$,
$\therefore ∠AMB=∠AOB=36°$.
(2)MO是$∠AMD$的平分线，理由如下：
如答图，作$OG⊥AM$于点G，$OH⊥DM$于点H，则$∠OGA=∠OHB=90°$.
在$△AOG$和$△BOH$中,
$\begin{cases} ∠OAG=∠OBH, \\ ∠OGA=∠OHB, \\ OA=OB, \end{cases}$
$\therefore △AOG≌△BOH(\mathrm{AAS})$,
$\therefore OG=OH$.
又$\because OG⊥AC,OH⊥BD$，即点O到∠AMD两边的距离相等，
$\therefore MO$平分$∠AMD$.
【答案】
(1)$∠AMB$的度数为$36°$；
(2)MO是$∠AMD$的平分线，理由如上。

【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形外角性质
【点评】
本题是三角形几何证明的典型题型，重点考查全等三角形的证明与边角转化的思路，第二问通过作垂线构造全等的方法是角平分线判定类问题的常用技巧，掌握这类辅助线的做法能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7