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一、选择题
1 当用公式法解方程$2x^2 -1=3x$时，$b^2 -4ac$的值为 （
A.2
B.$-3$
C.17
D.$-1$
1 当用公式法解方程$2x^2 -1=3x$时，$b^2 -4ac$的值为 （
C
）A.2
B.$-3$
C.17
D.$-1$
答案
1.C
解析
【分析】
要计算一元二次方程根的判别式$b^2-4ac$，首先需要将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），准确确定系数$a$、$b$、$c$的取值（注意符号不能出错），再代入判别式公式计算即可得到结果。
【解析】
首先将原方程移项，化为一元二次方程的一般形式：
$2x^2 - 3x - 1 = 0$
根据一般形式可得：$a=2$，$b=-3$，$c=-1$
将$a$、$b$、$c$代入$b^2-4ac$计算：
$\begin{aligned}b^2-4ac&=(-3)^2 - 4×2×(-1)\\&=9 + 8\\&=17\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的一般形式
2.根的判别式计算
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的基础计算，易错点是未将方程化为一般形式就直接确定系数，或者确定系数时忽略负号导致计算错误，解题时需先整理方程为标准形式再代入计算。
【难度系数】
0.75
要计算一元二次方程根的判别式$b^2-4ac$，首先需要将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），准确确定系数$a$、$b$、$c$的取值（注意符号不能出错），再代入判别式公式计算即可得到结果。
【解析】
首先将原方程移项，化为一元二次方程的一般形式：
$2x^2 - 3x - 1 = 0$
根据一般形式可得：$a=2$，$b=-3$，$c=-1$
将$a$、$b$、$c$代入$b^2-4ac$计算：
$\begin{aligned}b^2-4ac&=(-3)^2 - 4×2×(-1)\\&=9 + 8\\&=17\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的一般形式
2.根的判别式计算
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的基础计算，易错点是未将方程化为一般形式就直接确定系数，或者确定系数时忽略负号导致计算错误，解题时需先整理方程为标准形式再代入计算。
【难度系数】
0.75
2 方程$x^2 - x = 56$的根是（
A.$x_1=7, x_2=8$
B.$x_1=7, x_2=-8$
C.$x_1=-7, x_2=8$
D.$x_1=-7, x_2=-8$
C
）A.$x_1=7, x_2=8$
B.$x_1=7, x_2=-8$
C.$x_1=-7, x_2=8$
D.$x_1=-7, x_2=-8$
答案
2.C
解析
【分析】
本题是求解一元二次方程的根，解题思路如下：首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式 $ax^2+bx+c=0$，再选择合适的方法求解，本题常数项数值不大，优先选择十字相乘法因式分解求解，计算更简便；也可使用求根公式法，或代入选项验证得到正确结果。需要注意移项时不要搞错符号，因式分解时正确拆分常数项。
【解析】
第一步：将原方程移项整理为一般形式：
$x^2 - x - 56 = 0$
第二步：用十字相乘法对左侧多项式因式分解：
二次项系数1可拆为 $1×1$，常数项-56可拆为 $7×(-8)$，交叉相乘相加得 $1×(-8)+1×7=-1$，与一次项系数相等，因此方程可分解为：
$(x+7)(x-8)=0$
第三步：求解方程：
令每个因式等于0，得 $x+7=0$ 或 $x-8=0$，解得 $x_1=-7, x_2=8$，对应选项C。
*若用求根公式法验证：$a=1,b=-1,c=-56$，判别式 $\Delta = b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-56)=225$，则 $x=\frac{1\pm\sqrt{225}}{2}=\frac{1\pm15}{2}$，计算得根同样为$x_1=-7,x_2=8$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程求解
2. 因式分解法解方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程的解法，使用因式分解法解题速度更快，也可通过代入选项验证的方法快速排除错误选项，解题时需注意移项的符号问题，避免因符号错误选错答案。
【难度系数】
0.8
本题是求解一元二次方程的根，解题思路如下：首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式 $ax^2+bx+c=0$，再选择合适的方法求解，本题常数项数值不大，优先选择十字相乘法因式分解求解，计算更简便；也可使用求根公式法，或代入选项验证得到正确结果。需要注意移项时不要搞错符号，因式分解时正确拆分常数项。
【解析】
第一步：将原方程移项整理为一般形式：
$x^2 - x - 56 = 0$
第二步：用十字相乘法对左侧多项式因式分解：
二次项系数1可拆为 $1×1$，常数项-56可拆为 $7×(-8)$，交叉相乘相加得 $1×(-8)+1×7=-1$，与一次项系数相等，因此方程可分解为：
$(x+7)(x-8)=0$
第三步：求解方程：
令每个因式等于0，得 $x+7=0$ 或 $x-8=0$，解得 $x_1=-7, x_2=8$，对应选项C。
*若用求根公式法验证：$a=1,b=-1,c=-56$，判别式 $\Delta = b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-56)=225$，则 $x=\frac{1\pm\sqrt{225}}{2}=\frac{1\pm15}{2}$，计算得根同样为$x_1=-7,x_2=8$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程求解
2. 因式分解法解方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程的解法，使用因式分解法解题速度更快，也可通过代入选项验证的方法快速排除错误选项，解题时需注意移项的符号问题，避免因符号错误选错答案。
【难度系数】
0.8
3 若关于$x$的方程$x^2 - x - m = 0$有实数根，则实数$m$的取值范围是（
A.$m＜\frac{1}{4}$
B.$m≤\frac{1}{4}$
C.$m≥-\frac{1}{4}$
D.$m＞-\frac{1}{4}$
C
）A.$m＜\frac{1}{4}$
B.$m≤\frac{1}{4}$
C.$m≥-\frac{1}{4}$
D.$m＞-\frac{1}{4}$
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程有实数根的参数取值范围求解，解题思路如下：首先明确对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，方程有实数根的充要条件是判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$；其次确定题干方程中$a、b、c$的取值，代入判别式得到关于$m$的一元一次不等式；最后解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：$\because$ 关于$x$的方程$x^2 - x - m = 0$是一元二次方程，且有实数根
$\therefore$ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
在方程$x^2 - x - m = 0$中，$a=1$，$b=-1$，$c=-m$，代入得：
$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(-m) ≥ 0$
计算得：$1 + 4m ≥ 0$
移项、系数化为1得：$m ≥ -\frac{1}{4}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是牢记一元二次方程有实数根时判别式的取值范围，代入系数计算时要注意常数项的符号，避免因符号错误导致计算结果出错。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程有实数根的参数取值范围求解，解题思路如下：首先明确对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，方程有实数根的充要条件是判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$；其次确定题干方程中$a、b、c$的取值，代入判别式得到关于$m$的一元一次不等式；最后解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：$\because$ 关于$x$的方程$x^2 - x - m = 0$是一元二次方程，且有实数根
$\therefore$ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
在方程$x^2 - x - m = 0$中，$a=1$，$b=-1$，$c=-m$，代入得：
$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(-m) ≥ 0$
计算得：$1 + 4m ≥ 0$
移项、系数化为1得：$m ≥ -\frac{1}{4}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是牢记一元二次方程有实数根时判别式的取值范围，代入系数计算时要注意常数项的符号，避免因符号错误导致计算结果出错。
【难度系数】
0.8
4 [2025 苏州工业园区段考]若等腰三角形的两边长分别是方程$x^2 -10x +21=0$的两个根，则这个三角形的周长为（
A.17或13
B.13或21
C.17
D.13
C
）A.17或13
B.13或21
C.17
D.13
答案
4.C
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步先求解一元二次方程，得到的两个根就是等腰三角形的两条边长；第二步结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论腰长和底边长的取值；第三步根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断每种情况能否构成三角形，舍去不符合的情况后，计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
首先解方程$x^2 -10x +21=0$，因式分解得：
$(x-3)(x-7)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=7$，即等腰三角形的两条边长为3和7。
分两种情况讨论：
① 若腰长为3，底边长为7，此时三角形三边长为3，3，7。
因为$3+3=6＜7$，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，无法构成三角形，该情况舍去；
② 若腰长为7，底边长为3，此时三角形三边长为7，7，3。
因为$3+7＞7$，满足三角形三边关系，可以构成三角形，此时周长为$7+7+3=17$。
综上，这个三角形的周长为17。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于易错题，很多同学会忽略三角形三边关系的验证，直接计算两种情况的周长误选A，因此遇到等腰三角形边长相关的多解问题时，一定要先验证三边能否构成三角形，再计算最终结果。
【难度系数】
0.6
解题思路分三步：第一步先求解一元二次方程，得到的两个根就是等腰三角形的两条边长；第二步结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论腰长和底边长的取值；第三步根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断每种情况能否构成三角形，舍去不符合的情况后，计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
首先解方程$x^2 -10x +21=0$，因式分解得：
$(x-3)(x-7)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=7$，即等腰三角形的两条边长为3和7。
分两种情况讨论：
① 若腰长为3，底边长为7，此时三角形三边长为3，3，7。
因为$3+3=6＜7$，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，无法构成三角形，该情况舍去；
② 若腰长为7，底边长为3，此时三角形三边长为7，7，3。
因为$3+7＞7$，满足三角形三边关系，可以构成三角形，此时周长为$7+7+3=17$。
综上，这个三角形的周长为17。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于易错题，很多同学会忽略三角形三边关系的验证，直接计算两种情况的周长误选A，因此遇到等腰三角形边长相关的多解问题时，一定要先验证三边能否构成三角形，再计算最终结果。
【难度系数】
0.6
5 已知$(x+y)(x+y+2)-8=0$，则$x+y$的值是 （
A.－4或2
B.－2或4
C.2或－3
D.3或－2
A
）A.－4或2
B.－2或4
C.2或－3
D.3或－2
答案
5.A
解析
【分析】
观察题目给出的方程，发现式子中$x+y$作为整体重复出现，因此可以采用换元法简化运算：设$ t = x+y $，将原方程转化为关于$ t $的一元二次方程，求解该方程得到的$ t $值就是$ x+y $的值，无需分别求解x和y。
【解析】
设$ t = x + y $，将其代入原方程可得：
$ t(t + 2) - 8 = 0 $
展开并整理为一元二次方程的标准形式：
$ t^2 + 2t - 8 = 0 $
用因式分解法解方程，对左边十字相乘得：
$ (t + 4)(t - 2) = 0 $
则$ t + 4 = 0 $或$ t - 2 = 0 $，解得：
$ t_1 = -4 $，$ t_2 = 2 $
即$ x+y $的值为-4或2，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
换元法，一元二次方程求解，整体思想
【点评】
本题重点考察整体思想在解方程中的应用，通过换元将含双未知数的方程转化为熟悉的一元二次方程，大幅简化计算过程，是代数运算中很常用的技巧。
【难度系数】
0.8
观察题目给出的方程，发现式子中$x+y$作为整体重复出现，因此可以采用换元法简化运算：设$ t = x+y $，将原方程转化为关于$ t $的一元二次方程，求解该方程得到的$ t $值就是$ x+y $的值，无需分别求解x和y。
【解析】
设$ t = x + y $，将其代入原方程可得：
$ t(t + 2) - 8 = 0 $
展开并整理为一元二次方程的标准形式：
$ t^2 + 2t - 8 = 0 $
用因式分解法解方程，对左边十字相乘得：
$ (t + 4)(t - 2) = 0 $
则$ t + 4 = 0 $或$ t - 2 = 0 $，解得：
$ t_1 = -4 $，$ t_2 = 2 $
即$ x+y $的值为-4或2，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
换元法，一元二次方程求解，整体思想
【点评】
本题重点考察整体思想在解方程中的应用，通过换元将含双未知数的方程转化为熟悉的一元二次方程，大幅简化计算过程，是代数运算中很常用的技巧。
【难度系数】
0.8
6 [2025 苏州工业园区期中]若关于$x$的一元二次方程$(k-5)x^2 -2x +2=0$有实数根，则整数$k$的最大值为（
A.4
B.5
C.6
D.7
A
）A.4
B.5
C.6
D.7
答案
6.A 【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$(k-5)x^2 -2x +2=0$有实数根，
∴ $\begin{cases}k-5≠0,\\(-2)^2 -4(k-5)×2≥0,\end{cases}$ 解得 $k≤\frac{11}{2}$ 且 $k≠5.$
∵ k 为整数，
∴ k 的最大值为4.
∵ 关于x的一元二次方程$(k-5)x^2 -2x +2=0$有实数根，
∴ $\begin{cases}k-5≠0,\\(-2)^2 -4(k-5)×2≥0,\end{cases}$ 解得 $k≤\frac{11}{2}$ 且 $k≠5.$
∵ k 为整数，
∴ k 的最大值为4.
解析
【分析】
解决这道题首先要抓住两个核心限制条件：一是题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程就变成一元一次方程，不符合题意；二是方程有实数根，说明根的判别式Δ≥0。我们先根据这两个条件列出关于k的不等式组，求解得到k的取值范围后，再结合k是整数的要求，筛选出符合条件的最大整数即可，解题时要特别注意不要漏掉二次项系数不为0的隐含要求。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$(k-5)x^2 -2x +2=0$有实数根，
∴ 需同时满足二次项系数不为0、判别式非负两个条件，列不等式组得：
$\begin{cases}k-5≠0\\(-2)^2 -4(k-5)×2≥0\end{cases}$
解第一个不等式得：$k≠5$
解第二个不等式：
$4 - 8(k-5) ≥ 0$
$4 -8k +40 ≥0$
$8k ≤44$
$k ≤\frac{11}{2}=5.5$
综上可得k的取值范围为$k≤5.5$且$k≠5$，
∵k为整数，
∴整数k的最大值为4。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，不等式组的整数解
【点评】
本题易忽略“一元二次方程要求二次项系数不为0”的限制，仅根据判别式得到k≤5.5就误选B选项，考查学生对一元二次方程相关概念的掌握程度和审题的细致度。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先要抓住两个核心限制条件：一是题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程就变成一元一次方程，不符合题意；二是方程有实数根，说明根的判别式Δ≥0。我们先根据这两个条件列出关于k的不等式组，求解得到k的取值范围后，再结合k是整数的要求，筛选出符合条件的最大整数即可，解题时要特别注意不要漏掉二次项系数不为0的隐含要求。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$(k-5)x^2 -2x +2=0$有实数根，
∴ 需同时满足二次项系数不为0、判别式非负两个条件，列不等式组得：
$\begin{cases}k-5≠0\\(-2)^2 -4(k-5)×2≥0\end{cases}$
解第一个不等式得：$k≠5$
解第二个不等式：
$4 - 8(k-5) ≥ 0$
$4 -8k +40 ≥0$
$8k ≤44$
$k ≤\frac{11}{2}=5.5$
综上可得k的取值范围为$k≤5.5$且$k≠5$，
∵k为整数，
∴整数k的最大值为4。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，不等式组的整数解
【点评】
本题易忽略“一元二次方程要求二次项系数不为0”的限制，仅根据判别式得到k≤5.5就误选B选项，考查学生对一元二次方程相关概念的掌握程度和审题的细致度。
【难度系数】
0.6
二、填空题
7 [2025 西宁]若关于 x 的一元二次方程$kx^2 -2x +1=0$有两个不相等的实数根,请写出一个满足条件的 k 的值:
7 [2025 西宁]若关于 x 的一元二次方程$kx^2 -2x +1=0$有两个不相等的实数根,请写出一个满足条件的 k 的值:
-1(答案不唯一)
.答案
7.-1(答案不唯一)
解析
【分析】首先明确题目给出的是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，需先列出两个限制条件：一是一元二次方程的二次项系数不能为0，二是根的判别式大于0，联立两个条件求出k的取值范围，再在范围内任取一个符合要求的数值即可。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，可得$k ≠ 0$；
第二步：根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可知判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，本题中$a=k$，$b=-2$，$c=1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4 × k × 1 = 4 - 4k ＞ 0$
解不等式得：$k ＜ 1$
第三步：综合两个条件，k的取值范围为$k ＜ 1$且$k ≠ 0$，任取该范围内的一个值，例如$k=-1$即可。
【答案】
-1（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题，解题时需注意一元二次方程的二次项系数不为0是隐含条件，不要漏写该限制条件导致取值错误。
【难度系数】
0.7
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，可得$k ≠ 0$；
第二步：根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可知判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，本题中$a=k$，$b=-2$，$c=1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4 × k × 1 = 4 - 4k ＞ 0$
解不等式得：$k ＜ 1$
第三步：综合两个条件，k的取值范围为$k ＜ 1$且$k ≠ 0$，任取该范围内的一个值，例如$k=-1$即可。
【答案】
-1（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题，解题时需注意一元二次方程的二次项系数不为0是隐含条件，不要漏写该限制条件导致取值错误。
【难度系数】
0.7
8 [2025镇江]若关于x的一元二次方程$x^2 + mx + 1 = 0$有两个相等的实数根，则m的值为
±2
.答案
8.±2
解析
【分析】
本题已知一元二次方程有两个相等的实数根，解题核心是利用一元二次方程根的判别式和根的个数的对应关系求解。首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，当判别式$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根，我们只需找出题干方程对应的$a、b、c$的取值，代入$\Delta=0$列关于$m$的方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + mx + 1 = 0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=1$。
因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2-4ac=0$。
将$a、b、c$的取值代入判别式得：$m^2 - 4×1×1=0$，
整理得$m^2=4$，
解得$m=\pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、平方根运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程根的个数与判别式取值的对应关系，熟练掌握判别式三种取值对应的根的情况即可快速解题，计算时注意不要遗漏负根。
【难度系数】
0.8
本题已知一元二次方程有两个相等的实数根，解题核心是利用一元二次方程根的判别式和根的个数的对应关系求解。首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，当判别式$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根，我们只需找出题干方程对应的$a、b、c$的取值，代入$\Delta=0$列关于$m$的方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + mx + 1 = 0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=1$。
因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2-4ac=0$。
将$a、b、c$的取值代入判别式得：$m^2 - 4×1×1=0$，
整理得$m^2=4$，
解得$m=\pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、平方根运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程根的个数与判别式取值的对应关系，熟练掌握判别式三种取值对应的根的情况即可快速解题，计算时注意不要遗漏负根。
【难度系数】
0.8
9 若$x=3$是关于$x$的方程$ax^2 - bx -6=0$的根，则$2026 -6a +2b$的值为
2022
。答案
9.2022
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程根的定义求解，第一步，将x=3代入原方程，得到关于a、b的等式；第二步，对得到的等式进行化简，得到3a - b的值；第三步，观察所求代数式2026 -6a +2b的结构，将其变形为含有3a -b的形式，最后整体代入计算即可得到结果，不需要单独求出a、b的具体数值。
【解析】
∵x=3是关于x的方程$ax^2 - bx -6=0$的根
∴将x=3代入方程得：$a×3^2 - b×3 -6=0$
整理得：$9a - 3b =6$，等式两边同时除以3可得：$3a - b =2$
对所求代数式变形：
$2026 -6a +2b = 2026 - (6a - 2b) = 2026 - 2(3a - b)$
将$3a - b =2$代入上式得：
原式$=2026 - 2×2 = 2026 -4 = 2022$
【答案】
2022
【知识点】
一元二次方程根的定义；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握方程根的定义，灵活运用整体代入的思想简化计算，避免了求解单个未知数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
本题可根据一元二次方程根的定义求解，第一步，将x=3代入原方程，得到关于a、b的等式；第二步，对得到的等式进行化简，得到3a - b的值；第三步，观察所求代数式2026 -6a +2b的结构，将其变形为含有3a -b的形式，最后整体代入计算即可得到结果，不需要单独求出a、b的具体数值。
【解析】
∵x=3是关于x的方程$ax^2 - bx -6=0$的根
∴将x=3代入方程得：$a×3^2 - b×3 -6=0$
整理得：$9a - 3b =6$，等式两边同时除以3可得：$3a - b =2$
对所求代数式变形：
$2026 -6a +2b = 2026 - (6a - 2b) = 2026 - 2(3a - b)$
将$3a - b =2$代入上式得：
原式$=2026 - 2×2 = 2026 -4 = 2022$
【答案】
2022
【知识点】
一元二次方程根的定义；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握方程根的定义，灵活运用整体代入的思想简化计算，避免了求解单个未知数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
10 对于任意实数$a$,$b$,定义一种运算:$a※b=a^2+b^2-ab$,等式右边为通常的混合运算.若$x※(x-1)=3$,则$x$的值为
2或-1
.答案
10.2或-1
解析
【分析】
本题属于新定义运算结合一元二次方程求解的题型，解题思路如下：首先准确理解新运算“※”的运算规则，将x对应a、(x-1)对应b代入运算公式，得到关于x的等式；然后通过整式的混合运算化简等式，整理为标准的一元二次方程形式；最后求解一元二次方程即可得到x的值。
【解析】
根据新定义的运算规则$a※b=a^2+b^2-ab$，将$a=x$，$b=x-1$代入$x※(x-1)=3$，可得：
$x^2 + (x-1)^2 - x(x-1) = 3$
展开并化简左边的整式：
$x^2 + x^2 - 2x + 1 - x^2 + x = 3$
合并同类项得：
$x^2 - x + 1 = 3$
移项整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 - x - 2 = 0$
因式分解得：
$(x - 2)(x + 1) = 0$
解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
【答案】
2或-1
【知识点】
新定义运算、整式化简、一元二次方程求解
【点评】
本题核心是正确理解新运算的规则，代入后准确化简整式，再解一元二次方程，属于基础题型，只要计算仔细即可得分。
【难度系数】
0.8
本题属于新定义运算结合一元二次方程求解的题型，解题思路如下：首先准确理解新运算“※”的运算规则，将x对应a、(x-1)对应b代入运算公式，得到关于x的等式；然后通过整式的混合运算化简等式，整理为标准的一元二次方程形式；最后求解一元二次方程即可得到x的值。
【解析】
根据新定义的运算规则$a※b=a^2+b^2-ab$，将$a=x$，$b=x-1$代入$x※(x-1)=3$，可得：
$x^2 + (x-1)^2 - x(x-1) = 3$
展开并化简左边的整式：
$x^2 + x^2 - 2x + 1 - x^2 + x = 3$
合并同类项得：
$x^2 - x + 1 = 3$
移项整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 - x - 2 = 0$
因式分解得：
$(x - 2)(x + 1) = 0$
解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
【答案】
2或-1
【知识点】
新定义运算、整式化简、一元二次方程求解
【点评】
本题核心是正确理解新运算的规则，代入后准确化简整式，再解一元二次方程，属于基础题型，只要计算仔细即可得分。
【难度系数】
0.8
11 [2024河北]淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a的值为
$1+\sqrt{2}$
。答案
11.$1+\sqrt{2}$ 【解析】根据题意,得 $a^2 -2a=1$,解得 $a=1±\sqrt{2}.$
∵ a 为正数,
∴ $a=1+\sqrt{2}.$
∵ a 为正数,
∴ $a=1+\sqrt{2}.$
解析
【分析】
首先明确两种运算的结果：正确运算结果是正数a的平方即$a^2$，错误运算结果是a与2的积即$2a$，再根据“错误答案比正确答案小1”的数量关系列一元二次方程，求解方程后结合a是正数的条件舍去不符合要求的根，即可得到a的值。
【解析】
解：根据题意可列方程：
$a^2 - 2a = 1$
将方程配方得：
$a^2 - 2a + 1 = 1 + 1$
即$(a-1)^2 = 2$
开平方得$a-1 = \pm\sqrt{2}$
解得$a = 1+\sqrt{2}$或$a = 1-\sqrt{2}$
∵a为正数，$1-\sqrt{2}＜0$不符合要求，舍去
∴$a = 1+\sqrt{2}$
【答案】
$1+\sqrt{2}$
【知识点】
一元二次方程的应用，解一元二次方程，根的取舍
【点评】
本题是基础应用型题目，重点考查从文字描述中提取等量关系列方程的能力，解题时要注意题干给出的未知数的取值限制，避免遗漏根的取舍步骤。
【难度系数】
0.7
首先明确两种运算的结果：正确运算结果是正数a的平方即$a^2$，错误运算结果是a与2的积即$2a$，再根据“错误答案比正确答案小1”的数量关系列一元二次方程，求解方程后结合a是正数的条件舍去不符合要求的根，即可得到a的值。
【解析】
解：根据题意可列方程：
$a^2 - 2a = 1$
将方程配方得：
$a^2 - 2a + 1 = 1 + 1$
即$(a-1)^2 = 2$
开平方得$a-1 = \pm\sqrt{2}$
解得$a = 1+\sqrt{2}$或$a = 1-\sqrt{2}$
∵a为正数，$1-\sqrt{2}＜0$不符合要求，舍去
∴$a = 1+\sqrt{2}$
【答案】
$1+\sqrt{2}$
【知识点】
一元二次方程的应用，解一元二次方程，根的取舍
【点评】
本题是基础应用型题目，重点考查从文字描述中提取等量关系列方程的能力，解题时要注意题干给出的未知数的取值限制，避免遗漏根的取舍步骤。
【难度系数】
0.7
12 已知$m^2 + mn - n^2 = 0$，且$mn ≠ 0$，则$\frac{n}{m}$的值为
$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$
。答案
12.$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$ 【解析】由 $mn≠0$,得 $m≠0.$ 在 $m^2 + mn - n^2=0$ 的两边同时除以 $m^2$,得 $1+\frac{n}{m}-(\frac{n}{m})^2=0$,即 $(\frac{n}{m})^2-\frac{n}{m}-1=0$,用公式法解关于 $\frac{n}{m}$ 的一元二次方程,得 $\frac{n}{m}=\frac{1±\sqrt{5}}{2}.$
解析
【分析】
要求$\frac{n}{m}$的值，观察已知方程是关于m、n的二次齐次方程，且$mn≠0$，说明m、n均不为0，因此可以利用等式的性质，在方程两边同时除以$m^2$，将方程转化为只含有$\frac{n}{m}$的一元二次方程，再解这个一元二次方程即可得到$\frac{n}{m}$的值。
【解析】
$\because mn≠0$，$\therefore m≠0$，
将方程$m^2 + mn - n^2 = 0$两边同时除以$m^2$，得：
$1 + \frac{n}{m} - (\frac{n}{m})^2 = 0$，
整理为标准一元二次方程形式：$(\frac{n}{m})^2 - \frac{n}{m} - 1 = 0$，
令$t=\frac{n}{m}$，则方程变为$t^2 - t - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-1$，
由求根公式$t=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入得：
$t=\frac{1±\sqrt{(-1)^2-4×1×(-1)}}{2×1}=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，
即$\frac{n}{m}=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
一元二次方程解法，等式的性质，分式有意义的条件
【点评】
本题属于中等难度的代数式求值题，解题核心是将二元二次齐次方程通过变形转化为关于所求比值的一元二次方程，解题时要注意$mn≠0$是方程变形的前提条件，避免出现无意义的除法运算。
【难度系数】
0.6
要求$\frac{n}{m}$的值，观察已知方程是关于m、n的二次齐次方程，且$mn≠0$，说明m、n均不为0，因此可以利用等式的性质，在方程两边同时除以$m^2$，将方程转化为只含有$\frac{n}{m}$的一元二次方程，再解这个一元二次方程即可得到$\frac{n}{m}$的值。
【解析】
$\because mn≠0$，$\therefore m≠0$，
将方程$m^2 + mn - n^2 = 0$两边同时除以$m^2$，得：
$1 + \frac{n}{m} - (\frac{n}{m})^2 = 0$，
整理为标准一元二次方程形式：$(\frac{n}{m})^2 - \frac{n}{m} - 1 = 0$，
令$t=\frac{n}{m}$，则方程变为$t^2 - t - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-1$，
由求根公式$t=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入得：
$t=\frac{1±\sqrt{(-1)^2-4×1×(-1)}}{2×1}=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，
即$\frac{n}{m}=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
一元二次方程解法，等式的性质，分式有意义的条件
【点评】
本题属于中等难度的代数式求值题，解题核心是将二元二次齐次方程通过变形转化为关于所求比值的一元二次方程，解题时要注意$mn≠0$是方程变形的前提条件，避免出现无意义的除法运算。
【难度系数】
0.6
三、解答题
13 用适当的方法解下列方程：
（1）$x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 = 0$；
（2）$(3y - 7)^2 - (y + 1)^2 = 0$；
（3）$\frac{1}{2}x(x + 2) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2}x$；
（4）$4(t - 5)^2 + 4(5 - t) + 1 = 0$。
13 用适当的方法解下列方程：
（1）$x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 = 0$；
（2）$(3y - 7)^2 - (y + 1)^2 = 0$；
（3）$\frac{1}{2}x(x + 2) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2}x$；
（4）$4(t - 5)^2 + 4(5 - t) + 1 = 0$。
答案
13. (1) $x_1 = x_2 = -\sqrt{2}$
(2) $y_1 = \frac{3}{2}, y_2 = 4$
(3) $x_1=\frac{-3+\sqrt{15}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$
(4) $t_1 = t_2 = \frac{11}{2}$
(2) $y_1 = \frac{3}{2}, y_2 = 4$
(3) $x_1=\frac{-3+\sqrt{15}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$
(4) $t_1 = t_2 = \frac{11}{2}$
解析
【分析】
解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法、公式法，解题时可根据方程的特征优先选择计算简便的方法：（1）方程左边符合完全平方公式的形式，可直接因式分解求解；（2）方程左边是两个平方的差，符合平方差公式的结构，用因式分解法求解；（3）先将方程整理为一元二次方程的一般形式，判别式为正，用公式法求解即可；（4）将$(t-5)$看作整体，左边符合完全平方公式的形式，用因式分解法求解更简便。
【解析】
（1）对$x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 = 0$因式分解，得
$(x+\sqrt{2})^2=0$
开方得$x+\sqrt{2}=0$
$\therefore x_1=x_2=-\sqrt{2}$
（2）对$(3y - 7)^2 - (y + 1)^2 = 0$用平方差公式因式分解，得
$[(3y-7)-(y+1)][(3y-7)+(y+1)]=0$
化简得$(2y-8)(4y-6)=0$
$\therefore 2y-8=0$或$4y-6=0$
解得$y_1=4$，$y_2=\frac{3}{2}$
（3）对$\frac{1}{2}x(x + 2) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2}x$整理：
两边同时乘4去分母，得$2x(x+2)=3-2x$
展开移项，得$2x^2+6x-3=0$
这里$a=2,b=6,c=-3$，判别式$\Delta=b^2-4ac=6^2-4×2×(-3)=36+24=60＞0$
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得
$x=\frac{-6\pm\sqrt{60}}{2×2}=\frac{-6\pm2\sqrt{15}}{4}=\frac{-3\pm\sqrt{15}}{2}$
$\therefore x_1=\frac{-3+\sqrt{15}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$
（4）对$4(t - 5)^2 + 4(5 - t) + 1 = 0$变形，得
$4(t-5)^2-4(t-5)+1=0$
因式分解得$[2(t-5)-1]^2=0$
化简得$(2t-11)^2=0$
$\therefore 2t-11=0$
解得$t_1=t_2=\frac{11}{2}$
【答案】
(1) $x_1 = x_2 = -\sqrt{2}$
(2) $y_1 = \frac{3}{2}, y_2 = 4$
(3) $x_1=\frac{-3+\sqrt{15}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$
(4) $t_1 = t_2 = \frac{11}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法；因式分解法；公式法
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，解题时要结合方程的结构特征灵活选择解法，优先选用因式分解法可大幅简化计算，遇到有重根的情况要规范书写根的形式。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法、公式法，解题时可根据方程的特征优先选择计算简便的方法：（1）方程左边符合完全平方公式的形式，可直接因式分解求解；（2）方程左边是两个平方的差，符合平方差公式的结构，用因式分解法求解；（3）先将方程整理为一元二次方程的一般形式，判别式为正，用公式法求解即可；（4）将$(t-5)$看作整体，左边符合完全平方公式的形式，用因式分解法求解更简便。
【解析】
（1）对$x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 = 0$因式分解，得
$(x+\sqrt{2})^2=0$
开方得$x+\sqrt{2}=0$
$\therefore x_1=x_2=-\sqrt{2}$
（2）对$(3y - 7)^2 - (y + 1)^2 = 0$用平方差公式因式分解，得
$[(3y-7)-(y+1)][(3y-7)+(y+1)]=0$
化简得$(2y-8)(4y-6)=0$
$\therefore 2y-8=0$或$4y-6=0$
解得$y_1=4$，$y_2=\frac{3}{2}$
（3）对$\frac{1}{2}x(x + 2) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2}x$整理：
两边同时乘4去分母，得$2x(x+2)=3-2x$
展开移项，得$2x^2+6x-3=0$
这里$a=2,b=6,c=-3$，判别式$\Delta=b^2-4ac=6^2-4×2×(-3)=36+24=60＞0$
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得
$x=\frac{-6\pm\sqrt{60}}{2×2}=\frac{-6\pm2\sqrt{15}}{4}=\frac{-3\pm\sqrt{15}}{2}$
$\therefore x_1=\frac{-3+\sqrt{15}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$
（4）对$4(t - 5)^2 + 4(5 - t) + 1 = 0$变形，得
$4(t-5)^2-4(t-5)+1=0$
因式分解得$[2(t-5)-1]^2=0$
化简得$(2t-11)^2=0$
$\therefore 2t-11=0$
解得$t_1=t_2=\frac{11}{2}$
【答案】
(1) $x_1 = x_2 = -\sqrt{2}$
(2) $y_1 = \frac{3}{2}, y_2 = 4$
(3) $x_1=\frac{-3+\sqrt{15}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$
(4) $t_1 = t_2 = \frac{11}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法；因式分解法；公式法
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，解题时要结合方程的结构特征灵活选择解法，优先选用因式分解法可大幅简化计算，遇到有重根的情况要规范书写根的形式。
【难度系数】
0.8
