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14 已知关于x的一元二次方程$mx^2-(3m-1)x+2m-1=0$的根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。
答案
14. 根据题意,得 $m≠0$, 且 $\Delta=[-(3m-1)]^2 -4m(2m-1)=m^2 -2m+1=1$, 解得 $m_1=0$(不合题意,舍去),$m_2=2.$
∴ $m=2$,
∴ 原方程为 $2x^2 -5x +3=0$,解得 $x_1=\frac{3}{2},x_2=1$
∴ $m=2$,
∴ 原方程为 $2x^2 -5x +3=0$,解得 $x_1=\frac{3}{2},x_2=1$
解析
【分析】
解题首先要注意题目明确给出是一元二次方程，因此隐含二次项系数m≠0的前提条件；其次根据根的判别式的定义，对照方程写出a、b、c的对应值，代入Δ=b²-4ac=1的条件列出关于m的方程，求解m后先舍去不符合m≠0的解，再将符合条件的m代入原方程，求解一元二次方程即可得到对应根。
【解析】
解：
∵ 该方程是关于x的一元二次方程
∴ $m≠0$
根据根的判别式的值为1，可得：
$\Delta=[-(3m-1)]^2 -4m(2m-1)=1$
展开并整理等式：
$9m^2-6m+1-8m^2+4m=1$
$m^2-2m=0$
因式分解得$m(m-2)=0$
解得$m_1=0$，$m_2=2$
结合$m≠0$的前提，舍去$m_1=0$，得$m=2$
将$m=2$代入原方程，得：
$2x^2-5x+3=0$
因式分解得$(2x-3)(x-1)=0$
解得$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=1$
【答案】
$m=2$，方程的根为$x_1=\frac{3}{2},x_2=1$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规题，重点考查根的判别式的应用，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免漏检参数导致多解错误。
【难度系数】
0.7
解题首先要注意题目明确给出是一元二次方程，因此隐含二次项系数m≠0的前提条件；其次根据根的判别式的定义，对照方程写出a、b、c的对应值，代入Δ=b²-4ac=1的条件列出关于m的方程，求解m后先舍去不符合m≠0的解，再将符合条件的m代入原方程，求解一元二次方程即可得到对应根。
【解析】
解：
∵ 该方程是关于x的一元二次方程
∴ $m≠0$
根据根的判别式的值为1，可得：
$\Delta=[-(3m-1)]^2 -4m(2m-1)=1$
展开并整理等式：
$9m^2-6m+1-8m^2+4m=1$
$m^2-2m=0$
因式分解得$m(m-2)=0$
解得$m_1=0$，$m_2=2$
结合$m≠0$的前提，舍去$m_1=0$，得$m=2$
将$m=2$代入原方程，得：
$2x^2-5x+3=0$
因式分解得$(2x-3)(x-1)=0$
解得$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=1$
【答案】
$m=2$，方程的根为$x_1=\frac{3}{2},x_2=1$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规题，重点考查根的判别式的应用，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免漏检参数导致多解错误。
【难度系数】
0.7
15 已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - 2mx - 3m^2 + 8m - 4 = 0 $。
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求$ m $的取值范围。
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求$ m $的取值范围。
答案
15. (1) $\because \Delta=(-2m)^2 -4(-3m^2 +8m -4)=4m^2 +12m^2 -32m +16=16(m-1)^2≥0$,
∴ 方程总有两个实数根
(2) 解关于 x 的一元二次方程 $x^2 -2mx -3m^2 +8m -4=0$,得 $x=\frac{2m±\sqrt{16(m-1)^2}}{2}=m±2(m-1).$
∴ $x_1=3m-2,x_2=2-m.$ 由题意,得 $\begin{cases}3m-2＜5,\\2-m＞2\end{cases}$ 或 $\begin{cases}2-m＜5,\\3m-2＞2,\end{cases}$ 解得 $m＜0$ 或 $m＞\frac{4}{3}.$
∴ m 的取值范围是 $m＜0$ 或 $m＞\frac{4}{3}$
∴ 方程总有两个实数根
(2) 解关于 x 的一元二次方程 $x^2 -2mx -3m^2 +8m -4=0$,得 $x=\frac{2m±\sqrt{16(m-1)^2}}{2}=m±2(m-1).$
∴ $x_1=3m-2,x_2=2-m.$ 由题意,得 $\begin{cases}3m-2＜5,\\2-m＞2\end{cases}$ 或 $\begin{cases}2-m＜5,\\3m-2＞2,\end{cases}$ 解得 $m＜0$ 或 $m＞\frac{4}{3}.$
∴ m 的取值范围是 $m＜0$ 或 $m＞\frac{4}{3}$
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，根据根的判别式的性质，只需证明判别式$\Delta ≥ 0$即可，先写出$\Delta$的表达式，再化简判断其正负性。
（2）该方程的判别式为完全平方式，可先通过求根公式求出方程的两个根，由于两个根的大小关系不确定，需分两种情况讨论：一是$3m-2＜5$且$2-m＞2$，二是$2-m＜5$且$3m-2＞2$，分别求解两种情况的不等式组，最后合并解集即可得到$m$的取值范围。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 - 2mx - 3m^2 + 8m - 4 = 0$，
判别式$\Delta=(-2m)^2 -4×1×(-3m^2 +8m -4)$
$=4m^2 +12m^2 -32m +16$
$=16m^2 -32m +16$
$=16(m-1)^2$
∵ 无论$m$取何值，都有$(m-1)^2≥0$，
∴ $16(m-1)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴ 方程总有两个实数根。
（2）解：用求根公式解方程$x^2 -2mx -3m^2 +8m -4=0$，
$x=\frac{2m±\sqrt{16(m-1)^2}}{2}=m±2(m-1)$
∴ 方程的两个根为$x_1=3m-2$，$x_2=2-m$，
由题意分两种情况列不等式组：
① $\begin{cases}3m-2＜5\\2-m＞2\end{cases}$，解得$m＜0$；
② $\begin{cases}2-m＜5\\3m-2＞2\end{cases}$，解得$m＞\frac{4}{3}$；
综上，$m$的取值范围是$m＜0$或$m＞\frac{4}{3}$。
【答案】
（1）证明见解析；
（2）$m＜0$或$m＞\frac{4}{3}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程求根公式，不等式组求解
【点评】
本题第一问属于基础考点，考查根的判别式判定根的数量的应用；第二问需要结合根的范围要求分类讨论，注意不要遗漏分类情况，解题时计算要细心。
【难度系数】
0.7
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，根据根的判别式的性质，只需证明判别式$\Delta ≥ 0$即可，先写出$\Delta$的表达式，再化简判断其正负性。
（2）该方程的判别式为完全平方式，可先通过求根公式求出方程的两个根，由于两个根的大小关系不确定，需分两种情况讨论：一是$3m-2＜5$且$2-m＞2$，二是$2-m＜5$且$3m-2＞2$，分别求解两种情况的不等式组，最后合并解集即可得到$m$的取值范围。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 - 2mx - 3m^2 + 8m - 4 = 0$，
判别式$\Delta=(-2m)^2 -4×1×(-3m^2 +8m -4)$
$=4m^2 +12m^2 -32m +16$
$=16m^2 -32m +16$
$=16(m-1)^2$
∵ 无论$m$取何值，都有$(m-1)^2≥0$，
∴ $16(m-1)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴ 方程总有两个实数根。
（2）解：用求根公式解方程$x^2 -2mx -3m^2 +8m -4=0$，
$x=\frac{2m±\sqrt{16(m-1)^2}}{2}=m±2(m-1)$
∴ 方程的两个根为$x_1=3m-2$，$x_2=2-m$，
由题意分两种情况列不等式组：
① $\begin{cases}3m-2＜5\\2-m＞2\end{cases}$，解得$m＜0$；
② $\begin{cases}2-m＜5\\3m-2＞2\end{cases}$，解得$m＞\frac{4}{3}$；
综上，$m$的取值范围是$m＜0$或$m＞\frac{4}{3}$。
【答案】
（1）证明见解析；
（2）$m＜0$或$m＞\frac{4}{3}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程求根公式，不等式组求解
【点评】
本题第一问属于基础考点，考查根的判别式判定根的数量的应用；第二问需要结合根的范围要求分类讨论，注意不要遗漏分类情况，解题时计算要细心。
【难度系数】
0.7
16 [2025 苏州工业园区段考]定义:若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们就称这两个方程为“同伴方程”.例如:方程$x^2=4$和$(x-2)(x+3)=0$有且只有一个相同的实数根$x=2$,所以这两个方程为“同伴方程”.
（1）根据上述定义,有下列方程:①$(x-1)^2=9$;②$x^2+3x+2=0$;③$(x+4)(x-2)=0$.其中,属于“同伴方程”的有
（2）关于$x$的一元二次方程$x^2-2x=0$与$x^2+3x+m-1=0$为“同伴方程”,求$m$的值.
（3）若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$同时满足$a+b+c=0$和$a-b+c=0$,且与$(x+2)(x-n)=0$互为“同伴方程”,求$n$的值.
（1）根据上述定义,有下列方程:①$(x-1)^2=9$;②$x^2+3x+2=0$;③$(x+4)(x-2)=0$.其中,属于“同伴方程”的有
①②
（填序号）.（2）关于$x$的一元二次方程$x^2-2x=0$与$x^2+3x+m-1=0$为“同伴方程”,求$m$的值.
（3）若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$同时满足$a+b+c=0$和$a-b+c=0$,且与$(x+2)(x-n)=0$互为“同伴方程”,求$n$的值.
答案
16. (1) ①②
(2) 解一元二次方程 $x^2 -2x=0$,得 $x_1=0,x_2=2.$ 当相同的根是 $x=0$ 时,$m-1=0$,解得 $m=1$;当相同的根是 $x=2$ 时,$4+6+m-1=0$,解得 $m=-9.$ 综上所述, m 的值为 1 或 -9
(3)
∵ 关于 x 的一元二次方程 $ax^2 +bx +c=0(a≠0)$ 同时满足 $a+b+c=0$ 和 $a-b+c=0$,
∴ 关于 x 的一元二次方程 $ax^2 +bx +c=0(a≠0)$ 的两个根是 $x_1=1,x_2=-1.$
∵ $(x+2)(x-n)=0$ 的两个根是 $x_3=-2,x_4=n$,且关于 x 的一元二次方程 $ax^2 +bx +c=0(a≠0)$ 与 $(x+2)(x-n)=0$ 互为“同伴方程”,
∴ $n=1$ 或 -1
(2) 解一元二次方程 $x^2 -2x=0$,得 $x_1=0,x_2=2.$ 当相同的根是 $x=0$ 时,$m-1=0$,解得 $m=1$;当相同的根是 $x=2$ 时,$4+6+m-1=0$,解得 $m=-9.$ 综上所述, m 的值为 1 或 -9
(3)
∵ 关于 x 的一元二次方程 $ax^2 +bx +c=0(a≠0)$ 同时满足 $a+b+c=0$ 和 $a-b+c=0$,
∴ 关于 x 的一元二次方程 $ax^2 +bx +c=0(a≠0)$ 的两个根是 $x_1=1,x_2=-1.$
∵ $(x+2)(x-n)=0$ 的两个根是 $x_3=-2,x_4=n$,且关于 x 的一元二次方程 $ax^2 +bx +c=0(a≠0)$ 与 $(x+2)(x-n)=0$ 互为“同伴方程”,
∴ $n=1$ 或 -1
解析
【分析】
（1）要判断是否为“同伴方程”，需先分别求出三个方程的所有实数根，再两两比对，找出仅有一个相同实数根的两个方程即可。
（2）先求解方程$x^2-2x=0$得到两个根，再分两种情况讨论：两方程相同的根为$x=0$，或相同的根为$x=2$，分别将相同根代入第二个方程求解$m$，验证是否符合“仅有一个相同实根”的要求。
（3）根据$a+b+c=0$和$a-b+c=0$可直接得出方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x=1$和$x=-1$，再求出方程$(x+2)(x-n)=0$的根，结合“同伴方程”的定义，即可求出$n$的值。
【解析】
（1）分别求解三个方程的根：
①解方程$(x-1)^2=9$，开方得$x-1=\pm3$，解得$x_1=4$，$x_2=-2$；
②解方程$x^2+3x+2=0$，因式分解得$(x+1)(x+2)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=-2$；
③解方程$(x+4)(x-2)=0$，解得$x_1=-4$，$x_2=2$。
比对可知①和②仅有一个相同的实根$x=-2$，属于“同伴方程”，其余组合无相同实根，故填①②。
（2）解一元二次方程 $x^2 -2x=0$，因式分解得$x(x-2)=0$，解得 $x_1=0,x_2=2$。
分两种情况讨论：
①当相同的根是$x=0$时，将$x=0$代入$x^2+3x+m-1=0$，得$m-1=0$，解得$m=1$，此时第二个方程的根为$x=0$和$x=-3$，符合“同伴方程”定义；
②当相同的根是$x=2$时，将$x=2$代入$x^2+3x+m-1=0$，得$4+6+m-1=0$，解得$m=-9$，此时第二个方程的根为$x=2$和$x=-5$，符合定义。
综上，$m$的值为1或-9。
（3）
∵ 关于x的一元二次方程$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$同时满足$a+b+c=0$和$a-b+c=0$，
∴ 当$x=1$时，方程左边$=a×1^2+b×1+c=a+b+c=0$，即$x=1$是方程的根；当$x=-1$时，方程左边$=a×(-1)^2+b×(-1)+c=a-b+c=0$，即$x=-1$是方程的根，
∴ 方程$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$的两个根为$x_1=1,x_2=-1$。
又
∵ 方程$(x+2)(x-n)=0$的两个根为$x_3=-2,x_4=n$，且两个方程互为“同伴方程”，
已知$-2$与1、-1均不相等，因此只需$n=1$或$n=-1$，即可保证两方程仅有一个相同的实根，符合定义。
故$n$的值为1或-1。
【答案】
(1) ①②；(2) $m$的值为1或-9；(3) $n$的值为1或-1
【知识点】
1. 解一元二次方程 2. 方程根的意义 3. 新定义应用
【点评】
本题结合新定义“同伴方程”考查一元二次方程的相关知识，解题核心是准确求解各方程的根，再结合“有且仅有一个相同实根”的条件分情况讨论，注意验证结果是否符合定义，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）要判断是否为“同伴方程”，需先分别求出三个方程的所有实数根，再两两比对，找出仅有一个相同实数根的两个方程即可。
（2）先求解方程$x^2-2x=0$得到两个根，再分两种情况讨论：两方程相同的根为$x=0$，或相同的根为$x=2$，分别将相同根代入第二个方程求解$m$，验证是否符合“仅有一个相同实根”的要求。
（3）根据$a+b+c=0$和$a-b+c=0$可直接得出方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x=1$和$x=-1$，再求出方程$(x+2)(x-n)=0$的根，结合“同伴方程”的定义，即可求出$n$的值。
【解析】
（1）分别求解三个方程的根：
①解方程$(x-1)^2=9$，开方得$x-1=\pm3$，解得$x_1=4$，$x_2=-2$；
②解方程$x^2+3x+2=0$，因式分解得$(x+1)(x+2)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=-2$；
③解方程$(x+4)(x-2)=0$，解得$x_1=-4$，$x_2=2$。
比对可知①和②仅有一个相同的实根$x=-2$，属于“同伴方程”，其余组合无相同实根，故填①②。
（2）解一元二次方程 $x^2 -2x=0$，因式分解得$x(x-2)=0$，解得 $x_1=0,x_2=2$。
分两种情况讨论：
①当相同的根是$x=0$时，将$x=0$代入$x^2+3x+m-1=0$，得$m-1=0$，解得$m=1$，此时第二个方程的根为$x=0$和$x=-3$，符合“同伴方程”定义；
②当相同的根是$x=2$时，将$x=2$代入$x^2+3x+m-1=0$，得$4+6+m-1=0$，解得$m=-9$，此时第二个方程的根为$x=2$和$x=-5$，符合定义。
综上，$m$的值为1或-9。
（3）
∵ 关于x的一元二次方程$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$同时满足$a+b+c=0$和$a-b+c=0$，
∴ 当$x=1$时，方程左边$=a×1^2+b×1+c=a+b+c=0$，即$x=1$是方程的根；当$x=-1$时，方程左边$=a×(-1)^2+b×(-1)+c=a-b+c=0$，即$x=-1$是方程的根，
∴ 方程$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$的两个根为$x_1=1,x_2=-1$。
又
∵ 方程$(x+2)(x-n)=0$的两个根为$x_3=-2,x_4=n$，且两个方程互为“同伴方程”，
已知$-2$与1、-1均不相等，因此只需$n=1$或$n=-1$，即可保证两方程仅有一个相同的实根，符合定义。
故$n$的值为1或-1。
【答案】
(1) ①②；(2) $m$的值为1或-9；(3) $n$的值为1或-1
【知识点】
1. 解一元二次方程 2. 方程根的意义 3. 新定义应用
【点评】
本题结合新定义“同伴方程”考查一元二次方程的相关知识，解题核心是准确求解各方程的根，再结合“有且仅有一个相同实根”的条件分情况讨论，注意验证结果是否符合定义，避免漏解。
【难度系数】
0.7
