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10关于$x$的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$有两个相等的实数根，则$b^2 - 2(1 + 2c)$的值为
$-2$
。答案
10.$-2$
解析
【分析】
首先，已知一元二次方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个相等的实数根时，判别式Δ=0，由此可得到b与c的数量关系；再将得到的关系代入待求的代数式中，化简计算即可求出结果。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，其中二次项系数$a=1$，
代入得：$b^2 - 4c = 0$，即$b^2 = 4c$。
将$b^2 = 4c$代入$b^2 - 2(1 + 2c)$得：
原式$= 4c - 2×1 - 2×2c = 4c - 2 - 4c = -2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；代数式化简求值
【点评】
本题考查根的判别式的应用，解题的关键是牢记一元二次方程有两个相等实数根时判别式等于0，结合整体代入的思想计算即可，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
首先，已知一元二次方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个相等的实数根时，判别式Δ=0，由此可得到b与c的数量关系；再将得到的关系代入待求的代数式中，化简计算即可求出结果。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，其中二次项系数$a=1$，
代入得：$b^2 - 4c = 0$，即$b^2 = 4c$。
将$b^2 = 4c$代入$b^2 - 2(1 + 2c)$得：
原式$= 4c - 2×1 - 2×2c = 4c - 2 - 4c = -2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；代数式化简求值
【点评】
本题考查根的判别式的应用，解题的关键是牢记一元二次方程有两个相等实数根时判别式等于0，结合整体代入的思想计算即可，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
11 [2024 南充]已知$x_1,x_2(x_1＜x_2)$是关于$x$的方程$x^2 - 2kx + k^2 - k + 1 = 0$的两个不相等的实数根.
（1）求$k$的取值范围；
（2）若$k＜5$，且$k,x_1,x_2$都是整数，求$k$的值.
（1）求$k$的取值范围；
（2）若$k＜5$，且$k,x_1,x_2$都是整数，求$k$的值.
答案
11. (1)
∵ 原方程有两个不相等的实数根，
∴ $\Delta=(-2k)^2 -4×1×(k^2 -k +1)=4k^2 -4k^2 +4k -4=4k -4＞0$，解得$k＞1$，
∴ $k$的取值范围是$k＞1$
(2)
∵ $k＜5$，$k＞1$，
∴ $1＜k＜5$，
∴ 整数$k$的值为2,3,4。当$k=2$时，方程为$x^2 -4x +3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$；当$k=3$或$k=4$时，此时方程的解不为整数，舍去。综上所述，$k$的值为2
∵ 原方程有两个不相等的实数根，
∴ $\Delta=(-2k)^2 -4×1×(k^2 -k +1)=4k^2 -4k^2 +4k -4=4k -4＞0$，解得$k＞1$，
∴ $k$的取值范围是$k＞1$
(2)
∵ $k＜5$，$k＞1$，
∴ $1＜k＜5$，
∴ 整数$k$的值为2,3,4。当$k=2$时，方程为$x^2 -4x +3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$；当$k=3$或$k=4$时，此时方程的解不为整数，舍去。综上所述，$k$的值为2
解析
【分析】
（1）遇到一元二次方程有两个不相等实数根的问题，优先利用根的判别式的性质：当Δ＞0时方程有两个不等实根，代入对应系数列出关于k的不等式，求解即可得到k的取值范围。
（2）先结合第一问的结论和k＜5的条件，缩小整数k的可选范围，再将每个可能的k值代入原方程，验证解是否为整数，符合所有条件的k即为最终结果。
【解析】
（1）
∵ 原方程有两个不相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta＞0$，代入$a=1,b=-2k,c=k^2-k+1$得：
$\Delta=(-2k)^2 -4×1×(k^2 -k +1)=4k^2 -4k^2 +4k -4=4k -4＞0$，
解得$k＞1$，即k的取值范围是$k＞1$。
（2）结合$k＞1$且$k＜5$，可得$1＜k＜5$，
∵k为整数，
∴k的可能取值为2、3、4。
①当k=2时，原方程为$x^2-4x+3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1,x_2=3$，两根均为整数，符合条件；
②当k=3时，原方程为$x^2-6x+7=0$，解得$x=3\pm\sqrt{2}$，根不是整数，舍去；
③当k=4时，原方程为$x^2-8x+13=0$，解得$x=4\pm\sqrt{3}$，根不是整数，舍去。
综上，k的值为2。
【答案】
(1) $k＞1$；(2) $k=2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程求解
3. 整数解判定
【点评】
本题主要考察根的判别式的应用，结合整数性质筛选参数，解题时需注意不仅要满足参数的取值范围，还要验证根是否符合整数要求，避免多解漏验的错误。
【难度系数】
0.7
（1）遇到一元二次方程有两个不相等实数根的问题，优先利用根的判别式的性质：当Δ＞0时方程有两个不等实根，代入对应系数列出关于k的不等式，求解即可得到k的取值范围。
（2）先结合第一问的结论和k＜5的条件，缩小整数k的可选范围，再将每个可能的k值代入原方程，验证解是否为整数，符合所有条件的k即为最终结果。
【解析】
（1）
∵ 原方程有两个不相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta＞0$，代入$a=1,b=-2k,c=k^2-k+1$得：
$\Delta=(-2k)^2 -4×1×(k^2 -k +1)=4k^2 -4k^2 +4k -4=4k -4＞0$，
解得$k＞1$，即k的取值范围是$k＞1$。
（2）结合$k＞1$且$k＜5$，可得$1＜k＜5$，
∵k为整数，
∴k的可能取值为2、3、4。
①当k=2时，原方程为$x^2-4x+3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1,x_2=3$，两根均为整数，符合条件；
②当k=3时，原方程为$x^2-6x+7=0$，解得$x=3\pm\sqrt{2}$，根不是整数，舍去；
③当k=4时，原方程为$x^2-8x+13=0$，解得$x=4\pm\sqrt{3}$，根不是整数，舍去。
综上，k的值为2。
【答案】
(1) $k＞1$；(2) $k=2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程求解
3. 整数解判定
【点评】
本题主要考察根的判别式的应用，结合整数性质筛选参数，解题时需注意不仅要满足参数的取值范围，还要验证根是否符合整数要求，避免多解漏验的错误。
【难度系数】
0.7
12 [2025 苏州工业园区段考]已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(3-k)x+2-k=0$.
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根大于1，求$k$的取值范围.
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根大于1，求$k$的取值范围.
答案
12. (1)
∵ $\Delta=(3-k)^2 -4(2-k)=k^2 -2k +1=(k-1)^2≥0$，
∴ 此方程总有两个实数根
(2)
∵ $x^2+(3-k)x+2-k=0$，即$(x+1)·(x+2-k)=0$，
∴ $x_1=-1$，$x_2=k-2$。
∵ 方程有一个根大于1，
∴ $k-2＞1$，解得$k＞3$。
∴ $k$的取值范围是$k＞3$
∵ $\Delta=(3-k)^2 -4(2-k)=k^2 -2k +1=(k-1)^2≥0$，
∴ 此方程总有两个实数根
(2)
∵ $x^2+(3-k)x+2-k=0$，即$(x+1)·(x+2-k)=0$，
∴ $x_1=-1$，$x_2=k-2$。
∵ 方程有一个根大于1，
∴ $k-2＞1$，解得$k＞3$。
∴ $k$的取值范围是$k＞3$
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，依据一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，只需证明判别式$\Delta ≥ 0$即可。先写出判别式的表达式，展开化简后判断其取值范围即可完成证明。
（2）要求$k$的取值范围，可先通过因式分解法求出方程的两个根，其中一个根为固定值$-1$，显然小于1，因此只需让另一个根大于1，即可满足“恰有一个根大于1”的条件，列出不等式求解即可得到$k$的范围。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2+(3-k)x+2-k=0$，其判别式为：
$\Delta=(3-k)^2 -4×1×(2-k)$
展开化简得：
$\Delta=9-6k+k^2-8+4k=k^2 -2k +1=(k-1)^2$
∵ 平方数具有非负性，即$(k-1)^2≥0$，也就是$\Delta≥0$
∴ 此方程总有两个实数根。
(2) 对原方程左边因式分解可得：
$x^2+(3-k)x+2-k=(x+1)(x+2-k)=0$
解得方程的两个根为：$x_1=-1$，$x_2=k-2$
∵ $x_1=-1＜1$，且方程恰有一个根大于1
∴ 仅需$x_2＞1$，即$k-2＞1$
解得：$k＞3$
【答案】
(1) 此方程总有两个实数根，证明成立；
(2) $k$的取值范围是$k＞3$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 因式分解法解方程
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，第一问核心是计算化简判别式判断其符号，第二问需要先求解方程的根，结合条件建立不等式求参数，解题逻辑清晰，是一元二次方程的常规考查题型，掌握相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，依据一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，只需证明判别式$\Delta ≥ 0$即可。先写出判别式的表达式，展开化简后判断其取值范围即可完成证明。
（2）要求$k$的取值范围，可先通过因式分解法求出方程的两个根，其中一个根为固定值$-1$，显然小于1，因此只需让另一个根大于1，即可满足“恰有一个根大于1”的条件，列出不等式求解即可得到$k$的范围。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2+(3-k)x+2-k=0$，其判别式为：
$\Delta=(3-k)^2 -4×1×(2-k)$
展开化简得：
$\Delta=9-6k+k^2-8+4k=k^2 -2k +1=(k-1)^2$
∵ 平方数具有非负性，即$(k-1)^2≥0$，也就是$\Delta≥0$
∴ 此方程总有两个实数根。
(2) 对原方程左边因式分解可得：
$x^2+(3-k)x+2-k=(x+1)(x+2-k)=0$
解得方程的两个根为：$x_1=-1$，$x_2=k-2$
∵ $x_1=-1＜1$，且方程恰有一个根大于1
∴ 仅需$x_2＞1$，即$k-2＞1$
解得：$k＞3$
【答案】
(1) 此方程总有两个实数根，证明成立；
(2) $k$的取值范围是$k＞3$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 因式分解法解方程
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，第一问核心是计算化简判别式判断其符号，第二问需要先求解方程的根，结合条件建立不等式求参数，解题逻辑清晰，是一元二次方程的常规考查题型，掌握相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
13 数形结合思想 已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0$.
（1）试判断上述方程根的情况.
（2）已知$△ ABC$的两边$AB$，$AC$的长是关于上述方程的两个实数根，$BC$的长为5.
① 当$k$为何值时，$△ ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形？
② 当$k$为何值时，$△ ABC$是等腰三角形？请求出此时$△ ABC$的周长.
（1）试判断上述方程根的情况.
（2）已知$△ ABC$的两边$AB$，$AC$的长是关于上述方程的两个实数根，$BC$的长为5.
① 当$k$为何值时，$△ ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形？
② 当$k$为何值时，$△ ABC$是等腰三角形？请求出此时$△ ABC$的周长.
答案
13. (1)
∵ 在方程$x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0$中，$\Delta=[-(2k+3)]^2 -4(k^2+3k+2)=1＞0$，
∴ 方程有两个不相等的实数根
(2)
∵ $x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0$，即$(x-k-1)(x-k-2)=0$，
∴ $x_1=k+1$，$x_2=k+2$。
∴ 不妨设$AB=k+1$，$AC=k+2$。① 当$△ ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形时，有$AB^2+AC^2=BC^2$，即$(k+1)^2+(k+2)^2=25$，解得$k_1=2$，$k_2=-5$(舍去)。
∴ 当$k=2$时，$△ ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形 ②
∵ $AB=k+1$，$AC=k+2$，$BC=5$，且由(1)，知$AB≠AC$，
∴ 有两种情况。(Ⅰ) 当$AC=BC=5$时，$k+2=5$，
∴ $k=3$。
∴ $AB=3+1=4$。
∵ 4,5,5满足任意两边之和大于第三边，
∴ 此时$△ ABC$的周长为$4+5+5=14$。(Ⅱ) 当$AB=BC=5$时，$k+1=5$，
∴ $k=4$。
∴ $AC=k+2=6$。
∵ 6,5,5满足任意两边之和大于第三边，
∴ 此时$△ ABC$的周长为$6+5+5=16$。综上所述，当$k=3$时，$△ ABC$是等腰三角形，此时$△ ABC$的周长为14；当$k=4$时，$△ ABC$是等腰三角形，此时$△ ABC$的周长为16
∵ 在方程$x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0$中，$\Delta=[-(2k+3)]^2 -4(k^2+3k+2)=1＞0$，
∴ 方程有两个不相等的实数根
(2)
∵ $x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0$，即$(x-k-1)(x-k-2)=0$，
∴ $x_1=k+1$，$x_2=k+2$。
∴ 不妨设$AB=k+1$，$AC=k+2$。① 当$△ ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形时，有$AB^2+AC^2=BC^2$，即$(k+1)^2+(k+2)^2=25$，解得$k_1=2$，$k_2=-5$(舍去)。
∴ 当$k=2$时，$△ ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形 ②
∵ $AB=k+1$，$AC=k+2$，$BC=5$，且由(1)，知$AB≠AC$，
∴ 有两种情况。(Ⅰ) 当$AC=BC=5$时，$k+2=5$，
∴ $k=3$。
∴ $AB=3+1=4$。
∵ 4,5,5满足任意两边之和大于第三边，
∴ 此时$△ ABC$的周长为$4+5+5=14$。(Ⅱ) 当$AB=BC=5$时，$k+1=5$，
∴ $k=4$。
∴ $AC=k+2=6$。
∵ 6,5,5满足任意两边之和大于第三边，
∴ 此时$△ ABC$的周长为$6+5+5=16$。综上所述，当$k=3$时，$△ ABC$是等腰三角形，此时$△ ABC$的周长为14；当$k=4$时，$△ ABC$是等腰三角形，此时$△ ABC$的周长为16
解析
【分析】
（1）判断一元二次方程根的情况，只需计算根的判别式$\Delta$，根据$\Delta$与0的大小关系即可得出结论；
（2）先通过因式分解求出方程的两个根，得到AB、AC的长度表达式；
① 已知BC为斜边，根据勾股定理列方程求解k，注意边长为正数，需舍去不符合实际的解；
② 由（1）可知方程两根不相等，即AB≠AC，因此等腰三角形需分AC=BC、AB=BC两种情况讨论，分别求出k值后，验证三边是否满足三角形三边关系，再计算对应周长。
【解析】
(1) 对于方程$x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0$，根的判别式：
$\Delta=[-(2k+3)]^2 -4×1×(k^2+3k+2)$
$=4k^2+12k+9 -4k^2-12k-8$
$=1＞0$
∴ 方程有两个不相等的实数根。
(2) 先解方程：对$x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0$因式分解，得
$(x-(k+1))(x-(k+2))=0$
解得$x_1=k+1$，$x_2=k+2$
不妨设$AB=k+1$，$AC=k+2$。
① 当$△ ABC$是以BC为斜边的直角三角形时，由勾股定理得：
$AB^2+AC^2=BC^2$，已知$BC=5$，代入得：
$(k+1)^2+(k+2)^2=25$
展开整理得$2k^2+6k-20=0$，即$k^2+3k-10=0$
因式分解得$(k-2)(k+5)=0$，解得$k_1=2$，$k_2=-5$
当$k=-5$时，$AB=-4$，$AC=-3$，边长不能为负，故舍去，得$k=2$。
② 由(1)知方程有两个不等实根，故$AB≠AC$，$△ ABC$为等腰三角形分两种情况：
(Ⅰ) 当$AC=BC=5$时，即$k+2=5$，解得$k=3$
此时$AB=3+1=4$，三边长为4、5、5，满足三角形三边关系，周长为$4+5+5=14$；
(Ⅱ) 当$AB=BC=5$时，即$k+1=5$，解得$k=4$
此时$AC=4+2=6$，三边长为5、5、6，满足三角形三边关系，周长为$5+5+6=16$。
【答案】
(1) 方程有两个不相等的实数根；
(2)① 当$k=2$时，$△ ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形；
② 当$k=3$时，$△ ABC$是等腰三角形，周长为14；当$k=4$时，$△ ABC$是等腰三角形，周长为16。
【知识点】
根的判别式，勾股定理，等腰三角形性质
【点评】
本题是一元二次方程与几何的综合题，解题时需注意数形结合和分类讨论思想的应用，求出参数值后要验证是否符合三角形边长的实际要求，避免出现无效解。
【难度系数】
0.6
（1）判断一元二次方程根的情况，只需计算根的判别式$\Delta$，根据$\Delta$与0的大小关系即可得出结论；
（2）先通过因式分解求出方程的两个根，得到AB、AC的长度表达式；
① 已知BC为斜边，根据勾股定理列方程求解k，注意边长为正数，需舍去不符合实际的解；
② 由（1）可知方程两根不相等，即AB≠AC，因此等腰三角形需分AC=BC、AB=BC两种情况讨论，分别求出k值后，验证三边是否满足三角形三边关系，再计算对应周长。
【解析】
(1) 对于方程$x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0$，根的判别式：
$\Delta=[-(2k+3)]^2 -4×1×(k^2+3k+2)$
$=4k^2+12k+9 -4k^2-12k-8$
$=1＞0$
∴ 方程有两个不相等的实数根。
(2) 先解方程：对$x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0$因式分解，得
$(x-(k+1))(x-(k+2))=0$
解得$x_1=k+1$，$x_2=k+2$
不妨设$AB=k+1$，$AC=k+2$。
① 当$△ ABC$是以BC为斜边的直角三角形时，由勾股定理得：
$AB^2+AC^2=BC^2$，已知$BC=5$，代入得：
$(k+1)^2+(k+2)^2=25$
展开整理得$2k^2+6k-20=0$，即$k^2+3k-10=0$
因式分解得$(k-2)(k+5)=0$，解得$k_1=2$，$k_2=-5$
当$k=-5$时，$AB=-4$，$AC=-3$，边长不能为负，故舍去，得$k=2$。
② 由(1)知方程有两个不等实根，故$AB≠AC$，$△ ABC$为等腰三角形分两种情况：
(Ⅰ) 当$AC=BC=5$时，即$k+2=5$，解得$k=3$
此时$AB=3+1=4$，三边长为4、5、5，满足三角形三边关系，周长为$4+5+5=14$；
(Ⅱ) 当$AB=BC=5$时，即$k+1=5$，解得$k=4$
此时$AC=4+2=6$，三边长为5、5、6，满足三角形三边关系，周长为$5+5+6=16$。
【答案】
(1) 方程有两个不相等的实数根；
(2)① 当$k=2$时，$△ ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形；
② 当$k=3$时，$△ ABC$是等腰三角形，周长为14；当$k=4$时，$△ ABC$是等腰三角形，周长为16。
【知识点】
根的判别式，勾股定理，等腰三角形性质
【点评】
本题是一元二次方程与几何的综合题，解题时需注意数形结合和分类讨论思想的应用，求出参数值后要验证是否符合三角形边长的实际要求，避免出现无效解。
【难度系数】
0.6
