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1 一元二次方程$x^2 -5x +2=0$的根的判别式的值是（
A.33
B.23
C.17
D.$\sqrt{17}$
C
）A.33
B.23
C.17
D.$\sqrt{17}$
答案
1.C
解析
【分析】
要计算一元二次方程根的判别式的值，首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式公式为$\Delta=b^2-4ac$。解题时第一步先从给定方程中准确提取二次项系数$a$、一次项系数$b$和常数项$c$，第二步将三个系数代入判别式公式计算即可，计算时要注意系数的符号，避免运算错误。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$。
对于方程$x^2 -5x +2=0$，可得：$a=1$，$b=-5$，$c=2$，
代入判别式公式计算：
$\Delta=(-5)^2 - 4×1×2=25-8=17$。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 根的判别式公式
【点评】
本题属于基础考点，主要考查一元二次方程根的判别式的计算，解题核心是准确识别方程的各项系数，代入公式时注意运算规则即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
要计算一元二次方程根的判别式的值，首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式公式为$\Delta=b^2-4ac$。解题时第一步先从给定方程中准确提取二次项系数$a$、一次项系数$b$和常数项$c$，第二步将三个系数代入判别式公式计算即可，计算时要注意系数的符号，避免运算错误。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$。
对于方程$x^2 -5x +2=0$，可得：$a=1$，$b=-5$，$c=2$，
代入判别式公式计算：
$\Delta=(-5)^2 - 4×1×2=25-8=17$。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 根的判别式公式
【点评】
本题属于基础考点，主要考查一元二次方程根的判别式的计算，解题核心是准确识别方程的各项系数，代入公式时注意运算规则即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
2 [2025姑苏区二模]下列一元二次方程中，没有实数根的是（
A.$x^2 - x + 1 = 0$
B.$x(x - 1) = 0$
C.$x^2 + 12x = 0$
D.$x^2 + x = 1$
A
）A.$x^2 - x + 1 = 0$
B.$x(x - 1) = 0$
C.$x^2 + 12x = 0$
D.$x^2 + x = 1$
答案
2.A
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否有实数根，核心是利用一元二次方程根的判别式Δ=b²-4ac的取值判断：当Δ＜0时，方程没有实数根。解题时先将每个选项的方程整理为ax²+bx+c=0（a≠0）的一般形式，再分别代入判别式计算，找到Δ＜0的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
选项A：方程$x^2 - x + 1 = 0$中，$a=1,b=-1,c=1$，则$\Delta = (-1)^2 - 4×1×1 = 1-4=-3＜0$，该方程没有实数根；
选项B：方程整理为$x^2 - x = 0$，$a=1,b=-1,c=0$，则$\Delta = (-1)^2 - 4×1×0 = 1＞0$，该方程有两个不相等的实数根；
选项C：方程$x^2 + 12x = 0$中，$a=1,b=12,c=0$，则$\Delta = 12^2 - 4×1×0 = 144＞0$，该方程有两个不相等的实数根；
选项D：方程移项整理为$x^2 + x -1 = 0$，$a=1,b=1,c=-1$，则$\Delta = 1^2 - 4×1×(-1) = 1+4=5＞0$，该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础考点题，核心考查根的判别式的应用，解题时需注意先将方程化为标准一般形式，确定系数时不要弄错符号，就能快速得到结果。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程是否有实数根，核心是利用一元二次方程根的判别式Δ=b²-4ac的取值判断：当Δ＜0时，方程没有实数根。解题时先将每个选项的方程整理为ax²+bx+c=0（a≠0）的一般形式，再分别代入判别式计算，找到Δ＜0的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
选项A：方程$x^2 - x + 1 = 0$中，$a=1,b=-1,c=1$，则$\Delta = (-1)^2 - 4×1×1 = 1-4=-3＜0$，该方程没有实数根；
选项B：方程整理为$x^2 - x = 0$，$a=1,b=-1,c=0$，则$\Delta = (-1)^2 - 4×1×0 = 1＞0$，该方程有两个不相等的实数根；
选项C：方程$x^2 + 12x = 0$中，$a=1,b=12,c=0$，则$\Delta = 12^2 - 4×1×0 = 144＞0$，该方程有两个不相等的实数根；
选项D：方程移项整理为$x^2 + x -1 = 0$，$a=1,b=1,c=-1$，则$\Delta = 1^2 - 4×1×(-1) = 1+4=5＞0$，该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础考点题，核心考查根的判别式的应用，解题时需注意先将方程化为标准一般形式，确定系数时不要弄错符号，就能快速得到结果。
【难度系数】
0.8
3 [2025 扬州]关于一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的根的情况，下列结论正确的是 （
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.只有一个实数根
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.只有一个实数根
答案
3.A
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，需利用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$求解。解题时第一步先从方程中确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值；第二步代入公式计算$\Delta$的结果；第三步根据$\Delta$的正负对应判断根的情况：$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），题中方程为$x^2 - 3x + 1 = 0$，因此可得：
$a=1$，$b=-3$，$c=1$
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5$
因为$\Delta=5＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
根的判别式；判别式与根的对应关系
【点评】
本题是基础题型，核心考查根的判别式的应用，解题关键是准确识别方程各项系数，熟记判别式取值和根的情况的对应规则，计算量小，掌握相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程的根的情况，需利用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$求解。解题时第一步先从方程中确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值；第二步代入公式计算$\Delta$的结果；第三步根据$\Delta$的正负对应判断根的情况：$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），题中方程为$x^2 - 3x + 1 = 0$，因此可得：
$a=1$，$b=-3$，$c=1$
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5$
因为$\Delta=5＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
根的判别式；判别式与根的对应关系
【点评】
本题是基础题型，核心考查根的判别式的应用，解题关键是准确识别方程各项系数，熟记判别式取值和根的情况的对应规则，计算量小，掌握相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.8
4 [2024 绵阳]已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(k - 1)x + k^2 + 2 = 0$有实数根，则$k$的取值范围是（
A.$k ＞ -\dfrac{1}{2}$
B.$k ＜ -\dfrac{1}{2}$
C.$k ≥ -\dfrac{1}{2}$
D.$k ≤ -\dfrac{1}{2}$
D
）A.$k ＞ -\dfrac{1}{2}$
B.$k ＜ -\dfrac{1}{2}$
C.$k ≥ -\dfrac{1}{2}$
D.$k ≤ -\dfrac{1}{2}$
答案
4.D
解析
【分析】
遇到一元二次方程有实数根的问题，优先考虑用根的判别式求解。首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式性质：当$\Delta≥0$时，方程有实数根。接下来先确定题干方程中对应$a、b、c$的取值，代入判别式列出关于$k$的不等式，正确解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
已知方程是关于$x$的一元二次方程，二次项系数$a=1≠0$，且方程有实数根，因此根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$。
在方程$x^2 - 2(k - 1)x + k^2 + 2 = 0$中，$a=1$，$b=-2(k-1)$，$c=k^2+2$，代入判别式得：
$\begin{aligned}\Delta&=[-2(k-1)]^2 - 4×1×(k^2+2)\\&=4(k^2-2k+1)-4k^2-8\\&=4k^2-8k+4-4k^2-8\\&=-8k-4\end{aligned}$
令$\Delta≥0$，即$-8k - 4≥0$，
移项得：$-8k≥4$，
不等式两边同时除以$-8$，不等号方向改变，解得$k≤-\frac{1}{2}$。
因此$k$的取值范围是$k≤-\frac{1}{2}$，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题的易错点是解不等式时，两边同时除以负数忘记改变不等号方向，需格外注意。
【难度系数】
0.7
遇到一元二次方程有实数根的问题，优先考虑用根的判别式求解。首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式性质：当$\Delta≥0$时，方程有实数根。接下来先确定题干方程中对应$a、b、c$的取值，代入判别式列出关于$k$的不等式，正确解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
已知方程是关于$x$的一元二次方程，二次项系数$a=1≠0$，且方程有实数根，因此根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$。
在方程$x^2 - 2(k - 1)x + k^2 + 2 = 0$中，$a=1$，$b=-2(k-1)$，$c=k^2+2$，代入判别式得：
$\begin{aligned}\Delta&=[-2(k-1)]^2 - 4×1×(k^2+2)\\&=4(k^2-2k+1)-4k^2-8\\&=4k^2-8k+4-4k^2-8\\&=-8k-4\end{aligned}$
令$\Delta≥0$，即$-8k - 4≥0$，
移项得：$-8k≥4$，
不等式两边同时除以$-8$，不等号方向改变，解得$k≤-\frac{1}{2}$。
因此$k$的取值范围是$k≤-\frac{1}{2}$，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题的易错点是解不等式时，两边同时除以负数忘记改变不等号方向，需格外注意。
【难度系数】
0.7
5 [2025苏州工业园区二模]已知关于x的一元二次方程$2x^2 - x + a = 0$有两个相等的实数根，则a的值是
$\dfrac{1}{8}$
。答案
5.$\dfrac{1}{8}$
解析
【分析】
本题已知一元二次方程有两个相等的实数根，需结合一元二次方程根的判别式求解。首先回忆根的判别式与根的个数的对应关系：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，当$\Delta=B^2-4AC=0$时，方程有两个相等的实数根。接下来先确定给定方程中对应的A、B、C的值，注意区分方程中的常数项$a$和判别式公式里的二次项系数符号，避免混淆，再代入$\Delta=0$列方程求解即可得到$a$的值。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 - x + a = 0$，其二次项系数$A=2$，一次项系数$B=-1$，常数项$C=a$。
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta=B^2-4AC=0$，
代入系数得：$(-1)^2 - 4×2× a = 0$，
化简得：$1 - 8a = 0$，
移项解得：$a=\frac{1}{8}$。
【答案】
$\dfrac{1}{8}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题核心是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时注意准确识别方程各项的系数，避免符号混淆或系数对应错误即可得分。
【难度系数】
0.8
本题已知一元二次方程有两个相等的实数根，需结合一元二次方程根的判别式求解。首先回忆根的判别式与根的个数的对应关系：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，当$\Delta=B^2-4AC=0$时，方程有两个相等的实数根。接下来先确定给定方程中对应的A、B、C的值，注意区分方程中的常数项$a$和判别式公式里的二次项系数符号，避免混淆，再代入$\Delta=0$列方程求解即可得到$a$的值。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 - x + a = 0$，其二次项系数$A=2$，一次项系数$B=-1$，常数项$C=a$。
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta=B^2-4AC=0$，
代入系数得：$(-1)^2 - 4×2× a = 0$，
化简得：$1 - 8a = 0$，
移项解得：$a=\frac{1}{8}$。
【答案】
$\dfrac{1}{8}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题核心是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时注意准确识别方程各项的系数，避免符号混淆或系数对应错误即可得分。
【难度系数】
0.8
6 [2025上海]如果一元二次方程$2x^2 + x + m = 0$没有实数根，那么$m$的取值范围是
$m＞\dfrac{1}{8}$
。答案
6.$m＞\dfrac{1}{8}$
解析
【分析】
遇到一元二次方程有无实数根的问题，首先想到利用根的判别式求解：①先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＜0$时方程没有实数根；②从题目的方程中找出对应a、b、c的值；③根据无实根的条件列关于m的不等式；④解不等式得到m的取值范围，注意不等式两边除以负数时不等号方向要改变。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
在方程$2x^2+x+m=0$中，$a=2$，$b=1$，$c=m$，
因为该方程没有实数根，所以$\Delta＜0$，
代入得：$1^2 - 4×2× m ＜ 0$，
整理得：$1 - 8m ＜ 0$，
移项得：$-8m ＜ -1$，
不等式两边同时除以$-8$，不等号方向改变，得：$m ＞ \frac{1}{8}$。
【答案】
$m＞\dfrac{1}{8}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，牢记判别式的取值与方程根的个数的对应关系是解题的关键，解不等式时要注意除以负数时不等号方向的变化。
【难度系数】
0.8
遇到一元二次方程有无实数根的问题，首先想到利用根的判别式求解：①先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＜0$时方程没有实数根；②从题目的方程中找出对应a、b、c的值；③根据无实根的条件列关于m的不等式；④解不等式得到m的取值范围，注意不等式两边除以负数时不等号方向要改变。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
在方程$2x^2+x+m=0$中，$a=2$，$b=1$，$c=m$，
因为该方程没有实数根，所以$\Delta＜0$，
代入得：$1^2 - 4×2× m ＜ 0$，
整理得：$1 - 8m ＜ 0$，
移项得：$-8m ＜ -1$，
不等式两边同时除以$-8$，不等号方向改变，得：$m ＞ \frac{1}{8}$。
【答案】
$m＞\dfrac{1}{8}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，牢记判别式的取值与方程根的个数的对应关系是解题的关键，解不等式时要注意除以负数时不等号方向的变化。
【难度系数】
0.8
7 教材变式题 已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(2a+1)x+a^2=0$.
（1）当$a$满足什么条件时，方程有两个相等的实数根？
（2）当$a$满足什么条件时，方程有两个实数根？
（3）当$a$满足什么条件时，方程没有实数根？
（1）当$a$满足什么条件时，方程有两个相等的实数根？
（2）当$a$满足什么条件时，方程有两个实数根？
（3）当$a$满足什么条件时，方程没有实数根？
答案
7. (1)
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ $[-(2a+1)]^2 -4a^2=0$，即$4a+1=0$，解得$a=-\dfrac{1}{4}$
(2)
∵ 方程有两个实数根，
∴ $[-(2a+1)]^2 -4a^2≥0$，即$4a+1≥0$，解得$a≥-\dfrac{1}{4}$
(3)
∵ 方程没有实数根，
∴ $[-(2a+1)]^2 -4a^2＜0$，即$4a+1＜0$，解得$a＜-\dfrac{1}{4}$
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ $[-(2a+1)]^2 -4a^2=0$，即$4a+1=0$，解得$a=-\dfrac{1}{4}$
(2)
∵ 方程有两个实数根，
∴ $[-(2a+1)]^2 -4a^2≥0$，即$4a+1≥0$，解得$a≥-\dfrac{1}{4}$
(3)
∵ 方程没有实数根，
∴ $[-(2a+1)]^2 -4a^2＜0$，即$4a+1＜0$，解得$a＜-\dfrac{1}{4}$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：第一步，先确定给定一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算出$\Delta$的表达式；第二步，根据三个小问中根的不同情况，对应判别式的取值规则（两个相等实根对应$\Delta=0$，两个实根对应$\Delta≥0$，没有实根对应$\Delta＜0$），分别列出关于$a$的等式或不等式；第三步，求解得到$a$的取值或取值范围即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2-(2a+1)x+a^2=0$，其中二次项系数为1，一次项系数为$-(2a+1)$，常数项为$a^2$，
先计算根的判别式：
$\Delta = [-(2a+1)]^2 - 4×1× a^2 = 4a^2+4a+1-4a^2 = 4a+1$
（1）
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ $\Delta=0$，即$4a+1=0$，
解得$a=-\dfrac{1}{4}$
（2）
∵ 方程有两个实数根，
∴ $\Delta≥0$，即$4a+1≥0$，
解得$a≥-\dfrac{1}{4}$
（3）
∵ 方程没有实数根，
∴ $\Delta＜0$，即$4a+1＜0$，
解得$a＜-\dfrac{1}{4}$
【答案】
（1）$a=-\dfrac{1}{4}$；
（2）$a≥-\dfrac{1}{4}$；
（3）$a＜-\dfrac{1}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，核心是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式取值的对应关系，计算判别式时注意符号不要出错，再准确求解等式或不等式就能得到正确结果。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：第一步，先确定给定一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算出$\Delta$的表达式；第二步，根据三个小问中根的不同情况，对应判别式的取值规则（两个相等实根对应$\Delta=0$，两个实根对应$\Delta≥0$，没有实根对应$\Delta＜0$），分别列出关于$a$的等式或不等式；第三步，求解得到$a$的取值或取值范围即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2-(2a+1)x+a^2=0$，其中二次项系数为1，一次项系数为$-(2a+1)$，常数项为$a^2$，
先计算根的判别式：
$\Delta = [-(2a+1)]^2 - 4×1× a^2 = 4a^2+4a+1-4a^2 = 4a+1$
（1）
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ $\Delta=0$，即$4a+1=0$，
解得$a=-\dfrac{1}{4}$
（2）
∵ 方程有两个实数根，
∴ $\Delta≥0$，即$4a+1≥0$，
解得$a≥-\dfrac{1}{4}$
（3）
∵ 方程没有实数根，
∴ $\Delta＜0$，即$4a+1＜0$，
解得$a＜-\dfrac{1}{4}$
【答案】
（1）$a=-\dfrac{1}{4}$；
（2）$a≥-\dfrac{1}{4}$；
（3）$a＜-\dfrac{1}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，核心是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式取值的对应关系，计算判别式时注意符号不要出错，再准确求解等式或不等式就能得到正确结果。
【难度系数】
0.8
8 [2025广州]关于x的方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$根的情况为 （
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.只有一个实数根
C
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.只有一个实数根
答案
8.C
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，需利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断：首先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，代入公式计算$\Delta$，再结合平方的非负性判断$\Delta$与0的大小关系，最后对应根的三种情况得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$中，$a=1$，$b=-1$，$c=k^2+2$，
代入判别式计算得：
$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(k^2+2)$
$=1 - 4k^2 - 8$
$=-4k^2 -7$
$=-(4k^2+7)$
∵任意实数的平方都是非负数，即$k^2≥0$，
∴$4k^2+7≥7＞0$，
∴$\Delta = -(4k^2+7) ＜ 0$，
∴该方程没有实数根。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.平方的非负性
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的核心是准确计算判别式，结合平方的非负性判断判别式的符号，熟练掌握判别式与根的情况的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程的根的情况，需利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断：首先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，代入公式计算$\Delta$，再结合平方的非负性判断$\Delta$与0的大小关系，最后对应根的三种情况得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$中，$a=1$，$b=-1$，$c=k^2+2$，
代入判别式计算得：
$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(k^2+2)$
$=1 - 4k^2 - 8$
$=-4k^2 -7$
$=-(4k^2+7)$
∵任意实数的平方都是非负数，即$k^2≥0$，
∴$4k^2+7≥7＞0$，
∴$\Delta = -(4k^2+7) ＜ 0$，
∴该方程没有实数根。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.平方的非负性
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的核心是准确计算判别式，结合平方的非负性判断判别式的符号，熟练掌握判别式与根的情况的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9（易错题）[2025雅安]若关于x的一元二次方程$(m-3)x^2+6x+3=0$有两个实数根，则m的取值范围是（
A.$m＜6$
B.$m≤6$且$m≠3$
C.$m≤6$
D.$m＜6$且$m≠3$
B
）A.$m＜6$
B.$m≤6$且$m≠3$
C.$m≤6$
D.$m＜6$且$m≠3$
答案
9.B
解答本题时容易忽视一元二次方程的“二次项系数不为0”这一特征而错选C选项；另外解答本题时还容易忽视“有两个相等的实数根”也满足题意而错选D选项。
解答本题时容易忽视一元二次方程的“二次项系数不为0”这一特征而错选C选项；另外解答本题时还容易忽视“有两个相等的实数根”也满足题意而错选D选项。
解析
【分析】
要解决这道题，需要抓住两个核心限制条件推导m的取值范围：①题目明确是一元二次方程，因此必须满足二次项系数不为0，否则方程就不是一元二次方程；②方程有两个实数根，根据根的判别式的性质，此时判别式Δ≥0（包含两个相等实数根、两个不等实数根两种情况）。分别根据两个条件求出m的范围后，取公共部分就是最终答案。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-3)x^2+6x+3=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m-3≠0$，解得$m≠3$
又
∵ 方程有两个实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，其中$a=m-3$，$b=6$，$c=3$
代入得：$\Delta = 6^2 - 4×(m-3)×3 ≥ 0$
计算化简：
$36 -12(m-3) ≥ 0$
$36 -12m +36 ≥ 0$
$72 -12m ≥ 0$
解得$m≤6$
综合两个条件，m的取值范围是$m≤6$且$m≠3$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题是易错题，解题时容易遗漏两个关键限制条件：一是忽略一元二次方程二次项系数不能为0的要求，二是误将“有两个实数根”理解为仅指两个不等的实数根，错把判别式条件当成Δ＞0，进而错选C或D选项，解题时要先审清题目给出的前提条件。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需要抓住两个核心限制条件推导m的取值范围：①题目明确是一元二次方程，因此必须满足二次项系数不为0，否则方程就不是一元二次方程；②方程有两个实数根，根据根的判别式的性质，此时判别式Δ≥0（包含两个相等实数根、两个不等实数根两种情况）。分别根据两个条件求出m的范围后，取公共部分就是最终答案。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-3)x^2+6x+3=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m-3≠0$，解得$m≠3$
又
∵ 方程有两个实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，其中$a=m-3$，$b=6$，$c=3$
代入得：$\Delta = 6^2 - 4×(m-3)×3 ≥ 0$
计算化简：
$36 -12(m-3) ≥ 0$
$36 -12m +36 ≥ 0$
$72 -12m ≥ 0$
解得$m≤6$
综合两个条件，m的取值范围是$m≤6$且$m≠3$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题是易错题，解题时容易遗漏两个关键限制条件：一是忽略一元二次方程二次项系数不能为0的要求，二是误将“有两个实数根”理解为仅指两个不等的实数根，错把判别式条件当成Δ＞0，进而错选C或D选项，解题时要先审清题目给出的前提条件。
【难度系数】
0.6
