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8 利用某型号的计算器计算$\sqrt{5}$，显示结果为2.236 067 977.借助显示结果，可以将方程$x^2 + x -1=0$的正数解近似表示为
$0.618$
（结果精确到0.001）。答案
8. 0.618
解析
【分析】
要解决本题，需按照以下思路推导：首先用公式法求出一元二次方程$x^2+x-1=0$的根，再筛选出正数解，接着代入题目给出的$\sqrt{5}$的近似值计算，最后按精确到0.001的要求取近似值即可。核心是先明确公式法求一元二次方程根的步骤，再结合取值要求筛选根、计算近似值。
【解析】
对于方程$x^2 + x -1=0$，确定各项系数：$a=1$，$b=1$，$c=-1$。
第一步计算判别式：
$\Delta = b^2-4ac = 1^2 - 4×1×(-1) = 5$
第二步代入求根公式得方程的根：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
第三步筛选正数解：
其中$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$为负数，不符合要求，舍去；保留正数解$x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$。
第四步代入近似值计算：
将$\sqrt{5}\approx2.236067977$代入得：
$x=\frac{-1+2.236067977}{2}\approx0.61803$，精确到0.001为0.618。
【答案】
0.618
【知识点】
1. 一元二次方程公式法 2. 近似数精确度
【点评】
本题主要考查一元二次方程求根公式的应用，解题时需注意根据题意筛选符合要求的正根，代入近似值后按精度要求对结果取舍，细心计算即可完成。
【难度系数】
0.8
要解决本题，需按照以下思路推导：首先用公式法求出一元二次方程$x^2+x-1=0$的根，再筛选出正数解，接着代入题目给出的$\sqrt{5}$的近似值计算，最后按精确到0.001的要求取近似值即可。核心是先明确公式法求一元二次方程根的步骤，再结合取值要求筛选根、计算近似值。
【解析】
对于方程$x^2 + x -1=0$，确定各项系数：$a=1$，$b=1$，$c=-1$。
第一步计算判别式：
$\Delta = b^2-4ac = 1^2 - 4×1×(-1) = 5$
第二步代入求根公式得方程的根：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
第三步筛选正数解：
其中$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$为负数，不符合要求，舍去；保留正数解$x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$。
第四步代入近似值计算：
将$\sqrt{5}\approx2.236067977$代入得：
$x=\frac{-1+2.236067977}{2}\approx0.61803$，精确到0.001为0.618。
【答案】
0.618
【知识点】
1. 一元二次方程公式法 2. 近似数精确度
【点评】
本题主要考查一元二次方程求根公式的应用，解题时需注意根据题意筛选符合要求的正根，代入近似值后按精度要求对结果取舍，细心计算即可完成。
【难度系数】
0.8
9 若一元二次方程$3x^2 + (m - 1)x - 4 = 0$中的$b^2 - 4ac = 73$，则m的值为
$6或-4$
。答案
9. 6或-4
【解析】由题意,得$(m-1)^2-4×3×(-4)=73$,
$\therefore (m-1)^2=25,\therefore m-1=\pm5$,解得$m_1=6,m_2=-4$。
【解析】由题意,得$(m-1)^2-4×3×(-4)=73$,
$\therefore (m-1)^2=25,\therefore m-1=\pm5$,解得$m_1=6,m_2=-4$。
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，先从给定方程中对应找出$a、b、c$的值，再结合题目给出的$b^2-4ac=73$的条件，代入系数得到关于$m$的方程，最后解这个方程即可求出$m$的值，注意开平方时要考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
由题意得，一元二次方程$3x^2 + (m - 1)x - 4 = 0$中，$a=3$，$b=m-1$，$c=-4$。
将系数代入$b^2-4ac=73$可得：
$(m-1)^2 - 4×3×(-4) = 73$
整理得$(m-1)^2 = 25$
开平方得$m-1 = ±5$
当$m-1=5$时，解得$m=6$；当$m-1=-5$时，解得$m=-4$。
【答案】
6或-4
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查根的判别式的应用，解题的核心是准确对应一元二次方程中各项的系数，求解时注意开平方运算的结果有正负两种，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，先从给定方程中对应找出$a、b、c$的值，再结合题目给出的$b^2-4ac=73$的条件，代入系数得到关于$m$的方程，最后解这个方程即可求出$m$的值，注意开平方时要考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
由题意得，一元二次方程$3x^2 + (m - 1)x - 4 = 0$中，$a=3$，$b=m-1$，$c=-4$。
将系数代入$b^2-4ac=73$可得：
$(m-1)^2 - 4×3×(-4) = 73$
整理得$(m-1)^2 = 25$
开平方得$m-1 = ±5$
当$m-1=5$时，解得$m=6$；当$m-1=-5$时，解得$m=-4$。
【答案】
6或-4
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查根的判别式的应用，解题的核心是准确对应一元二次方程中各项的系数，求解时注意开平方运算的结果有正负两种，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.8
10 点M在数轴的负半轴上，点N在该数轴的正半轴上，且点M，N对应的数分别为2x-2，$x^2+x$。当线段MN的长为5时，x的值为
$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$
。答案
10. $\frac{1-\sqrt{13}}{2}$
【解析】根据题意,得$(x^2+x)-(2x-2)=5$,整理,得$x^2-x-3=0$。$\because a=1,b=-1,c=-3,\therefore b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-3)=13$。$\because 13＞0,\therefore x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{13}}{2×1}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$。$\because$ 点M在数轴的负半轴上,$\therefore 2x-2＜0$,即$x＜1$,$\therefore x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$,此时$x^2+x＞0$,符合题意。
【解析】根据题意,得$(x^2+x)-(2x-2)=5$,整理,得$x^2-x-3=0$。$\because a=1,b=-1,c=-3,\therefore b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-3)=13$。$\because 13＞0,\therefore x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{13}}{2×1}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$。$\because$ 点M在数轴的负半轴上,$\therefore 2x-2＜0$,即$x＜1$,$\therefore x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$,此时$x^2+x＞0$,符合题意。
解析
【分析】
解题时可按三步思考：第一步，根据数轴上点的位置判断数的大小，N在正半轴、M在负半轴，因此N对应的数大于M对应的数，线段MN的长度等于N对应的数减去M对应的数，据此列方程；第二步，将方程整理为一元二次方程的一般形式，用公式法求解得到两个根；第三步，结合“M在负半轴、N在正半轴”的限制条件，对两个根进行验证，舍去不符合要求的根，即可得到正确结果。
【解析】
∵点M在数轴负半轴，点N在正半轴，
∴点N对应的数大于点M对应的数，
由线段MN长为5可得：
$(x^2+x)-(2x-2)=5$
整理得：$x^2 - x - 3 = 0$
其中$a=1$，$b=-1$，$c=-3$，
判别式$\Delta = b^2-4ac = (-1)^2 - 4×1×(-3) = 13 ＞ 0$
由求根公式得：$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$
∵点M在负半轴，
∴$2x-2＜0$，即$x＜1$，
其中$\frac{1+\sqrt{13}}{2}＞1$，不符合条件，舍去；
$\frac{1-\sqrt{13}}{2}＜1$，代入验证得$x^2+x＞0$，符合点N在正半轴的要求。
【答案】
$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
数轴两点距离计算；公式法解一元二次方程；根的合理性检验
【点评】
本题结合数轴性质和一元二次方程求解考查，易错点是解出方程的根后容易忽略题中点的位置限制，未舍去不符合条件的根，解题时需注意结合附加条件对根进行验证。
【难度系数】
0.6
解题时可按三步思考：第一步，根据数轴上点的位置判断数的大小，N在正半轴、M在负半轴，因此N对应的数大于M对应的数，线段MN的长度等于N对应的数减去M对应的数，据此列方程；第二步，将方程整理为一元二次方程的一般形式，用公式法求解得到两个根；第三步，结合“M在负半轴、N在正半轴”的限制条件，对两个根进行验证，舍去不符合要求的根，即可得到正确结果。
【解析】
∵点M在数轴负半轴，点N在正半轴，
∴点N对应的数大于点M对应的数，
由线段MN长为5可得：
$(x^2+x)-(2x-2)=5$
整理得：$x^2 - x - 3 = 0$
其中$a=1$，$b=-1$，$c=-3$，
判别式$\Delta = b^2-4ac = (-1)^2 - 4×1×(-3) = 13 ＞ 0$
由求根公式得：$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$
∵点M在负半轴，
∴$2x-2＜0$，即$x＜1$，
其中$\frac{1+\sqrt{13}}{2}＞1$，不符合条件，舍去；
$\frac{1-\sqrt{13}}{2}＜1$，代入验证得$x^2+x＞0$，符合点N在正半轴的要求。
【答案】
$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
数轴两点距离计算；公式法解一元二次方程；根的合理性检验
【点评】
本题结合数轴性质和一元二次方程求解考查，易错点是解出方程的根后容易忽略题中点的位置限制，未舍去不符合条件的根，解题时需注意结合附加条件对根进行验证。
【难度系数】
0.6
11 用公式法解下列方程：
(1) $y^2 + 2\sqrt{2}y = 6$；
(2) $(2x + 1)(x - 1) = 8(9 - x) - 1$；
(3) $(x + 1)^2 - 2(x - 1)^2 = 7$；
(4) $1 - t^2 = 2t(2t - 1)$。
(1) $y^2 + 2\sqrt{2}y = 6$；
(2) $(2x + 1)(x - 1) = 8(9 - x) - 1$；
(3) $(x + 1)^2 - 2(x - 1)^2 = 7$；
(4) $1 - t^2 = 2t(2t - 1)$。
答案
11. (1) $y_1=\sqrt{2},y_2=-3\sqrt{2}$
(2) $x_1=-8,x_2=\frac{9}{2}$
(3) $x_1=4,x_2=2$
(4) $t_1=\frac{1+\sqrt{6}}{5},t_2=\frac{1-\sqrt{6}}{5}$
(2) $x_1=-8,x_2=\frac{9}{2}$
(3) $x_1=4,x_2=2$
(4) $t_1=\frac{1+\sqrt{6}}{5},t_2=\frac{1-\sqrt{6}}{5}$
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定系数$a$、$b$、$c$的值，注意符号不要出错；②计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程是否有实数根：若$\Delta≥0$，方程有两个实数根，若$\Delta＜0$，方程无实数根；③若$\Delta≥0$，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$，计算得到方程的根，结果要化为最简形式。接下来按照该步骤逐个求解4个方程即可。
【解析】
(1) 移项化为一般形式：$y^2 + 2\sqrt{2}y - 6 = 0$
其中$a=1$，$b=2\sqrt{2}$，$c=-6$
计算判别式：$\Delta = (2\sqrt{2})^2 - 4×1×(-6) = 8 + 24 = 32 ＞ 0$
代入求根公式：$y = \frac{-2\sqrt{2} ± \sqrt{32}}{2×1} = \frac{-2\sqrt{2} ± 4\sqrt{2}}{2}$
解得$y_1 = \frac{-2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$，$y_2 = \frac{-2\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}{2} = -3\sqrt{2}$
(2) 展开化简整理为一般形式：
左边：$(2x+1)(x-1)=2x^2 -x -1$，右边：$8(9-x)-1=71-8x$
移项合并同类项得：$2x^2 +7x -72=0$
其中$a=2$，$b=7$，$c=-72$
计算判别式：$\Delta = 7^2 - 4×2×(-72) = 49 + 576 = 625 ＞ 0$
代入求根公式：$x = \frac{-7 ± \sqrt{625}}{2×2} = \frac{-7 ± 25}{4}$
解得$x_1 = \frac{-7 + 25}{4} = \frac{9}{2}$，$x_2 = \frac{-7 - 25}{4} = -8$
(3) 展开化简整理为一般形式：
左边展开得：$-x^2 +6x -1$，移项整理得：$x^2 -6x +8=0$
其中$a=1$，$b=-6$，$c=8$
计算判别式：$\Delta = (-6)^2 - 4×1×8 = 36 - 32 = 4 ＞ 0$
代入求根公式：$x = \frac{6 ± \sqrt{4}}{2×1} = \frac{6 ± 2}{2}$
解得$x_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4$，$x_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2$
(4) 整理为一般形式：
移项合并同类项得：$5t^2 -2t -1=0$
其中$a=5$，$b=-2$，$c=-1$
计算判别式：$\Delta = (-2)^2 - 4×5×(-1) = 4 + 20 = 24 ＞ 0$
代入求根公式：$t = \frac{2 ± \sqrt{24}}{2×5} = \frac{2 ± 2\sqrt{6}}{10} = \frac{1 ± \sqrt{6}}{5}$
解得$t_1 = \frac{1+\sqrt{6}}{5}$，$t_2 = \frac{1-\sqrt{6}}{5}$
【答案】
(1) $y_1=\sqrt{2},y_2=-3\sqrt{2}$
(2) $x_1=-8,x_2=\frac{9}{2}$
(3) $x_1=4,x_2=2$
(4) $t_1=\frac{1+\sqrt{6}}{5},t_2=\frac{1-\sqrt{6}}{5}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程一般形式，根的判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，解题核心是先正确将方程化为一般形式，准确确定各项系数，计算判别式和求根时要注意符号，最后将结果化为最简形式，能有效巩固一元二次方程求根公式的应用能力。
【难度系数】
0.75
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定系数$a$、$b$、$c$的值，注意符号不要出错；②计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程是否有实数根：若$\Delta≥0$，方程有两个实数根，若$\Delta＜0$，方程无实数根；③若$\Delta≥0$，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$，计算得到方程的根，结果要化为最简形式。接下来按照该步骤逐个求解4个方程即可。
【解析】
(1) 移项化为一般形式：$y^2 + 2\sqrt{2}y - 6 = 0$
其中$a=1$，$b=2\sqrt{2}$，$c=-6$
计算判别式：$\Delta = (2\sqrt{2})^2 - 4×1×(-6) = 8 + 24 = 32 ＞ 0$
代入求根公式：$y = \frac{-2\sqrt{2} ± \sqrt{32}}{2×1} = \frac{-2\sqrt{2} ± 4\sqrt{2}}{2}$
解得$y_1 = \frac{-2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$，$y_2 = \frac{-2\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}{2} = -3\sqrt{2}$
(2) 展开化简整理为一般形式：
左边：$(2x+1)(x-1)=2x^2 -x -1$，右边：$8(9-x)-1=71-8x$
移项合并同类项得：$2x^2 +7x -72=0$
其中$a=2$，$b=7$，$c=-72$
计算判别式：$\Delta = 7^2 - 4×2×(-72) = 49 + 576 = 625 ＞ 0$
代入求根公式：$x = \frac{-7 ± \sqrt{625}}{2×2} = \frac{-7 ± 25}{4}$
解得$x_1 = \frac{-7 + 25}{4} = \frac{9}{2}$，$x_2 = \frac{-7 - 25}{4} = -8$
(3) 展开化简整理为一般形式：
左边展开得：$-x^2 +6x -1$，移项整理得：$x^2 -6x +8=0$
其中$a=1$，$b=-6$，$c=8$
计算判别式：$\Delta = (-6)^2 - 4×1×8 = 36 - 32 = 4 ＞ 0$
代入求根公式：$x = \frac{6 ± \sqrt{4}}{2×1} = \frac{6 ± 2}{2}$
解得$x_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4$，$x_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2$
(4) 整理为一般形式：
移项合并同类项得：$5t^2 -2t -1=0$
其中$a=5$，$b=-2$，$c=-1$
计算判别式：$\Delta = (-2)^2 - 4×5×(-1) = 4 + 20 = 24 ＞ 0$
代入求根公式：$t = \frac{2 ± \sqrt{24}}{2×5} = \frac{2 ± 2\sqrt{6}}{10} = \frac{1 ± \sqrt{6}}{5}$
解得$t_1 = \frac{1+\sqrt{6}}{5}$，$t_2 = \frac{1-\sqrt{6}}{5}$
【答案】
(1) $y_1=\sqrt{2},y_2=-3\sqrt{2}$
(2) $x_1=-8,x_2=\frac{9}{2}$
(3) $x_1=4,x_2=2$
(4) $t_1=\frac{1+\sqrt{6}}{5},t_2=\frac{1-\sqrt{6}}{5}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程一般形式，根的判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，解题核心是先正确将方程化为一般形式，准确确定各项系数，计算判别式和求根时要注意符号，最后将结果化为最简形式，能有效巩固一元二次方程求根公式的应用能力。
【难度系数】
0.75
12 分类讨论思想 已知一元二次方程$x^2 -11x +30=0$的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，求△ABC的面积。
答案
12. 解$x^2-11x+30=0$,得$x_1=5,x_2=6$。当等腰三角形ABC的底边长为5、腰长为6时,易得$△ ABC$的面积为$\frac{5\sqrt{119}}{4}$;当等腰三角形ABC的底边长为6、腰长为5时,易得$△ ABC$的面积为12。综上所述,$△ ABC$的面积为$\frac{5\sqrt{119}}{4}$或12
解析
【分析】
解题时首先求解给定的一元二次方程，得到两个根；因为等腰三角形的底边长和腰长未明确对应哪一个根，所以需要分两种情况讨论：①底边长为5，腰长为6；②底边长为6，腰长为5。每种情况先根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，若能构成，再利用等腰三角形三线合一的性质和勾股定理求出底边上的高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
第一步：解一元二次方程$x^2 -11x +30=0$
因式分解得$(x-5)(x-6)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=6$。
第二步：分类讨论等腰三角形的边长情况
情况1：等腰△ABC的底边长为5，腰长为6
验证三边关系：$5+6＞6$，$6+6＞5$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
过顶点作底边上的高，根据等腰三角形三线合一，底边被高分为长度相等的两段，每段长为$\frac{5}{2}$。
由勾股定理可得高$h_1=\sqrt{6^2 - (\frac{5}{2})^2}=\sqrt{36-\frac{25}{4}}=\sqrt{\frac{119}{4}}=\frac{\sqrt{119}}{2}$。
此时三角形面积$S_1=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×5×\frac{\sqrt{119}}{2}=\frac{5\sqrt{119}}{4}$。
情况2：等腰△ABC的底边长为6，腰长为5
验证三边关系：$5+5＞6$，$5+6＞5$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
过顶点作底边上的高，底边被分为两段，每段长为$\frac{6}{2}=3$。
由勾股定理可得高$h_2=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。
此时三角形面积$S_2=\frac{1}{2}×6×4=12$。
【答案】
$\frac{5\sqrt{119}}{4}$或12
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题将一元二次方程求解与几何图形性质结合考查，解题的关键是明确分类讨论的思路，针对底和腰的不同取值分别计算，同时要注意验证三角形三边是否符合构成条件，避免漏解或出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先求解给定的一元二次方程，得到两个根；因为等腰三角形的底边长和腰长未明确对应哪一个根，所以需要分两种情况讨论：①底边长为5，腰长为6；②底边长为6，腰长为5。每种情况先根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，若能构成，再利用等腰三角形三线合一的性质和勾股定理求出底边上的高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
第一步：解一元二次方程$x^2 -11x +30=0$
因式分解得$(x-5)(x-6)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=6$。
第二步：分类讨论等腰三角形的边长情况
情况1：等腰△ABC的底边长为5，腰长为6
验证三边关系：$5+6＞6$，$6+6＞5$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
过顶点作底边上的高，根据等腰三角形三线合一，底边被高分为长度相等的两段，每段长为$\frac{5}{2}$。
由勾股定理可得高$h_1=\sqrt{6^2 - (\frac{5}{2})^2}=\sqrt{36-\frac{25}{4}}=\sqrt{\frac{119}{4}}=\frac{\sqrt{119}}{2}$。
此时三角形面积$S_1=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×5×\frac{\sqrt{119}}{2}=\frac{5\sqrt{119}}{4}$。
情况2：等腰△ABC的底边长为6，腰长为5
验证三边关系：$5+5＞6$，$5+6＞5$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
过顶点作底边上的高，底边被分为两段，每段长为$\frac{6}{2}=3$。
由勾股定理可得高$h_2=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。
此时三角形面积$S_2=\frac{1}{2}×6×4=12$。
【答案】
$\frac{5\sqrt{119}}{4}$或12
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题将一元二次方程求解与几何图形性质结合考查，解题的关键是明确分类讨论的思路，针对底和腰的不同取值分别计算，同时要注意验证三角形三边是否符合构成条件，避免漏解或出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
13 [2025相城区段考]定义新运算“⊕”:对于实数m,n,p,q,有[m,p]⊕[q,n]=mn+pq,其中等式的右边是通常的加法和乘法运算.例如:[2,3]⊕[4,5]=2×5+3×4=22.求关于x的方程[x²,x−1]⊕[3,1]=0的根.
答案
13. $\because [x^2,x-1]\oplus[3,1]=0,\therefore x^2+3(x-1)=0$,即$x^2+3x-3=0$,解得$x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{2}$
解析
【分析】
解题时首先要明确新运算“⊕”的规则：[m,p]⊕[q,n]的运算结果为第一个数组的第一个数乘第二个数组的第二个数，加上第一个数组的第二个数乘第二个数组的第一个数。先按照这个规则把方程左边的新运算展开，转化为常规的一元二次方程，再用公式法求解该一元二次方程即可得到方程的根。
【解析】
根据新运算“⊕”的定义，可得：
$[x^2,x-1]\oplus[3,1]=x^2×1 + (x-1)×3$
已知运算结果为0，因此列方程：
$x^2 + 3(x-1) = 0$
整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 + 3x - 3 = 0$
其中$a=1$，$b=3$，$c=-3$，计算判别式：
$\Delta = b^2-4ac = 3^2 - 4×1×(-3) = 21＞0$
因此方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{2}$
【答案】
$x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{2}$
【知识点】
新定义运算；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是新定义类基础题型，核心是准确理解新运算的规则，将陌生运算转化为常规代数运算，再按照一元二次方程的求解步骤计算即可，解题时要注意判别式计算的准确性，避免符号出错。
【难度系数】
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解题时首先要明确新运算“⊕”的规则：[m,p]⊕[q,n]的运算结果为第一个数组的第一个数乘第二个数组的第二个数，加上第一个数组的第二个数乘第二个数组的第一个数。先按照这个规则把方程左边的新运算展开，转化为常规的一元二次方程，再用公式法求解该一元二次方程即可得到方程的根。
【解析】
根据新运算“⊕”的定义，可得：
$[x^2,x-1]\oplus[3,1]=x^2×1 + (x-1)×3$
已知运算结果为0，因此列方程：
$x^2 + 3(x-1) = 0$
整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 + 3x - 3 = 0$
其中$a=1$，$b=3$，$c=-3$，计算判别式：
$\Delta = b^2-4ac = 3^2 - 4×1×(-3) = 21＞0$
因此方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{2}$
【答案】
$x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{2}$
【知识点】
新定义运算；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是新定义类基础题型，核心是准确理解新运算的规则，将陌生运算转化为常规代数运算，再按照一元二次方程的求解步骤计算即可，解题时要注意判别式计算的准确性，避免符号出错。
【难度系数】
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