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1. 如图所示，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$H$ 为边 $AD$ 的中点. 若菱形 $ABCD$ 的周长为 $20$，则 $OH$ 的长为（ ）
A. $\frac{5}{2}$
B. $4$
C. $5$
D. $10$
A. $\frac{5}{2}$
B. $4$
C. $5$
D. $10$
答案
A
2. 如图所示，四边形 $ABCD$ 是菱形，$\angle BCD = 60^{\circ}$，$BD = 8$，则菱形 $ABCD$ 的面积是（ ）
A. $128\sqrt{3}$
B. $64\sqrt{3}$
C. $32\sqrt{3}$
D. $64$
A. $128\sqrt{3}$
B. $64\sqrt{3}$
C. $32\sqrt{3}$
D. $64$
答案
C
3. 在下列条件中选取一个作为补充条件，能使 $\square ABCD$ 成为菱形的是（ ）
A. $AC = BD$
B. $AB = DC$
C. $AC\perp BD$
D. $AD// BC$
A. $AC = BD$
B. $AB = DC$
C. $AC\perp BD$
D. $AD// BC$
答案
C
4. 如图所示，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形 $ABCD$. 若 $AB = 2$，$\angle B = 60^{\circ}$，则 $A$，$C$ 两点间的距离为______.
答案
$2$
5. 若边长为 $5$ 的菱形的一条对角线长是 $6$，则该菱形的面积是______.
答案
$24$
6. 如图所示，在四边形 $ABCD$ 中，$AD = BC$，$AB = CD$，$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$. 添加一个条件____________________，使得四边形 $ABCD$ 是菱形.
答案
$AB = BC$（或$BC = CD$或$CD = DA$或$DA = AB$或$AC\perp BD$）
7. 如图所示，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B = 30^{\circ}$，$AD$ 是 $BC$ 边上的中线，且 $AD = \frac{1}{2}BC$，$AE\perp BC$ 于点 $E$.
(1) 求 $\angle CAE$ 的大小；
(2) 若 $CE = 2$，求 $BE$ 的长.
(1) 求 $\angle CAE$ 的大小；
(2) 若 $CE = 2$，求 $BE$ 的长.
答案
【解析】：
### $(1)$ 求$\angle CAE$的大小
- 因为$AD$是$BC$边上的中线，所以$BD = DC=\frac{1}{2}BC$。
- 又因为$AD=\frac{1}{2}BC$，所以$AD = BD = DC$。
- 已知$\angle B = 30^{\circ}$，由于$AD = BD$，根据等边对等角，可得$\angle BAD=\angle B = 30^{\circ}$。
- 根据三角形外角性质，$\angle ADC=\angle B+\angle BAD$，所以$\angle ADC = 30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}$。
- 因为$AD = DC$，所以$\triangle ADC$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），则$\angle C = 60^{\circ}$。
- 因为$AE\perp BC$，在$Rt\triangle AEC$中，$\angle AEC = 90^{\circ}$，根据直角三角形两锐角互余，可得$\angle CAE=90^{\circ}-\angle C$，所以$\angle CAE = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
### $(2)$ 求$BE$的长
- 因为$\triangle ADC$是等边三角形，$AE\perp DC$，根据等边三角形三线合一的性质，$DE = CE$。
- 已知$CE = 2$，所以$DC=2CE = 4$，则$BD = DC = 4$。
- 所以$BE=BD + DE=4 + 2=6$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{30^{\circ}}$；$(2)$$\boldsymbol{6}$
### $(1)$ 求$\angle CAE$的大小
- 因为$AD$是$BC$边上的中线，所以$BD = DC=\frac{1}{2}BC$。
- 又因为$AD=\frac{1}{2}BC$，所以$AD = BD = DC$。
- 已知$\angle B = 30^{\circ}$，由于$AD = BD$，根据等边对等角，可得$\angle BAD=\angle B = 30^{\circ}$。
- 根据三角形外角性质，$\angle ADC=\angle B+\angle BAD$，所以$\angle ADC = 30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}$。
- 因为$AD = DC$，所以$\triangle ADC$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），则$\angle C = 60^{\circ}$。
- 因为$AE\perp BC$，在$Rt\triangle AEC$中，$\angle AEC = 90^{\circ}$，根据直角三角形两锐角互余，可得$\angle CAE=90^{\circ}-\angle C$，所以$\angle CAE = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
### $(2)$ 求$BE$的长
- 因为$\triangle ADC$是等边三角形，$AE\perp DC$，根据等边三角形三线合一的性质，$DE = CE$。
- 已知$CE = 2$，所以$DC=2CE = 4$，则$BD = DC = 4$。
- 所以$BE=BD + DE=4 + 2=6$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{30^{\circ}}$；$(2)$$\boldsymbol{6}$
8. 如图所示，在 $\triangle ABC$ 中，$AD$ 是高，$CE$ 是中线，$G$ 是 $CE$ 的中点，$DG\perp CE$，$G$ 为垂足.
(1) 若 $\angle ACB = 60^{\circ}$，$AC = 3$，求 $AD$ 的长；
(2) 求证：$DC = BE$.
(1) 若 $\angle ACB = 60^{\circ}$，$AC = 3$，求 $AD$ 的长；
(2) 求证：$DC = BE$.
答案
【解析】：
(1) 因为$AD$是高，所以$\angle ADC = 90^{\circ}$。
已知$\angle ACB = 60^{\circ}$，$AC = 3$，在$Rt\triangle ADC$中，$\sin\angle ACB=\frac{AD}{AC}$。
则$AD = AC\cdot\sin\angle ACB = 3\times\sin60^{\circ}=3\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
(2) 连接$DE$。
因为$G$是$CE$的中点，$DG\perp CE$，所以$DE = DC$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
因为$CE$是中线，所以$AE = BE$。
又因为$AD$是高，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$，在$Rt\triangle ADB$中，$DE$是斜边$AB$的中线，所以$DE = BE=\frac{1}{2}AB$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
因为$DE = DC$，$DE = BE$，所以$DC = BE$。
【答案】：
(1) $\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
(2) 证明过程如上述解析。
(1) 因为$AD$是高，所以$\angle ADC = 90^{\circ}$。
已知$\angle ACB = 60^{\circ}$，$AC = 3$，在$Rt\triangle ADC$中，$\sin\angle ACB=\frac{AD}{AC}$。
则$AD = AC\cdot\sin\angle ACB = 3\times\sin60^{\circ}=3\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
(2) 连接$DE$。
因为$G$是$CE$的中点，$DG\perp CE$，所以$DE = DC$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
因为$CE$是中线，所以$AE = BE$。
又因为$AD$是高，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$，在$Rt\triangle ADB$中，$DE$是斜边$AB$的中线，所以$DE = BE=\frac{1}{2}AB$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
因为$DE = DC$，$DE = BE$，所以$DC = BE$。
【答案】：
(1) $\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
(2) 证明过程如上述解析。
