1. 如图所示，在平行四边形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别在边 $BC$，$AD$ 上，添加条件后不能使 $AE = CF$ 的是（ ）



A. $BE = DF$
B. $AE// CF$
C. $AF = AE$
D. 四边形 $AECF$ 为平行四边形

C

2. 如图所示，将刻度尺放置在直角三角形上，斜边上三个点 $A$，$D$，$B$ 对应的刻度分别为 $1$，$4$，$7$（单位：$cm$），则 $CD$ 的长度为（ ）
A. $6 cm$
B. $4.5 cm$
C. $3.5 cm$
D. $3 cm$

D

3. 如图所示，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$O$ 为 $AB$ 的中点。若 $\angle B = 50^{\circ}$，则 $\angle OCB$ 的大小为（ ）
A. $45^{\circ}$
B. $50^{\circ}$
C. $55^{\circ}$
D. $60^{\circ}$

B

4. 如图所示，在 $\square ABCD$ 中，$AB\perp AC$，$E$，$F$ 分别在边 $BC$ 和 $AD$ 上，$EF// AB$，交 $AC$ 于点 $P$。若 $CD = 6$，$AC = 8$，$CE = 7$，则 $AF$ 的长为______。

$3$

5. 如图所示，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$ 于点 $D$，$\angle BCD = 18^{\circ}$。若 $E$ 是斜边 $AB$ 的中点，则 $\angle DCE$ 的大小为______。

$54^{\circ}$

6. 如图所示，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$ 是斜边 $AB$ 上的中线。若 $AB = 4$，则 $CD$ 的长是______。

2

7. 如图所示，$E$，$F$ 是 $\square ABCD$ 对角线 $AC$ 上的两点，连接 $BE$，$DE$，$BF$，$DF$，$DE// BF$。
（1）求证：四边形 $BEDF$ 是平行四边形；
（2）若 $AB\perp BF$，$AB = 6$，$BF = 8$，$AC = 14$，求 $EF$ 的长。

【解析】：
### $(1)$ 证明四边形$BEDF$是平行四边形
已知四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，可得$AB = CD$，$AB// CD$，$AO = CO$，$BO = DO$。
因为$AB// CD$，所以$\angle BAE=\angle DCF$。
又因为$DE// BF$，所以$\angle DEF=\angle BFE$，进而$\angle AED=\angle BFC$。
在$\triangle ADE$和$\triangle CBF$中，$\begin{cases}\angle AED=\angle BFC\\\angle DAE=\angle BCF\\AD = BC\end{cases}$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）可得$\triangle ADE\cong\triangle CBF$。
所以$AE = CF$，那么$AO - AE=CO - CF$，即$EO = FO$。
又因为$BO = DO$，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，所以四边形$BEDF$是平行四边形。
### $(2)$ 求$EF$的长
因为$AB\perp BF$，$AB = 6$，$BF = 8$，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得$AF=\sqrt{AB^{2}+BF^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$。
由$(1)$知$AE = CF$，设$AE = CF=x$，则$AF=AE + EF= x + EF$，$CE=CF + EF=x + EF$，$AC=AE + EF+CF=2x + EF$。
因为$AC = 14$，$AF=x + EF = 10$，即$\begin{cases}2x+EF = 14\\x + EF=10\end{cases}$，用第一个方程减去第二个方程可得：
$(2x + EF)-(x + EF)=14 - 10$，解得$x = 4$。
把$x = 4$代入$x + EF=10$，可得$EF=10 - 4=6$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{6}$