9. 如图所示，阴影部分面积为$18cm^{2}$，试求正方形边长a。

【解析】：
观察图形可知，将上面的半圆向下平移，可发现阴影部分的面积等于正方形面积的一半。
已知正方形边长为$a$，根据正方形面积公式$S = a^{2}$，那么阴影部分面积$S_{阴}=\frac{1}{2}a^{2}$。
因为阴影部分面积为$18cm^{2}$，即$\frac{1}{2}a^{2}=18$，
等式两边同时乘以$2$可得$a^{2}=18\times2 = 36$，
又因为$a\gt0$，根据平方根的定义，$a=\sqrt{36}=6cm$。
【答案】：$6cm$

10. (1) 计算下列各式的结果：
$\sqrt {1^{3}}=$____； $\sqrt {1^{3}+2^{3}}=$____；
$\sqrt {1^{3}+2^{3}+3^{3}}=$____；$\sqrt {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}}=$____。
(2) 观察上面的计算结果，你能发现什么规律吗？请利用你发现的规律，直接写出下列结果：
$\sqrt {1^{3}+2^{3}+3^{3}+... +10^{3}}=$____；
$\sqrt {1^{3}+2^{3}+3^{3}+... +100^{3}}=$____。
(3) 请你用字母n(n为正整数)表示上面的规律。

【解析】：
1. 首先计算（1）中各式的值：
对于$\sqrt{1^{3}}$：
根据乘方运算，$1^{3}=1$，所以$\sqrt{1^{3}}=\sqrt{1}=1$。
对于$\sqrt{1^{3}+2^{3}}$：
先计算$1^{3}+2^{3}$，$1^{3}=1$，$2^{3}=8$，则$1^{3}+2^{3}=1 + 8=9$，所以$\sqrt{1^{3}+2^{3}}=\sqrt{9}=3=1 + 2$。
对于$\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}}$：
先计算$1^{3}+2^{3}+3^{3}$，$1^{3}=1$，$2^{3}=8$，$3^{3}=27$，则$1^{3}+2^{3}+3^{3}=1 + 8+27 = 36$，所以$\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}}=\sqrt{36}=6=1 + 2+3$。
对于$\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}}$：
先计算$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}$，$1^{3}=1$，$2^{3}=8$，$3^{3}=27$，$4^{3}=64$，则$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}=1 + 8+27 + 64=100$，所以$\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}}=\sqrt{100}=10=1 + 2+3 + 4$。
2. 然后总结规律并计算（2）中各式的值：
通过（1）的计算结果，可以发现规律：$\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}}=1 + 2+3+\cdots +n$。
根据等差数列求和公式$S_{n}=\frac{n(n + 1)}{2}$（$n$为项数）。
当$n = 10$时，$\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +10^{3}}=1 + 2+\cdots+10$，由等差数列求和公式$S_{10}=\frac{10\times(10 + 1)}{2}=55$。
当$n = 100$时，$\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +100^{3}}=1 + 2+\cdots+100$，由等差数列求和公式$S_{100}=\frac{100\times(100 + 1)}{2}=5050$。
3. 最后用字母$n$表示规律：
由前面的分析可知，$\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}}=1 + 2+3+\cdots +n=\frac{n(n + 1)}{2}$（$n$为正整数）。
【答案】：（1）$1$；$3$；$6$；$10$；（2）$55$；$5050$；（3）$\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}}=\frac{n(n + 1)}{2}$（$n$为正整数）