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1. (2024·德州)把多项式$x^{2}-3x+4$进行配方,结果为 (
A.$(x-3)^{2}-5$
B.$(x-\frac {3}{2})^{2}+\frac {7}{4}$
C.$(x-\frac {3}{2})^{2}+\frac {25}{4}$
D.$(x+\frac {3}{2})^{2}+\frac {7}{4}$
B
)A.$(x-3)^{2}-5$
B.$(x-\frac {3}{2})^{2}+\frac {7}{4}$
C.$(x-\frac {3}{2})^{2}+\frac {25}{4}$
D.$(x+\frac {3}{2})^{2}+\frac {7}{4}$
答案
1. B
解析
$x^{2}-3x+4$
$=x^{2}-3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+4$
$=\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{9}{4}+\frac{16}{4}$
$=\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{7}{4}$
B
$=x^{2}-3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+4$
$=\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{9}{4}+\frac{16}{4}$
$=\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{7}{4}$
B
2. 一元二次方程$x(x-2)+x-2=0$的根是 (
A.$x_{1}=x_{2}=2$
B.$x_{1}=-2,x_{2}=1$
C.$x_{1}=x_{2}=-1$
D.$x_{1}=2,x_{2}=-1$
D
)A.$x_{1}=x_{2}=2$
B.$x_{1}=-2,x_{2}=1$
C.$x_{1}=x_{2}=-1$
D.$x_{1}=2,x_{2}=-1$
答案
2. D
解析
解：$x(x-2)+x-2=0$
$(x-2)(x+1)=0$
$x-2=0$或$x+1=0$
$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$
答案：D
$(x-2)(x+1)=0$
$x-2=0$或$x+1=0$
$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$
答案：D
3. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程$x^{2}-6x+8=0$的两根,则该等腰三角形的底边长为 (
A.2
B.4
C.8
D.2或4
A
)A.2
B.4
C.8
D.2或4
答案
3. A
解析
解方程$x^{2}-6x+8=0$，得$(x-2)(x-4)=0$，$x_{1}=2$，$x_{2}=4$。
情况一：腰长为2，底边长为4。$2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去。
情况二：腰长为4，底边长为2。$4+4＞2$，$4+2＞4$，满足三角形三边关系。
该等腰三角形的底边长为2。A
情况一：腰长为2，底边长为4。$2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去。
情况二：腰长为4，底边长为2。$4+4＞2$，$4+2＞4$，满足三角形三边关系。
该等腰三角形的底边长为2。A
4. (2024·自贡)关于x的方程$x^{2}+mx-2=0$的根的情况是 (
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
A
)A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
4. A
解析
对于方程$x^{2}+mx - 2=0$，计算判别式$\Delta=m^{2}-4×1×(-2)=m^{2}+8$。
因为$m^{2}\geq0$，所以$m^{2}+8\geq8＞0$，即$\Delta＞0$。
故方程有两个不相等的实数根，答案选A。
因为$m^{2}\geq0$，所以$m^{2}+8\geq8＞0$，即$\Delta＞0$。
故方程有两个不相等的实数根，答案选A。
5. (2023·内江)已知a、b是方程$x^{2}+3x-4=0$的两根,则$a^{2}+4a+b-3$的值为 (
A.-3
B.-2
C.4
D.5
B
)A.-3
B.-2
C.4
D.5
答案
5. B
解析
∵a、b是方程$x^{2}+3x - 4 = 0$的两根，
∴$a^{2}+3a - 4 = 0$，即$a^{2}=-3a + 4$，且$a + b=-\frac{3}{1}=-3$。
$a^{2}+4a + b - 3=(-3a + 4)+4a + b - 3=a + b + 1$。
将$a + b=-3$代入，得$-3 + 1=-2$。
B
6. 已知关于x的方程$(m^{2}+2m-3)x^{2}+(m-1)x+3m-1=0$,当
$ m = - 3 $
时,此方程是一元一次方程;当$ m \neq 1 $且$ m \neq -3 $
时,此方程是一元二次方程.答案
6. $ m = - 3 $ $ m \neq 1 $且$ m \neq -3 $
7. 若关于x的一元二次方程$(k-1)x^{2}-2x+1=0$没有实数根,则k的取值范围是
$ k ＞ 2 $
.答案
7. $ k ＞ 2 $
解析
解：因为方程$(k - 1)x^2 - 2x + 1 = 0$是一元二次方程，所以$k - 1 \neq 0$，即$k \neq 1$。
又因为方程没有实数根，所以判别式$\Delta = (-2)^2 - 4(k - 1) × 1 ＜ 0$。
计算判别式：$\Delta = 4 - 4(k - 1) = 4 - 4k + 4 = 8 - 4k$。
由$\Delta ＜ 0$得：$8 - 4k ＜ 0$，解得$k ＞ 2$。
综上，$k$的取值范围是$k ＞ 2$。
又因为方程没有实数根，所以判别式$\Delta = (-2)^2 - 4(k - 1) × 1 ＜ 0$。
计算判别式：$\Delta = 4 - 4(k - 1) = 4 - 4k + 4 = 8 - 4k$。
由$\Delta ＜ 0$得：$8 - 4k ＜ 0$，解得$k ＞ 2$。
综上，$k$的取值范围是$k ＞ 2$。
8. (2024·乐山)若关于x的一元二次方程$x^{2}+2x+p=0$两根为$x_{1}$、$x_{2}$,且$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}=3$,则p的值为
$ - \frac { 2 } { 3 } $
.答案
8. $ - \frac { 2 } { 3 } $
解析
解：由韦达定理得，$x_{1}+x_{2}=-2$，$x_{1}x_{2}=p$。
$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{-2}{p}=3$，解得$p=-\frac{2}{3}$。
经检验，$p=-\frac{2}{3}$是原方程的解，且此时判别式$\Delta=4-4p=4-4×(-\frac{2}{3})=\frac{20}{3}＞0$，方程有两个不等实根。
故$p=-\frac{2}{3}$。
$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{-2}{p}=3$，解得$p=-\frac{2}{3}$。
经检验，$p=-\frac{2}{3}$是原方程的解，且此时判别式$\Delta=4-4p=4-4×(-\frac{2}{3})=\frac{20}{3}＞0$，方程有两个不等实根。
故$p=-\frac{2}{3}$。
9. 若实数a、b满足$(4a+4b)(4a+4b-2)-8=0$,则$a+b$的值为
$ - \frac { 1 } { 2 } $或1
.答案
9. $ - \frac { 1 } { 2 } $或1
解析
设$t = a + b$，则原方程可化为$(4t)(4t - 2) - 8 = 0$。
展开得$16t^2 - 8t - 8 = 0$，化简为$2t^2 - t - 1 = 0$。
因式分解得$(2t + 1)(t - 1) = 0$，解得$t = -\frac{1}{2}$或$t = 1$。
故$a + b$的值为$-\frac{1}{2}$或$1$。
展开得$16t^2 - 8t - 8 = 0$，化简为$2t^2 - t - 1 = 0$。
因式分解得$(2t + 1)(t - 1) = 0$，解得$t = -\frac{1}{2}$或$t = 1$。
故$a + b$的值为$-\frac{1}{2}$或$1$。
10. 端午节期间,某超市调查某种水果的销售情况,下面是调查员的对话.小王:“这种水果的进价是每千克22元.”小李:“当售价为每千克38元时,每天可售出160千克;若售价每千克每降低3元,则每天的销售量将增加120千克.”根据他们的对话,若该超市每天销售这种水果要获得利润3640元,又要尽可能让顾客得到实惠,则这种水果的售价为每千克
29
元.答案
10. 29 解析:设当售价每千克降低x元时,该超市每天销售这种水果可获得利润3640元.根据题意,得$ ( 38 - x - 22 ) · $
$ ( 160 + \frac { x } { 3 } × 120 ) = 3640 $.整理,得$ x ^ { 2 } - 12 x + 27 = 0 $,解得$ x _ { 1 } = $
$ 3 , x _ { 2 } = 9 $.
∵要尽可能让顾客得到实惠,
∴$ x = 9 $.此时这种水果的售价为每千克$ 38 - 9 = 29 $(元).
$ ( 160 + \frac { x } { 3 } × 120 ) = 3640 $.整理,得$ x ^ { 2 } - 12 x + 27 = 0 $,解得$ x _ { 1 } = $
$ 3 , x _ { 2 } = 9 $.
∵要尽可能让顾客得到实惠,
∴$ x = 9 $.此时这种水果的售价为每千克$ 38 - 9 = 29 $(元).
11. 解方程:
(1)$2x^{2}-4\sqrt {3}x+3=0$;
(2)$x^{2}-6x-91=0$;
(3)$4x(x-2)=x-2$;
(4)$(x+3)^{2}-5(x+3)=-6$.
(1)$2x^{2}-4\sqrt {3}x+3=0$;
(2)$x^{2}-6x-91=0$;
(3)$4x(x-2)=x-2$;
(4)$(x+3)^{2}-5(x+3)=-6$.
答案
11. (1)$ x _ { 1 } = \frac { 2 \sqrt { 3 } + \sqrt { 6 } } { 2 } , x _ { 2 } = \frac { 2 \sqrt { 3 } - \sqrt { 6 } } { 2 } $ (2)$ x _ { 1 } = - 7 , x _ { 2 } = 13 $
(3)$ x _ { 1 } = 2 , x _ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } $ (4)$ x _ { 1 } = 0 , x _ { 2 } = - 1 $
(3)$ x _ { 1 } = 2 , x _ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } $ (4)$ x _ { 1 } = 0 , x _ { 2 } = - 1 $
