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12. (2024·青海)(1)解一元二次方程:$x^{2}-4x+3=0$;
(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根,求第三边的长.
(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根,求第三边的长.
答案
12. (1)由$ x ^ { 2 } - 4 x + 3 = 0 $,得$ ( x - 1 ) ( x - 3 ) = 0 $,
∴$ x - 1 = 0 $或
$ x - 3 = 0 $,
∴$ x _ { 1 } = 1 , x _ { 2 } = 3 $ (2)当3是直角三角形的斜边长时,第三边的长为$ \sqrt { 3 ^ { 2 } - 1 ^ { 2 } } = 2 \sqrt { 2 } $;当1和3是直角三角形的直角边长时,第三边的长为$ \sqrt { 3 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 10 } $.
∴第三边的长为$ 2 \sqrt { 2 } $或$ \sqrt { 10 } $
∴$ x - 1 = 0 $或
$ x - 3 = 0 $,
∴$ x _ { 1 } = 1 , x _ { 2 } = 3 $ (2)当3是直角三角形的斜边长时,第三边的长为$ \sqrt { 3 ^ { 2 } - 1 ^ { 2 } } = 2 \sqrt { 2 } $;当1和3是直角三角形的直角边长时,第三边的长为$ \sqrt { 3 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 10 } $.
∴第三边的长为$ 2 \sqrt { 2 } $或$ \sqrt { 10 } $
13. (2023·通辽)已知实数s、t满足$2s^{2}+3s-1=0,2t^{2}+3t-1=0$,且$s≠t$,求$\frac {1}{s}-\frac {1}{t}$的值.
答案
13.
∵实数s、t满足$ 2 s ^ { 2 } + 3 s - 1 = 0 , 2 t ^ { 2 } + 3 t - 1 = 0 $,且$ s \neq t $,
∴s、t是一元二次方程$ 2 x ^ { 2 } + 3 x - 1 = 0 $的两个不相等的实数根,
∴$ s + t = - \frac { 3 } { 2 } , s t = - \frac { 1 } { 2 } $.
∵$ ( t - s ) ^ { 2 } = ( t + s ) ^ { 2 } - 4 s t = $
$ ( - \frac { 3 } { 2 } ) ^ { 2 } - 4 × ( - \frac { 1 } { 2 } ) = \frac { 17 } { 4 } $,
∴$ t - s = \pm \frac { \sqrt { 17 } } { 2 } $,
∴$ \frac { 1 } { s } - \frac { 1 } { t } = $
$ \frac { t - s } { s t } = \frac { \pm \frac { \sqrt { 17 } } { 2 } } { - \frac { 1 } { 2 } } = \pm \sqrt { 17 } $
∵实数s、t满足$ 2 s ^ { 2 } + 3 s - 1 = 0 , 2 t ^ { 2 } + 3 t - 1 = 0 $,且$ s \neq t $,
∴s、t是一元二次方程$ 2 x ^ { 2 } + 3 x - 1 = 0 $的两个不相等的实数根,
∴$ s + t = - \frac { 3 } { 2 } , s t = - \frac { 1 } { 2 } $.
∵$ ( t - s ) ^ { 2 } = ( t + s ) ^ { 2 } - 4 s t = $
$ ( - \frac { 3 } { 2 } ) ^ { 2 } - 4 × ( - \frac { 1 } { 2 } ) = \frac { 17 } { 4 } $,
∴$ t - s = \pm \frac { \sqrt { 17 } } { 2 } $,
∴$ \frac { 1 } { s } - \frac { 1 } { t } = $
$ \frac { t - s } { s t } = \frac { \pm \frac { \sqrt { 17 } } { 2 } } { - \frac { 1 } { 2 } } = \pm \sqrt { 17 } $
14. (2024·南充改编)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-6x+2a+5=0$有两个不相等的实数根$x_{1}$、$x_{2}$.
(1)求a的取值范围;
(2)若$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}≤30$,且a为整数,求a的值.
(1)求a的取值范围;
(2)若$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}≤30$,且a为整数,求a的值.
答案
14. (1)
∵关于x的一元二次方程$ x ^ { 2 } - 6 x + 2 a + 5 = 0 $有两个不相等的实数根$ x _ { 1 } 、x _ { 2 } $,
∴$ ( - 6 ) ^ { 2 } - 4 ( 2 a + 5 ) ＞ 0 $,解得$ a ＜ 2 $
(2)由根与系数的关系,得$ x _ { 1 } + x _ { 2 } = 6 , x _ { 1 } x _ { 2 } = 2 a + 5 $.
∵$ x _ { 1 } ^ { 2 } + $
$ x _ { 2 } ^ { 2 } - x _ { 1 } x _ { 2 } \leq 30 $,
∴$ ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } - 3 x _ { 1 } x _ { 2 } \leq 30 $,即$ 6 ^ { 2 } - 3 ( 2 a + 5 ) \leq $
30,解得$ a \geq - \frac { 3 } { 2 } $.又
∵$ a ＜ 2 $且a为整数,
∴a的值为-1、0、1
∵关于x的一元二次方程$ x ^ { 2 } - 6 x + 2 a + 5 = 0 $有两个不相等的实数根$ x _ { 1 } 、x _ { 2 } $,
∴$ ( - 6 ) ^ { 2 } - 4 ( 2 a + 5 ) ＞ 0 $,解得$ a ＜ 2 $
(2)由根与系数的关系,得$ x _ { 1 } + x _ { 2 } = 6 , x _ { 1 } x _ { 2 } = 2 a + 5 $.
∵$ x _ { 1 } ^ { 2 } + $
$ x _ { 2 } ^ { 2 } - x _ { 1 } x _ { 2 } \leq 30 $,
∴$ ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } - 3 x _ { 1 } x _ { 2 } \leq 30 $,即$ 6 ^ { 2 } - 3 ( 2 a + 5 ) \leq $
30,解得$ a \geq - \frac { 3 } { 2 } $.又
∵$ a ＜ 2 $且a为整数,
∴a的值为-1、0、1
