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11. (2025江西)关于$x的方程x^{2}+mx + m - 2 = 0$的根的情况是()
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 只有一个实数根
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 只有一个实数根
答案
A
12. 若$a$,$b$,$c是\triangle ABC$的三边的长,且关于$x的方程(a + b)x^{2}-2cx + (b - a) = 0$有两个相等的实数根,则$\triangle ABC$是()
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
答案
A
13. (2024广安中考)若关于$x的一元二次方程(m + 1)x^{2}-2x + 1 = 0$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围是____.
答案
$m＜0$且$m≠-1$
14. (2024湖北元调)若关于$x的方程(m + 2)x^{2}-3x + 1 = 0$有两个实数根,则$m$的取值范围是____.
答案
$m\leqslant\frac{1}{4}$且$m≠-2$
15. (2024广州中考)关于$x的方程x^{2}-2x + 4 - m = 0$有两个不相等的实数根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)化简：$\frac{1 - m^{2}}{\vert m - 3\vert}÷\frac{m - 1}{2}\cdot\frac{m - 3}{m + 1}$.
(1)求$m$的取值范围；
(2)化简：$\frac{1 - m^{2}}{\vert m - 3\vert}÷\frac{m - 1}{2}\cdot\frac{m - 3}{m + 1}$.
答案
解：(1) 由题意，得$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(4 - m)＞0$，$\therefore m＞3$；
(2) $\because m＞3$，
$\therefore$原式$=\frac{-(m + 1)(m - 1)}{m - 3}·\frac{2}{m - 1}·\frac{m - 3}{m + 1} = -2$.
(2) $\because m＞3$，
$\therefore$原式$=\frac{-(m + 1)(m - 1)}{m - 3}·\frac{2}{m - 1}·\frac{m - 3}{m + 1} = -2$.
16. 关于$x的方程(k - 1)^{2}x^{2}+(2k + 1)x + 1 = 0$有实数根,求$k$的取值范围.
答案
解：当$k - 1≠0$，即$k≠1$时，
此方程为关于$x$的一元二次方程，
$\because$关于$x$的方程$(k - 1)^2x^2 + (2k + 1)x + 1 = 0$有实数根，
$\therefore\Delta=(2k + 1)^2 - 4×(k - 1)^2×1 = 12k - 3\geqslant 0$，
解得$k\geqslant\frac{1}{4}$，即$k\geqslant\frac{1}{4}$且$k≠1$；
当$k - 1 = 0$，即$k = 1$时，
方程为$3x + 1 = 0$，显然有根.
综上，$k$的取值范围是$k\geqslant\frac{1}{4}$.
此方程为关于$x$的一元二次方程，
$\because$关于$x$的方程$(k - 1)^2x^2 + (2k + 1)x + 1 = 0$有实数根，
$\therefore\Delta=(2k + 1)^2 - 4×(k - 1)^2×1 = 12k - 3\geqslant 0$，
解得$k\geqslant\frac{1}{4}$，即$k\geqslant\frac{1}{4}$且$k≠1$；
当$k - 1 = 0$，即$k = 1$时，
方程为$3x + 1 = 0$，显然有根.
综上，$k$的取值范围是$k\geqslant\frac{1}{4}$.
17. 规定：对于任意实数$a$,$b$,$c$,$d$,有$[a,b]*[c,d]= ac - bd$,其中等式右边是通常的乘法和减法运算. 如：$[3,2]*[5,1]= 3×5 - 2×1 = 13$.
(1)求$[-4,3]*[2,-6]$的值；
(2)已知关于$x的方程[x,2x - 1]*[mx + 1,m]= 0$有两个实数根,求$m$的取值范围.
(1)求$[-4,3]*[2,-6]$的值；
(2)已知关于$x的方程[x,2x - 1]*[mx + 1,m]= 0$有两个实数根,求$m$的取值范围.
答案
解：(1) 由题意知，
原式$= -4×2 - 3×(-6)$
$= -8 + 18$
$= 10$；
(2) 由题意，得$x(mx + 1) - m(2x - 1) = 0$，
整理，得$mx^2 + (1 - 2m)x + m = 0$.
$\because$方程有两个实数根，
$\therefore m≠0$，且$\Delta=(1 - 2m)^2 - 4m^2\geqslant 0$，
$\therefore m\leqslant\frac{1}{4}$且$m≠0$.
原式$= -4×2 - 3×(-6)$
$= -8 + 18$
$= 10$；
(2) 由题意，得$x(mx + 1) - m(2x - 1) = 0$，
整理，得$mx^2 + (1 - 2m)x + m = 0$.
$\because$方程有两个实数根，
$\therefore m≠0$，且$\Delta=(1 - 2m)^2 - 4m^2\geqslant 0$，
$\therefore m\leqslant\frac{1}{4}$且$m≠0$.
