13. 在平面直角坐标系中,已知点$A(2,2),B(4,0)$.若在坐标轴上取点C,使$\triangle ABC$为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是()

A.5
B.6
C.7
D.8

13.A

情况1：以AB为腰，点A为顶点
计算AB长度：$AB=\sqrt{(4-2)^2+(0-2)^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$
在x轴上找点C：设$C(x,0)$，则$AC=2\sqrt{2}$，$\sqrt{(x-2)^2+(0-2)^2}=2\sqrt{2}$，解得$x=0$或$x=4$（$x=4$与点B重合，舍去），得$C(0,0)$
在y轴上找点C：设$C(0,y)$，则$AC=2\sqrt{2}$，$\sqrt{(0-2)^2+(y-2)^2}=2\sqrt{2}$，解得$y=0$或$y=4$，得$C(0,0)$、$C(0,4)$
情况2：以AB为腰，点B为顶点
在x轴上找点C：设$C(x,0)$，则$BC=2\sqrt{2}$，$\sqrt{(x-4)^2+(0-0)^2}=2\sqrt{2}$，解得$x=4+2\sqrt{2}$或$x=4-2\sqrt{2}$，得$C(4+2\sqrt{2},0)$、$C(4-2\sqrt{2},0)$
在y轴上找点C：设$C(0,y)$，则$BC=2\sqrt{2}$，$\sqrt{(0-4)^2+(y-0)^2}=2\sqrt{2}$，方程无解
情况3：以AB为底边，C为顶点
线段AB中点为$(3,1)$，斜率$k_{AB}=-1$，中垂线方程为$y-1=x-3$
在x轴上：令$y=0$，得$x=2$，得$C(2,0)$
在y轴上：令$x=0$，得$y=-2$，得$C(0,-2)$
综上，满足条件的点C为：$(0,0)$、$(0,4)$、$(4+2\sqrt{2},0)$、$(4-2\sqrt{2},0)$、$(2,0)$、$(0,-2)$，共6个
A.5

14. (2023·金华)如图,两个灯笼的位置A,B的坐标分别是$(-3,3),(1,2)$,将点B先向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到点$B'$,则关于点$A,B'$的位置描述正确的是()

A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于点B对称

14.B

解：点B的坐标为$(1,2)$，向右平移2个单位长度，横坐标变为$1 + 2=3$；再向上平移1个单位长度，纵坐标变为$2+1 = 3$，所以点$B'$的坐标为$(3,3)$。
点A的坐标为$(-3,3)$，点$B'$的坐标为$(3,3)$。
因为两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以点A与点$B'$关于y轴对称。
答案：B

15. (新考法·阅读理解)在平面直角坐标系中,对于平面内任意一点$(a,b)$,规定下列三种变换:
①$\triangle (a,b)=(-a,b)$;②$◯ (a,b)=(-a,-b)$;③$\Omega (a,b)=(a,-b)$.例如:$\triangle [◯ (1,2)]=(1,-2)$,则$◯ [\Omega (3,4)]=$.

15.(-3,4) 解析:
∵Ω(a,b)=(a,-b),
∴Ω(3,4)=(3,-4).
∵⊙(a,b)=(-a,-b),
∴⊙(3,-4)=(-3,4),
∴⊙[Ω(3,4)]=(-3,4).

16. (新考法·新定义题)(2024·威海改编)在平面直角坐标系中有两点$M(a,b),N(c,d)$,规定$(a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d)$,则称$Q(a+c,b+d)$为点M,N的“和点”.若以原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形,则称这个四边形为“和点四边形”.现有点$A(2,5),B(-1,3)$,如果以O,A,B,C四点为顶点的四边形是“和点四边形”,那么点C的坐标是.

16.(1,8)或(-3,-2)或(3,2)

分三种情况：
1. 当点C为A和B的“和点”时，$C=(2+(-1),5+3)=(1,8)$；
2. 当点B为A和C的“和点”时，设$C=(x,y)$，则$\begin{cases}2+x=-1\\5+y=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-3\\y=-2\end{cases}$，即$C=(-3,-2)$；
3. 当点A为B和C的“和点”时，设$C=(x,y)$，则$\begin{cases}-1+x=2\\3+y=5\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}$，即$C=(3,2)$。
综上，点C的坐标是$(1,8)$或$(-3,-2)$或$(3,2)$。

17. 如图,在平面直角坐标系中,$\triangle ABC$各顶点的坐标分别为$A(-2,-2),B(-4,-1),C(-4,-4)$.
(1) 作出$\triangle ABC$关于原点O对称的$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$;
(2) 作出点A关于x轴的对称点$A'$,若把点$A'$向右平移a个单位长度后落在$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的内部(不包括顶点和边界),则a的取值范围是.

17.(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求 解析:描出A₁(2,2),B₁(4,1),C₁(4,4)三点,再依次连接即可.
(2)如图,点A'即为所求 4＜a＜6

18. 如图,在平面直角坐标系中,点$A(1,m+1),B(a,m+1),C(3,m+3),D(1,m+a),m＞0,1＜a＜3,P(n-m,n)$是四边形ABCD内的一点,且$\triangle PAD$与$\triangle PBC$的面积相等,求$n-m$的值.

18.设n-m=t.
∵A(1,m+1),B(a,m+1),1＜a＜3,
∴AB=a-1,AB//x轴.
∵A(1,m+1),D(1,m+a),
∴AD=(m+a)-(m+1)=a-1,AD//y轴.如图,分别过点P,C作PE⊥AB,CF⊥AB,分别交AB,AB的延长线于点E,F.
∵P(n-m,n),C(3,m+3),
∴点P到AD的距离为n-m-1=t-1,PE=n-(m+1)=t-1,CF=(m+3)-(m+1)=2,BE=a-(n-m)=a-t,BF=3-a,EF=3-(n-m)=3-t,
∴S△PAD=$\frac{1}{2}$(a-1)(t-1),S△PBC=S梯形PEFC-S△PBE-S△BFC=$\frac{1}{2}$(t-1+2)(3-t)-$\frac{1}{2}$(a-t)(t-1)-$\frac{1}{2}$(3-a)×2.
∵S△PAD=S△PBC,
∴$\frac{1}{2}$(a-1)(t-1)=$\frac{1}{2}$(t-1+2)(3-t)-$\frac{1}{2}$(a-t)(t-1)-$\frac{1}{2}$(3-a)×2.化简，得at-2a-t+2=0.将左边分解因式，得(a-1)(t-2)=0.
∵1＜a＜3,
∴a-1≠0,
∴t-2=0,即t=2,
∴n-m=2