8. (分类讨论思想)如图,在平面直角坐标系中,$∠C=90^{\circ },OB=25,OC=20$.
(1) 求点C的坐标;
(2) 设P是y轴上的一个动点,当$\triangle OCP$为等腰三角形时,直接写出点P的坐标.

8.(1)如图，过点C作CH⊥OB，垂足为H.
∵在Rt△OCB中，∠OCB=90°,OB=25,OC=20,
∴BC²+OC²=OB²，即BC²+20²=25²,
∴BC=15.根据△OCB的面积公式，得$\frac{1}{2}$OB·CH=$\frac{1}{2}$OC·BC,
∴CH=$\frac{OC·BC}{OB}$=$\frac{20×15}{25}$=12.
∵在Rt△OHC中，∠OHC=90°,
∴OH²+CH²=OC²，即OH²+12²=20²,
∴OH=16,
∴点C的坐标为(16,-12)
(2)当OC为△OCP的腰时,点P的坐标为(0,20)或(0,-20)或(0,-24);当OC为△OCP的底时,点P的坐标为(0,-$\frac{50}{3}$)

9. (2024·长沙)在平面直角坐标系中,将点$P(3,5)$向上平移2个单位长度后得到点$P'$的坐标为()

A.$(1,5)$
B.$(5,5)$
C.$(3,3)$
D.$(3,7)$

9.D

在平面直角坐标系中，点向上平移时，横坐标不变，纵坐标增加相应单位长度。
点$P(3,5)$向上平移2个单位长度，横坐标仍为3，纵坐标为$5 + 2=7$，所以点$P'$的坐标为$(3,7)$。
D

10. 在平面直角坐标系中,点A与点$A_{1}$关于x轴对称,点A与点$A_{2}$关于y轴对称.已知点$A_{1}$的坐标是$(1,2)$,则点$A_{2}$的坐标是()

A.$(-2,1)$
B.$(-2,-1)$
C.$(-1,2)$
D.$(-1,-2)$

10.D

∵点A与点$A_1$关于x轴对称，$A_1(1,2)$，
∴点A的坐标为$(1,-2)$。
∵点A与点$A_2$关于y轴对称，
∴点$A_2$的坐标为$(-1,-2)$。
D

11. 如图,点A的坐标为$(-3,4)$,将线段OA绕点A逆时针旋转$90^{\circ }$至$AA'$,则点$A'$的坐标是.

11.(1,7) 解析:过点A作y轴的平行线EF,交x轴于点N,再过点A'作EF的垂线，垂足为M.先证△A'MA≌△ANO(AAS),则A'M=AN,MA=NO.
∵点A的坐标为(-3,4),
∴A'M=AN=4,MA=NO=3,
∴4-3=1,4+3=7,
∴点A'的坐标为(1,7).

12. 如图,$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$是$\triangle ABC$向右平移4个单位长度后得到的,且三个顶点的坐标分别为$A_{1}(1,1),B_{1}(4,2),C_{1}(3,4)$.
(1) 请画出$\triangle ABC$,并写出点A,B,C的坐标;
(2) 求$\triangle AOA_{1}$与$\triangle ABC$的面积;
(3) 求在整个平移过程中,$\triangle ABC$扫过的面积.

12.(1)如图,△ABC即为所求 A(-3,1),B(0,2),C(-1,4)
(2)如图,连接AO,A₁O,AA₁.△AOA₁的面积为$\frac{1}{2}$×4×1=2,△ABC的面积为3×3-$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×1×3=$\frac{7}{2}$
(3)如图，连接CC₁.由平移的性质，可知S△ABC=S△A₁B₁C₁,
∴△ABC扫过的面积为S四边形AA₁C₁C+S△A₁B₁C₁=S四边形AA₁C₁C+S△ABC=4×3+$\frac{7}{2}$=$\frac{31}{2}$