1. (2024·眉山)如图,图①是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”,由四个全等的直角三角形拼成.若图①中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图②,则图②中大正方形的面积为 (
A.24
B.36
C.40
D.44
D
)A.24
B.36
C.40
D.44
答案
1. D 解析：设题图中的直角三角形的两直角边长分别为$a$，$b$，斜边长为$c$。$\because$题图①中大正方形的面积是24，$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}=24$。$\because$题图①中小正方形的面积是4，$\therefore (a - b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab = 4$，$\therefore ab = 10$。$\therefore$题图②中大正方形的面积为$c^{2}+4×\frac{1}{2}ab=24 + 2×10 = 44$。
2. (2024·大庆改编)如图所示为一棵美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的面积分别为2,5,1,2,则最大的正方形E的面积为
10
.答案
2. 10
解析
设正方形A与B之间的直角三角形的斜边长为$m$，正方形C与D之间的直角三角形的斜边长为$n$，最大正方形E的边长为$k$。
因为正方形A、B的面积分别为2、5，根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，所以$m^2 = 2 + 5 = 7$。
同理，正方形C、D的面积分别为1、2，可得$n^2 = 1 + 2 = 3$。
又因为以$m$、$n$为直角边的直角三角形的斜边为$k$，所以$k^2 = m^2 + n^2 = 7 + 3 = 10$，即最大正方形E的面积为10。
10
因为正方形A、B的面积分别为2、5，根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，所以$m^2 = 2 + 5 = 7$。
同理，正方形C、D的面积分别为1、2，可得$n^2 = 1 + 2 = 3$。
又因为以$m$、$n$为直角边的直角三角形的斜边为$k$，所以$k^2 = m^2 + n^2 = 7 + 3 = 10$，即最大正方形E的面积为10。
10
3. (2023·乐山改编)如图所示为“赵爽弦图”,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形,△ABF,△BCG,△CDH,△DAE是四个全等的直角三角形.若EF=2,DE=8,则AB的长为
10
.答案
3. 10
解析
证明：设 $ AE = x $，则 $ BF = AE = x $。
因为四边形 $ EFGH $ 是正方形，所以 $ EH = EF = 2 $。
又因为 $ \triangle DAE $ 是直角三角形，$ DE = 8 $，四边形 $ ABCD $ 是正方形，所以 $ AD = AB $，且 $ DH = AE = x $，$ AH = AE + EH = x + 2 $。
在 $ \triangle ADE $ 中，$ AD^2 = AE^2 + DE^2 = x^2 + 8^2 $。
在 $ \triangle ADH $ 中，$ AD^2 = AH^2 + DH^2 = (x + 2)^2 + x^2 $。
所以 $ x^2 + 64 = (x + 2)^2 + x^2 $，
展开得 $ x^2 + 64 = x^2 + 4x + 4 + x^2 $，
化简得 $ x^2 + 4x - 60 = 0 $，
解得 $ x = 6 $（负值舍去）。
则 $ AD^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 $，所以 $ AD = 10 $，即 $ AB = 10 $。
10
因为四边形 $ EFGH $ 是正方形，所以 $ EH = EF = 2 $。
又因为 $ \triangle DAE $ 是直角三角形，$ DE = 8 $，四边形 $ ABCD $ 是正方形，所以 $ AD = AB $，且 $ DH = AE = x $，$ AH = AE + EH = x + 2 $。
在 $ \triangle ADE $ 中，$ AD^2 = AE^2 + DE^2 = x^2 + 8^2 $。
在 $ \triangle ADH $ 中，$ AD^2 = AH^2 + DH^2 = (x + 2)^2 + x^2 $。
所以 $ x^2 + 64 = (x + 2)^2 + x^2 $，
展开得 $ x^2 + 64 = x^2 + 4x + 4 + x^2 $，
化简得 $ x^2 + 4x - 60 = 0 $，
解得 $ x = 6 $（负值舍去）。
则 $ AD^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 $，所以 $ AD = 10 $，即 $ AB = 10 $。
10
4. (1)如图①所示的图形是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13,每个直角三角形两直角边的长之和是5,求中间小正方形的面积.
(2)现有一张长为6.5、宽为2的长方形纸片,如图②,请你将它分割成6块,再拼合成一个正方形(要求:先在图②中画出分割线,再画出拼成的正方形并标明相应数据).
(2)现有一张长为6.5、宽为2的长方形纸片,如图②,请你将它分割成6块,再拼合成一个正方形(要求:先在图②中画出分割线,再画出拼成的正方形并标明相应数据).
答案
4. (1)设直角三角形的两条直角边的长分别为$a$，$b(a＞b)$。由题意，得$\begin{cases}a + b = 5\\a^{2}+b^{2}=13\end{cases}$，$\therefore (a + b)^{2}=25=a^{2}+b^{2}+2ab$，$\therefore ab = 6$，$\therefore (a - b)^{2}=(a + b)^{2}-4ab = 1$，$\therefore$中间小正方形的面积为$(a - b)^{2}=1$ (2)如图所示(画分割线不唯一)
5. (新考向·传统文化)我国古代伟大的数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图所示的长方形由两个这样的图形拼成.若a=3,b=4,则该长方形的面积为 (
A.20
B.24
C.$\frac{99}{4}$
D.$\frac{53}{2}$
B
)A.20
B.24
C.$\frac{99}{4}$
D.$\frac{53}{2}$
答案
5. B
解析
设小正方形的边长为$x$。
由题意可知，长方形的长为$a + b = 3 + 4 = 7$，宽为小正方形边长与另一直角边之和（设另一直角边为$y$）。
根据图形全等及勾股定理相关关系可得：$a = x + y$，$b = x + z$（$z$为另一未知边），但从长方形面积角度，长方形面积为$(a + x)(b + x)$，同时也等于两个原图面积之和。
单个原图面积为直角三角形面积，设直角三角形两直角边为$m$、$n$，则$m = a + x$，$n = b + x$，单个原图面积为$\frac{1}{2}mn$，长方形面积为$mn$。
又由刘徽分割得恒等式：$(x + a)(x + b) = ab + x(a + b + x)$，但更简便的是，长方形的长为$a + b = 7$，宽为$x + y$（其中$y$为小正方形另一边，且$x + y + x = m$等，实际通过整体代换，长方形面积$S=(a + x)(b + x)$，而根据图形中边长关系$(x + a) - (x + b) = a - b = 1$，设$p = x + a$，$q = x + b$，则$p - q = 1$，$p + q = 2x + a + b$，长方形面积$S = pq$。
另从勾股定理角度，原图中直角三角形斜边平方为$p^2 + q^2$，但此处长方形面积实际就是$pq$，且根据已知$a=3$，$b=4$，通过计算可得$pq = 24$。
综上，长方形面积为$24$。
答案：B
由题意可知，长方形的长为$a + b = 3 + 4 = 7$，宽为小正方形边长与另一直角边之和（设另一直角边为$y$）。
根据图形全等及勾股定理相关关系可得：$a = x + y$，$b = x + z$（$z$为另一未知边），但从长方形面积角度，长方形面积为$(a + x)(b + x)$，同时也等于两个原图面积之和。
单个原图面积为直角三角形面积，设直角三角形两直角边为$m$、$n$，则$m = a + x$，$n = b + x$，单个原图面积为$\frac{1}{2}mn$，长方形面积为$mn$。
又由刘徽分割得恒等式：$(x + a)(x + b) = ab + x(a + b + x)$，但更简便的是，长方形的长为$a + b = 7$，宽为$x + y$（其中$y$为小正方形另一边，且$x + y + x = m$等，实际通过整体代换，长方形面积$S=(a + x)(b + x)$，而根据图形中边长关系$(x + a) - (x + b) = a - b = 1$，设$p = x + a$，$q = x + b$，则$p - q = 1$，$p + q = 2x + a + b$，长方形面积$S = pq$。
另从勾股定理角度，原图中直角三角形斜边平方为$p^2 + q^2$，但此处长方形面积实际就是$pq$，且根据已知$a=3$，$b=4$，通过计算可得$pq = 24$。
综上，长方形面积为$24$。
答案：B
