6. 设a,b是直角三角形的两条直角边的长.若该三角形的周长为6,斜边长为2.5,则ab的值为
3
.答案
6. 3 解析：根据题意，得$a + b + 2.5 = 6$，即$a + b = 3.5$，$a^{2}+b^{2}=2.5^{2}$①。将$a + b = 3.5$两边平方，得$a^{2}+2ab + b^{2}=12.25$②。由② - ①，得$2ab = 6$，即$ab = 3$。
解析
由题意得，$a + b + 2.5 = 6$，则$a + b = 3.5$。
因为直角三角形两直角边为$a$，$b$，斜边长为$2.5$，所以$a^{2} + b^{2} = 2.5^{2}$。
将$a + b = 3.5$两边平方，得$(a + b)^{2} = 3.5^{2}$，即$a^{2} + 2ab + b^{2} = 12.25$。
用$a^{2} + 2ab + b^{2} = 12.25$减去$a^{2} + b^{2} = 2.5^{2} = 6.25$，得$2ab = 12.25 - 6.25 = 6$，所以$ab = 3$。
3
因为直角三角形两直角边为$a$，$b$，斜边长为$2.5$，所以$a^{2} + b^{2} = 2.5^{2}$。
将$a + b = 3.5$两边平方，得$(a + b)^{2} = 3.5^{2}$，即$a^{2} + 2ab + b^{2} = 12.25$。
用$a^{2} + 2ab + b^{2} = 12.25$减去$a^{2} + b^{2} = 2.5^{2} = 6.25$，得$2ab = 12.25 - 6.25 = 6$，所以$ab = 3$。
3
7. (2023·日照)已知直角三角形的三边长a,b,c满足c＞a＞b,分别以a,b,c为边长作三个正方形,把两个较小的正方形放置在最大的正方形内,如图,设三个正方形无重叠部分的面积为S₁,重叠部分的面积为S₂,则S₁
=
S₂(填“＞”“＜”或“=”).答案
7. $=$ 解析：$\because$直角三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足$c＞a＞b$，$\therefore$该直角三角形的斜边长为$c$，$\therefore c^{2}=a^{2}+b^{2}$，即$c^{2}-a^{2}-b^{2}=0$。根据题意，得$S_{1}=c^{2}-a^{2}-b^{2}+b(a + b - c)=ab + b^{2}-bc$，$S_{2}=b(a + b - c)=ab + b^{2}-bc$，$\therefore S_{1}=S_{2}$。
8. (新考法·综合与实践)如图①所示为用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边长为c,如图②所示为以c为直角边长的等腰直角三角形.请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形(不添加其他辅助线).
(1)画出拼成的这个图形的示意图,写出它是什么图形.
(2)用这个图形证明勾股定理.
(3)假设图①中的直角三角形有若干个,你能运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗? 请画出拼成的示意图(不要求证明).
(1)画出拼成的这个图形的示意图,写出它是什么图形.
(2)用这个图形证明勾股定理.
(3)假设图①中的直角三角形有若干个,你能运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗? 请画出拼成的示意图(不要求证明).
答案
8. (1)如图①，是直角梯形 (2)$\because S_{梯形}=\frac{1}{2}(a + b)(a + b)=\frac{1}{2}(a + b)^{2}$，又$\because S_{梯形}=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}=ab+\frac{1}{2}c^{2}$，$\therefore\frac{1}{2}(a + b)^{2}=ab+\frac{1}{2}c^{2}$，即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ (3)能 答案不唯一，如图②所示
9. “面积法”是证明勾股定理的常用方法.将两个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放,其中∠DAB=90°.求证:$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
请补全下面的证明过程.
证明:如图,连接BD,过点B作△BDE的边DE上的高,交DE的延长线于点F,易得BF=b-a.
∵ $S_{五边形ACBED}=$
又∵ $S_{五边形ACBED}=$
∴
∴ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
请补全下面的证明过程.
证明:如图,连接BD,过点B作△BDE的边DE上的高,交DE的延长线于点F,易得BF=b-a.
∵ $S_{五边形ACBED}=$
$S_{\triangle ACB}+S_{\triangle ABE}+S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab$
,又∵ $S_{五边形ACBED}=$
$S_{\triangle ACB}+S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$
,∴
$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$
,∴ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
答案
9. 答案不唯一，如$S_{\triangle ACB}+S_{\triangle ABE}+S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab$ $S_{\triangle ACB}+S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$ $\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$
