1. 下列各组数据均为三条线段的长，其中，不能构成直角三角形的一组是()

A.$0.3,0.4,0.5$
B.$\frac{5}{2},6,\frac{13}{2}$
C.$12,16,20$
D.$9,11,17$

1. D

2. (新考向·传统文化)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：有一块三角形沙田，三条边的长分别为 $5$ 里、$12$ 里、$13$ 里，这块沙田的面积有多大？其中，$1$ 里 $=500$ 米，则该沙田的面积为()

A.$7.5$ 平方千米
B.$15$ 平方千米
C.$75$ 平方千米
D.$750$ 平方千米

2. A

因为$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，所以该三角形为直角三角形，两直角边为5里和12里。
面积为$\frac{1}{2} × 5 × 12 = 30$（平方里）。
因为1里=500米，所以1平方里$=(500)^2 = 250000$平方米$=0.25$平方千米。
则30平方里$=30 × 0.25 = 7.5$平方千米。
A

3. 在下列横线上填上一个数，使各组中的三个数成为勾股数.
(1)$6,$，$10$；
(2)$7,24,$；
(3)$8,$，$17$；
(4)，$40,41$.

3. (1)8 (2)25 (3)15 (4)9

4. 若三角形的三边长分别为 $3,4,5$，则最长边上的中线长为.

4. $\frac{5}{2}$

解：因为$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，所以该三角形是直角三角形，最长边为斜边，长度为$5$。
直角三角形斜边中线等于斜边的一半，所以最长边上的中线长为$\frac{5}{2}$。
$\frac{5}{2}$

5. 若一个三角形三边的长分别为 $15\mathrm{cm},20\mathrm{cm},25\mathrm{cm}$，则这个三角形最长边上的高为$\mathrm{cm}$.

5. 12

因为$15^{2} + 20^{2} = 225 + 400 = 625 = 25^{2}$，所以该三角形是直角三角形，两条直角边为$15\mathrm{cm}$、$20\mathrm{cm}$，斜边（最长边）为$25\mathrm{cm}$。设最长边上的高为$h\mathrm{cm}$，根据三角形面积公式可得$\frac{1}{2} × 15 × 20 = \frac{1}{2} × 25 × h$，解得$h = 12$。

6. （教材 $P96$ 习题第 $1$ 题变式）已知 $\triangle ABC$ 的三边长分别为 $a = m^{2}-n^{2},b = 2mn,c = m^{2}+n^{2}$，其中，$m,n$ 是正整数，且 $m＞n$. 求证：$\triangle ABC$ 是直角三角形.

6. $\because a^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}=m^{4}-2m^{2}n^{2}+n^{4}$，$b^{2}=(2mn)^{2}=4m^{2}n^{2}$，$c^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}$，$\therefore a^{2}+b^{2}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}=c^{2}$，$\therefore \triangle ABC$是直角三角形

7. （教材 $P95$ 例 $2$ 变式）如图，$AD$ 为 $\triangle ABC$ 的中线，且 $AC = 13,BC = 10,AD = 12$，求 $\triangle ABD$ 的周长.

7. $\because AD$为$\triangle ABC$的中线，$BC=10$，$\therefore BD=CD=5$。$\because AC=13$，$AD=12$，$\therefore AD^{2}+CD^{2}=12^{2}+5^{2}=169$，$AC^{2}=13^{2}=169$，$\therefore AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$，$\therefore \angle ADC=90^{\circ}$。$\because \angle ADC+\angle ADB=180^{\circ}$，$\therefore \angle ADB=90^{\circ}$，$\therefore$在$Rt\triangle ADB$中，$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$，即$12^{2}+5^{2}=AB^{2}$，$\therefore AB^{2}=169$，$\therefore AB=13$，$\therefore \triangle ABD$的周长为$5+12+13=30$

解：
∵AD为△ABC的中线，BC=10，
∴BD=CD=5。
∵AC=13，AD=12，
∴AD²+CD²=12²+5²=144+25=169，AC²=13²=169，
∴AD²+CD²=AC²，
∴∠ADC=90°。
∵∠ADC+∠ADB=180°，
∴∠ADB=90°。
在Rt△ADB中，AD²+BD²=AB²，
即12²+5²=AB²，
∴AB²=169，
∴AB=13。
∴△ABD的周长为AB+BD+AD=13+5+12=30。

8. 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A,\angle B,\angle C$ 的对边长分别是 $a,b,c$，下列条件不能判断 $\triangle ABC$ 为直角三角形的是()

A.$a + b＞c$
B.$c^{2}=b^{2}-a^{2}$
C.$(c - a)(c + a)=b^{2}$
D.$\angle A=\angle B-\angle C$

8. A