9. (2023·济宁)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 $1$ 个单位长度，点 $A,B,C,D,E$ 均在小正方形的顶点上，线段 $AB,CD$ 交于点 $F$. 若 $\angle CFB=\alpha$，则 $\angle ABE$ 的度数为(
A.$180^{\circ}-\alpha$
B.$180^{\circ}-2\alpha$
C.$90^{\circ}+\alpha$
D.$90^{\circ}+2\alpha$
C
)A.$180^{\circ}-\alpha$
B.$180^{\circ}-2\alpha$
C.$90^{\circ}+\alpha$
D.$90^{\circ}+2\alpha$
答案
9. C 解析：如图，过点$B$作$BG// CD$，连接$EG$。由$BG// CD$，得$\angle ABG=\angle CFB=\alpha$。根据勾股定理，得$BG^{2}=17$，$BE^{2}=17$，$EG^{2}=34$，则$BG^{2}+BE^{2}=EG^{2}$，$\therefore \angle GBE=90^{\circ}$，$\therefore \angle ABE=\angle GBE+\angle ABG=90^{\circ}+\alpha$。
10. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 10,AC = 8,BC = 6,DE$ 是 $AC$ 的垂直平分线，$DE$ 交 $AB$ 于点 $D$，连接 $CD$，则 $CD$ 的长为
5
.答案
10. 5
解析
解：
∵ $AB=10$, $AC=8$, $BC=6$，
∴ $AC^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 = AB^2$，
∴ $\triangle ABC$ 是直角三角形，且 $\angle ACB = 90°$。
∵ $DE$ 是 $AC$ 的垂直平分线，
∴ $AD = CD$（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
设 $CD = AD = x$，则 $BD = AB - AD = 10 - x$。
在 $Rt\triangle BCD$ 中，由勾股定理得：
$CD^2 = BC^2 + BD^2$，
即 $x^2 = 6^2 + (10 - x)^2$，
展开得 $x^2 = 36 + 100 - 20x + x^2$，
化简得 $0 = 136 - 20x$，
解得 $x = 6.8$？
（注：上述计算有误，正确解法应为：
在 $Rt\triangle ACD$ 中，$AD = CD = x$，$AC = 8$，则 $AE = EC = 4$，但无需此条件。正确应利用 $\angle A$ 的余弦值：
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$，
在 $\triangle ACD$ 中，$\cos A = \frac{AD}{AC/2}$？ 错误。
正确方法：设 $CD = x$，则 $AD = x$，$BD = 10 - x$，
在 $Rt\triangle BCD$ 中，$CD^2 = BD^2 + BC^2$ 错误，应为 $BC^2 + BD^2 = CD^2$ 仅当 $\angle B = 90°$，但 $\angle ACB = 90°$，故应在 $\triangle ACD$ 中用勾股定理：
过 $D$ 作 $AC$ 垂线 $DE$，$AE = 4$，$DE$ 为高，设 $AD = x$，则 $DE = \sqrt{x^2 - 4^2}$，
由面积法：$\frac{1}{2}AC · DE = \frac{1}{2}AD · BC · \sin A$？ 复杂。
正确解法：
∵ $\angle ACB = 90°$，$DE$ 垂直平分 $AC$，$E$ 为 $AC$ 中点，$AE = EC = 4$，
$DE // BC$（均垂直于 $AC$），故 $DE$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线，
∴ $D$ 为 $AB$ 中点，$AD = DB = 5$，
∴ $CD = AD = 5$（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
综上，$CD = 5$。
5
∵ $AB=10$, $AC=8$, $BC=6$，
∴ $AC^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 = AB^2$，
∴ $\triangle ABC$ 是直角三角形，且 $\angle ACB = 90°$。
∵ $DE$ 是 $AC$ 的垂直平分线，
∴ $AD = CD$（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
设 $CD = AD = x$，则 $BD = AB - AD = 10 - x$。
在 $Rt\triangle BCD$ 中，由勾股定理得：
$CD^2 = BC^2 + BD^2$，
即 $x^2 = 6^2 + (10 - x)^2$，
展开得 $x^2 = 36 + 100 - 20x + x^2$，
化简得 $0 = 136 - 20x$，
解得 $x = 6.8$？
（注：上述计算有误，正确解法应为：
在 $Rt\triangle ACD$ 中，$AD = CD = x$，$AC = 8$，则 $AE = EC = 4$，但无需此条件。正确应利用 $\angle A$ 的余弦值：
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$，
在 $\triangle ACD$ 中，$\cos A = \frac{AD}{AC/2}$？ 错误。
正确方法：设 $CD = x$，则 $AD = x$，$BD = 10 - x$，
在 $Rt\triangle BCD$ 中，$CD^2 = BD^2 + BC^2$ 错误，应为 $BC^2 + BD^2 = CD^2$ 仅当 $\angle B = 90°$，但 $\angle ACB = 90°$，故应在 $\triangle ACD$ 中用勾股定理：
过 $D$ 作 $AC$ 垂线 $DE$，$AE = 4$，$DE$ 为高，设 $AD = x$，则 $DE = \sqrt{x^2 - 4^2}$，
由面积法：$\frac{1}{2}AC · DE = \frac{1}{2}AD · BC · \sin A$？ 复杂。
正确解法：
∵ $\angle ACB = 90°$，$DE$ 垂直平分 $AC$，$E$ 为 $AC$ 中点，$AE = EC = 4$，
$DE // BC$（均垂直于 $AC$），故 $DE$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线，
∴ $D$ 为 $AB$ 中点，$AD = DB = 5$，
∴ $CD = AD = 5$（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
综上，$CD = 5$。
5
11. 下表中每行所给的三个数 $a,b,c$ 均满足 $a ＜ b ＜ c$，则根据表中已有数据的规律，可得出：当 $a = 20$ 时，$b$ 的值为
99
，$c$ 的值为101
.答案
11. 99 101
解析
观察表格中数据：
当 $a=6$ 时，$b=8$，$c=10$，且 $10-8=2$；
当 $a=8$ 时，$b=15$，$c=17$，且 $17-15=2$；
当 $a=10$ 时，$b=24$，$c=26$，且 $26-24=2$。
规律：$c = b + 2$，且 $a^2 + b^2 = c^2$。
当 $a=20$ 时，设 $b = x$，则 $c = x + 2$。
由 $20^2 + x^2 = (x + 2)^2$，展开得：
$400 + x^2 = x^2 + 4x + 4$
化简得：$4x = 396$，解得 $x = 99$。
则 $c = 99 + 2 = 101$。
99；101
当 $a=6$ 时，$b=8$，$c=10$，且 $10-8=2$；
当 $a=8$ 时，$b=15$，$c=17$，且 $17-15=2$；
当 $a=10$ 时，$b=24$，$c=26$，且 $26-24=2$。
规律：$c = b + 2$，且 $a^2 + b^2 = c^2$。
当 $a=20$ 时，设 $b = x$，则 $c = x + 2$。
由 $20^2 + x^2 = (x + 2)^2$，展开得：
$400 + x^2 = x^2 + 4x + 4$
化简得：$4x = 396$，解得 $x = 99$。
则 $c = 99 + 2 = 101$。
99；101
12. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = 3,AD = 4,BC = 13,CD = 12,\angle A = 90^{\circ}$，求四边形 $ABCD$ 的面积.
答案
12. 连接$BD$。$\because \angle A=90^{\circ}$，$\therefore AB^{2}+AD^{2}=BD^{2}$。$\because AB=3$，$AD=4$，$\therefore BD^{2}=3^{2}+4^{2}=25$，$\therefore BD=5$。$\because BD^{2}+CD^{2}=5^{2}+12^{2}=169$，$BC^{2}=13^{2}=169$，$\therefore BD^{2}+CD^{2}=BC^{2}$，$\therefore \angle BDC=90^{\circ}$，$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{\triangle BAD}+S_{\triangle BDC}=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×5×12=36$
13. 如图，$P$ 是等边三角形 $ABC$ 内的一点，$PA = 6,PB = 8,PC = 10$. 若 $P'$ 是 $\triangle ABC$ 外的一点，且 $\triangle P'AB\cong\triangle PAC$，求点 $P$ 与点 $P'$ 之间的距离及 $\angle APB$ 的度数.
答案
13. 如图，连接$PP'$。$\because \triangle P'AB\cong\triangle PAC$，$\therefore \angle BAP'=\angle CAP$，$AP'=AP=6$，$P'B=PC=10$。$\because \triangle ABC$是等边三角形，$\therefore \angle BAC=\angle CAP+\angle PAB=60^{\circ}$，$\therefore \angle P'AP=\angle BAP'+\angle PAB=60^{\circ}$，$\therefore \triangle P'AP$是等边三角形，$\therefore AP=AP'=P'P=6$，$\angle APP'=60^{\circ}$，$\therefore$点$P$与点$P'$之间的距离为$6$。$\because P'P^{2}+PB^{2}=6^{2}+8^{2}=100$，$P'B^{2}=10^{2}=100$，$\therefore P'P^{2}+PB^{2}=P'B^{2}$，$\therefore \angle P'PB=90^{\circ}$，$\therefore \angle APB=\angle P'PB+\angle APP'=150^{\circ}$
