8. 在$Rt△ABC$中,$∠C=90^{\circ },AC=9,BC=12$,则斜边上中线的长等于 (
A.3
B.6
C.$\frac {36}{5}$
D.$\frac {15}{2}$
D
)A.3
B.6
C.$\frac {36}{5}$
D.$\frac {15}{2}$
答案
8.D
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=9$，$BC=12$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{9^{2}+12^{2}}=\sqrt{81 + 144}=\sqrt{225}=15$。因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以斜边上中线的长为$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×15=\frac{15}{2}$。
D
D
9. (整体思想)在$Rt△ABC$中,$∠C=90^{\circ },a,b,c$分别是$∠A,∠B,∠C$的对边长.若$a+b=14cm,c=10cm$,则$Rt△ABC$的面积为 (
A.$24cm^{2}$
B.$36cm^{2}$
C.$48cm^{2}$
D.$60cm^{2}$
A
)A.$24cm^{2}$
B.$36cm^{2}$
C.$48cm^{2}$
D.$60cm^{2}$
答案
9.A
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，由勾股定理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。已知$a + b = 14\ cm$，$c = 10\ cm$，则$(a + b)^{2}=14^{2}=196$，即$a^{2}+2ab + b^{2}=196$。又因为$a^{2}+b^{2}=c^{2}=10^{2}=100$，所以$100 + 2ab=196$，解得$ab = 48$。故$Rt\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×48 = 24\ cm^{2}$。
A
A
10. 如图,点O在数轴原点处,A,B两点分别对应-3,3,作腰长为4的等腰三角形ABC,连接OC,以点O为圆心,OC长为半径画弧,交数轴的正半轴于点M,则点M对应的实数为
$\sqrt{7}$
.答案
10.$\sqrt{7}$
解析
解：
∵点O为原点，A、B对应-3、3，
∴OA=OB=3，AB=6．
∵△ABC为等腰三角形，腰长为4，
若AC=BC=4，
∵OA=OB，
∴OC⊥AB（三线合一），
在Rt△AOC中，OA=3，AC=4，
由勾股定理得：$OC=\sqrt{AC^2-OA^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$．
∵以O为圆心，OC为半径画弧交正半轴于M，
∴OM=OC=$\sqrt{7}$，
∴点M对应的实数为$\sqrt{7}$．
$\sqrt{7}$
∵点O为原点，A、B对应-3、3，
∴OA=OB=3，AB=6．
∵△ABC为等腰三角形，腰长为4，
若AC=BC=4，
∵OA=OB，
∴OC⊥AB（三线合一），
在Rt△AOC中，OA=3，AC=4，
由勾股定理得：$OC=\sqrt{AC^2-OA^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$．
∵以O为圆心，OC为半径画弧交正半轴于M，
∴OM=OC=$\sqrt{7}$，
∴点M对应的实数为$\sqrt{7}$．
$\sqrt{7}$
11. 如图,在$△ABC$中,按尺规作图的痕迹作直线MN,交边AB于点E.若$AC=5,BE=4,∠B=45^{\circ }$,则AB的长为
7
.答案
11.7
解析
解：由尺规作图痕迹可知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴EB=EC=4，
∴∠ECB=∠B=45°，
∴∠AEC=∠B+∠ECB=90°，
在Rt△AEC中，AE=$\sqrt{AC^2-EC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴AB=AE+BE=3+4=7.
∴EB=EC=4，
∴∠ECB=∠B=45°，
∴∠AEC=∠B+∠ECB=90°，
在Rt△AEC中，AE=$\sqrt{AC^2-EC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴AB=AE+BE=3+4=7.
12. (2024·陕西)如图,在$6×7$的网格中,每个小正方形的边长均为1,$△ABC$和$△DFE$的顶点都在格点上.求证:$∠ABC=∠EFD$.
答案
12.由题意，易得$AB^{2} = EF^{2} = 1^{2} + 2^{2} = 5$，$AC^{2} = ED^{2} = 1^{2} +$
$3^{2} = 10$，$BC^{2} = FD^{2} = 1^{2} + 4^{2} = 17$。$\therefore AB = EF$，$AC = ED$，$BC =$
$FD$。在$\triangle ABC$和$\triangle EFD$中，$\begin{cases}AB = EF, \\ BC = FD, \\ AC = ED,\end{cases}$
(SSS)，$\therefore \angle ABC = \angle EFD$
$3^{2} = 10$，$BC^{2} = FD^{2} = 1^{2} + 4^{2} = 17$。$\therefore AB = EF$，$AC = ED$，$BC =$
$FD$。在$\triangle ABC$和$\triangle EFD$中，$\begin{cases}AB = EF, \\ BC = FD, \\ AC = ED,\end{cases}$
(SSS)，$\therefore \angle ABC = \angle EFD$
13. 如图,将长方形纸片ABCD沿CE折叠,使点B落在边AD上的点F处.若点E在边AB上,$AB=3,BC=5$,求AE的长.
答案
13.$\because$四边形$ABCD$是长方形，$\therefore \angle A = \angle D = 90^{\circ}$，$CD =$
$AB = 3$，$AD = BC = 5$。$\because CE$是折痕，$\therefore FC = BC = 5$，$EF =$
$BE$。$\because$在$Rt\triangle CDF$中，$DF^{2} + CD^{2} = FC^{2}$，$\therefore DF^{2} = FC^{2} -$
$CD^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 16$，$\therefore DF = 4$，$\therefore AF = AD - DF = 1$。设$AE =$
$x$，则$BE = EF = 3 - x$。$\because$在$Rt\triangle AEF$中，$EF^{2} = AE^{2} + AF^{2}$，
$\therefore (3 - x)^{2} = x^{2} + 1^{2}$，解得$x = \frac{4}{3}$，$\therefore AE = \frac{4}{3}$
$AB = 3$，$AD = BC = 5$。$\because CE$是折痕，$\therefore FC = BC = 5$，$EF =$
$BE$。$\because$在$Rt\triangle CDF$中，$DF^{2} + CD^{2} = FC^{2}$，$\therefore DF^{2} = FC^{2} -$
$CD^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 16$，$\therefore DF = 4$，$\therefore AF = AD - DF = 1$。设$AE =$
$x$，则$BE = EF = 3 - x$。$\because$在$Rt\triangle AEF$中，$EF^{2} = AE^{2} + AF^{2}$，
$\therefore (3 - x)^{2} = x^{2} + 1^{2}$，解得$x = \frac{4}{3}$，$\therefore AE = \frac{4}{3}$
