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1. 用直接开平方法解一元二次方程$\frac{1}{4}(x-1)^2=9$，步骤如下：①$(x-1)^2=36$；②$x-1=\pm6$；③$x=\pm7$；④即$x_1=7$，$x_2=-7$。其中开始出错的步骤是（
A.①
B.②
C.③
D.④
C
）。A.①
B.②
C.③
D.④
答案
1. C
解析
【分析】
要判断哪一步开始出错，我们可以按照直接开平方法解一元二次方程的规范步骤，逐一对题干给出的步骤进行验证：首先利用等式性质把方程左边的系数化为1，再开平方得到一次式，最后移项计算方程的根，对比每一步的运算是否正确即可找到错误步骤。
【解析】
我们按规范步骤求解原方程，和题干步骤逐一对比：
1. 原方程为$\frac{1}{4}(x-1)^2=9$，两边同时乘以4，可得$(x-1)^2=36$，对应题干步骤①，运算正确；
2. 对$(x-1)^2=36$两边直接开平方，可得$x-1=\pm6$，对应题干步骤②，运算正确；
3. 接下来移项求解x：将$-1$移到等号右侧，应为$x=1\pm6$，计算得$x_1=1+6=7$，$x_2=1-6=-5$，但题干步骤③写为$x=\pm7$，忽略了移项的常数项1，步骤③运算错误，后续步骤④也随之错误，因此开始出错的是步骤③。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法；移项法则
【点评】
本题考查直接开平方法解一元二次方程的步骤，易错点是开平方后移项时遗漏常数项，解题时需注意每一步运算的严谨性，移项时要注意符号变化。
【难度系数】
0.8
要判断哪一步开始出错，我们可以按照直接开平方法解一元二次方程的规范步骤，逐一对题干给出的步骤进行验证：首先利用等式性质把方程左边的系数化为1，再开平方得到一次式，最后移项计算方程的根，对比每一步的运算是否正确即可找到错误步骤。
【解析】
我们按规范步骤求解原方程，和题干步骤逐一对比：
1. 原方程为$\frac{1}{4}(x-1)^2=9$，两边同时乘以4，可得$(x-1)^2=36$，对应题干步骤①，运算正确；
2. 对$(x-1)^2=36$两边直接开平方，可得$x-1=\pm6$，对应题干步骤②，运算正确；
3. 接下来移项求解x：将$-1$移到等号右侧，应为$x=1\pm6$，计算得$x_1=1+6=7$，$x_2=1-6=-5$，但题干步骤③写为$x=\pm7$，忽略了移项的常数项1，步骤③运算错误，后续步骤④也随之错误，因此开始出错的是步骤③。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法；移项法则
【点评】
本题考查直接开平方法解一元二次方程的步骤，易错点是开平方后移项时遗漏常数项，解题时需注意每一步运算的严谨性，移项时要注意符号变化。
【难度系数】
0.8
2. 已知多项式$x^2 + 8x + \_\_\_\_\_\_$是完全平方式，则横线处可以填的数是(
A.4
B.8
C.16
D.32
C
).A.4
B.8
C.16
D.32
答案
2. C
解析
【分析】
解题需先明确完全平方式的结构特征：完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，即完全平方式包含三项：两个数的平方项，以及两数积的2倍项（符号可正可负）。本题给出的多项式前两项为$x^2+8x$，对应公式中的$a^2+2ab$，首先确定$a=x$，再通过中间的2倍项求出$b$的值，最后常数项为$b^2$，即可算出横线处要填的数。
【解析】
设横线处填写的数为$k$，已知$x^2+8x+k$是完全平方式，对照完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$：
1. 由首项$x^2=a^2$，可得$a=x$；
2. 中间项$8x=2ab$，将$a=x$代入得：$8x=2· x· b$，解得$b=4$；
3. 常数项$k=b^2=4^2=16$。
因此横线处填16，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查对完全平方公式结构的掌握，解题关键是准确对应公式中的各项，避免混淆2倍项和常数项的关系，只要熟记公式就能轻松得分。
【难度系数】
0.85
解题需先明确完全平方式的结构特征：完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，即完全平方式包含三项：两个数的平方项，以及两数积的2倍项（符号可正可负）。本题给出的多项式前两项为$x^2+8x$，对应公式中的$a^2+2ab$，首先确定$a=x$，再通过中间的2倍项求出$b$的值，最后常数项为$b^2$，即可算出横线处要填的数。
【解析】
设横线处填写的数为$k$，已知$x^2+8x+k$是完全平方式，对照完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$：
1. 由首项$x^2=a^2$，可得$a=x$；
2. 中间项$8x=2ab$，将$a=x$代入得：$8x=2· x· b$，解得$b=4$；
3. 常数项$k=b^2=4^2=16$。
因此横线处填16，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查对完全平方公式结构的掌握，解题关键是准确对应公式中的各项，避免混淆2倍项和常数项的关系，只要熟记公式就能轻松得分。
【难度系数】
0.85
3. 用配方法解方程$x^2+8x-9=0$时，此方程可变形为(
A.$(x+4)^2=7$
B.$(x+4)^2=25$
C.$(x+4)^2=9$
D.$(x+4)^2=-7$
B
).A.$(x+4)^2=7$
B.$(x+4)^2=25$
C.$(x+4)^2=9$
D.$(x+4)^2=-7$
答案
3. B
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题思路如下：首先观察方程，二次项系数已经是1，不需要系数化1；第一步先将常数项移到等号右侧，第二步给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧变形为完全平方式，计算右侧的结果后和选项对比即可得到答案。
【解析】
解：对原方程$x^2+8x-9=0$进行移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2+8x=9$
一次项系数为8，其一半的平方为$(\frac{8}{2})^2=16$，给等号左右两边同时加16，得：
$x^2+8x+16=9+16$
根据完全平方公式，左侧可变形为$(x+4)^2$，右侧计算得25，即：
$(x+4)^2=25$
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础题型，核心是掌握配方法的操作步骤，尤其要注意二次项系数为1时，配方需添加的常数是一次项系数一半的平方，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题思路如下：首先观察方程，二次项系数已经是1，不需要系数化1；第一步先将常数项移到等号右侧，第二步给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧变形为完全平方式，计算右侧的结果后和选项对比即可得到答案。
【解析】
解：对原方程$x^2+8x-9=0$进行移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2+8x=9$
一次项系数为8，其一半的平方为$(\frac{8}{2})^2=16$，给等号左右两边同时加16，得：
$x^2+8x+16=9+16$
根据完全平方公式，左侧可变形为$(x+4)^2$，右侧计算得25，即：
$(x+4)^2=25$
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础题型，核心是掌握配方法的操作步骤，尤其要注意二次项系数为1时，配方需添加的常数是一次项系数一半的平方，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
4. 配方法解方程$2x^2 -8x +6=0$的部分步骤过程如下：
则①，②处应分别填入的数是(
A.$3, 2^2$
B.$-3, 2^2$
C.$3, 4^2$
D.$-3, 4^2$
则①，②处应分别填入的数是(
B
).A.$3, 2^2$
B.$-3, 2^2$
C.$3, 4^2$
D.$-3, 4^2$
答案
4. B
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程的步骤，解题时按照配方法的操作顺序逐步推导即可：首先处理第二步，将第一步得到的方程两边同时除以二次项系数2，就能算出①处的数；再处理第三步，配方时需给方程两边加上一次项系数一半的平方，结合第三步右边的结果为1，就能算出②处的数，最后匹配选项即可。
【解析】
1. 计算①处的数：
第一步移项后方程为$2x^2-8x=-6$，要将二次项系数化为1，给方程两边同时除以2：
左边：$(2x^2-8x)÷2=x^2-4x$，右边：$-6÷2=-3$，因此①处填$-3$。
2. 计算②处的数：
配方的规则是给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，此处一次项为$-4x$，系数为$-4$，它的一半是$-2$，平方为$(-2)^2=2^2$。
给$x^2-4x=-3$两边同时加$2^2$，左边变为$x^2-4x+2^2$，右边变为$-3+2^2=-3+4=1$，恰好和第三步给出的右边结果一致，因此②处填$2^2$。
综上，①为$-3$，②为$2^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，等式的性质
【点评】
本题是配方法解方程的基础考查题，核心是掌握配方法的标准操作步骤，尤其要注意配方时需给方程两边同时加一次项系数一半的平方，避免出现只加左边的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法解一元二次方程的步骤，解题时按照配方法的操作顺序逐步推导即可：首先处理第二步，将第一步得到的方程两边同时除以二次项系数2，就能算出①处的数；再处理第三步，配方时需给方程两边加上一次项系数一半的平方，结合第三步右边的结果为1，就能算出②处的数，最后匹配选项即可。
【解析】
1. 计算①处的数：
第一步移项后方程为$2x^2-8x=-6$，要将二次项系数化为1，给方程两边同时除以2：
左边：$(2x^2-8x)÷2=x^2-4x$，右边：$-6÷2=-3$，因此①处填$-3$。
2. 计算②处的数：
配方的规则是给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，此处一次项为$-4x$，系数为$-4$，它的一半是$-2$，平方为$(-2)^2=2^2$。
给$x^2-4x=-3$两边同时加$2^2$，左边变为$x^2-4x+2^2$，右边变为$-3+2^2=-3+4=1$，恰好和第三步给出的右边结果一致，因此②处填$2^2$。
综上，①为$-3$，②为$2^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，等式的性质
【点评】
本题是配方法解方程的基础考查题，核心是掌握配方法的标准操作步骤，尤其要注意配方时需给方程两边同时加一次项系数一半的平方，避免出现只加左边的错误。
【难度系数】
0.8
5. 用配方法解下列方程：
(1)$x^2 + 4x = 0$；
(2)$x^2 + 6x - 1 = 0$；
(3)$x^2 + 5x + 2 = 0$；
(4)$2x^2 - 5x + 1 = 0$。
(1)$x^2 + 4x = 0$；
(2)$x^2 + 6x - 1 = 0$；
(3)$x^2 + 5x + 2 = 0$；
(4)$2x^2 - 5x + 1 = 0$。
答案
(1) 配方结果为$(x+2)^2=4$，解得$x_1=0$，$x_2=-4$。
(2) 配方结果为$(x+3)^2=10$，解得$x_1=-3+\sqrt{10}$，$x_2=-3-\sqrt{10}$。
(3) 配方结果为$(x+\frac{5}{2})^2=\frac{17}{4}$，解得$x_1=-\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}$，$x_2=-\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}$。
(4) 配方结果为$(x-\frac{5}{4})^2=\frac{17}{16}$，解得$x_1=\frac{5}{4}+\frac{\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{5}{4}-\frac{\sqrt{17}}{4}$。
(2) 配方结果为$(x+3)^2=10$，解得$x_1=-3+\sqrt{10}$，$x_2=-3-\sqrt{10}$。
(3) 配方结果为$(x+\frac{5}{2})^2=\frac{17}{4}$，解得$x_1=-\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}$，$x_2=-\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}$。
(4) 配方结果为$(x-\frac{5}{4})^2=\frac{17}{16}$，解得$x_1=\frac{5}{4}+\frac{\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{5}{4}-\frac{\sqrt{17}}{4}$。
解析
【分析】
解此类题首先要明确配方法解一元二次方程的通用步骤：①若二次项系数不为1，先将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；②移项，将常数项移到等号右侧；③配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把等号左侧配成完全平方式；④用直接开平方法求解方程。我们按照以上步骤逐个求解4个方程即可。
【解析】
(1) 方程$x^2 + 4x = 0$二次项系数已经为1，无需化系数，直接配方：
一次项系数为4，一半为2，平方为4，方程两边同时加4得：
$x^2+4x+4=4$，即$(x+2)^2=4$
开平方得$x+2=\pm2$
当$x+2=2$时，$x=0$；当$x+2=-2$时，$x=-4$。
(2) 先移项：$x^2 + 6x = 1$
一次项系数为6，一半为3，平方为9，方程两边同时加9得：
$x^2+6x+9=1+9$，即$(x+3)^2=10$
开平方得$x+3=\pm\sqrt{10}$
解得$x=-3\pm\sqrt{10}$。
(3) 先移项：$x^2 + 5x = -2$
一次项系数为5，一半为$\frac{5}{2}$，平方为$\frac{25}{4}$，方程两边同时加$\frac{25}{4}$得：
$x^2+5x+\frac{25}{4}=-2+\frac{25}{4}$，即$(x+\frac{5}{2})^2=\frac{17}{4}$
开平方得$x+\frac{5}{2}=\pm\frac{\sqrt{17}}{2}$
解得$x=-\frac{5}{2}\pm\frac{\sqrt{17}}{2}$。
(4) 先把二次项系数化为1，方程两边同时除以2得：
$x^2-\frac{5}{2}x+\frac{1}{2}=0$，移项得$x^2-\frac{5}{2}x=-\frac{1}{2}$
一次项系数为$-\frac{5}{2}$，一半为$-\frac{5}{4}$，平方为$\frac{25}{16}$，方程两边同时加$\frac{25}{16}$得：
$x^2-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{25}{16}$，即$(x-\frac{5}{4})^2=\frac{17}{16}$
开平方得$x-\frac{5}{4}=\pm\frac{\sqrt{17}}{4}$
解得$x=\frac{5}{4}\pm\frac{\sqrt{17}}{4}$。
【答案】
(1) 配方结果为$(x+2)^2=4$，解得$x_1=0$，$x_2=-4$。
(2) 配方结果为$(x+3)^2=10$，解得$x_1=-3+\sqrt{10}$，$x_2=-3-\sqrt{10}$。
(3) 配方结果为$(x+\frac{5}{2})^2=\frac{17}{4}$，解得$x_1=-\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}$，$x_2=-\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}$。
(4) 配方结果为$(x-\frac{5}{4})^2=\frac{17}{16}$，解得$x_1=\frac{5}{4}+\frac{\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{5}{4}-\frac{\sqrt{17}}{4}$。
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，覆盖了二次项系数为1和不为1的两种常见题型，能有效检验对配方法操作步骤的掌握程度，解题时要注意配方时需给等式两边同时加同一个数，二次项系数不为1时优先化1再进行后续操作，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
解此类题首先要明确配方法解一元二次方程的通用步骤：①若二次项系数不为1，先将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；②移项，将常数项移到等号右侧；③配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把等号左侧配成完全平方式；④用直接开平方法求解方程。我们按照以上步骤逐个求解4个方程即可。
【解析】
(1) 方程$x^2 + 4x = 0$二次项系数已经为1，无需化系数，直接配方：
一次项系数为4，一半为2，平方为4，方程两边同时加4得：
$x^2+4x+4=4$，即$(x+2)^2=4$
开平方得$x+2=\pm2$
当$x+2=2$时，$x=0$；当$x+2=-2$时，$x=-4$。
(2) 先移项：$x^2 + 6x = 1$
一次项系数为6，一半为3，平方为9，方程两边同时加9得：
$x^2+6x+9=1+9$，即$(x+3)^2=10$
开平方得$x+3=\pm\sqrt{10}$
解得$x=-3\pm\sqrt{10}$。
(3) 先移项：$x^2 + 5x = -2$
一次项系数为5，一半为$\frac{5}{2}$，平方为$\frac{25}{4}$，方程两边同时加$\frac{25}{4}$得：
$x^2+5x+\frac{25}{4}=-2+\frac{25}{4}$，即$(x+\frac{5}{2})^2=\frac{17}{4}$
开平方得$x+\frac{5}{2}=\pm\frac{\sqrt{17}}{2}$
解得$x=-\frac{5}{2}\pm\frac{\sqrt{17}}{2}$。
(4) 先把二次项系数化为1，方程两边同时除以2得：
$x^2-\frac{5}{2}x+\frac{1}{2}=0$，移项得$x^2-\frac{5}{2}x=-\frac{1}{2}$
一次项系数为$-\frac{5}{2}$，一半为$-\frac{5}{4}$，平方为$\frac{25}{16}$，方程两边同时加$\frac{25}{16}$得：
$x^2-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{25}{16}$，即$(x-\frac{5}{4})^2=\frac{17}{16}$
开平方得$x-\frac{5}{4}=\pm\frac{\sqrt{17}}{4}$
解得$x=\frac{5}{4}\pm\frac{\sqrt{17}}{4}$。
【答案】
(1) 配方结果为$(x+2)^2=4$，解得$x_1=0$，$x_2=-4$。
(2) 配方结果为$(x+3)^2=10$，解得$x_1=-3+\sqrt{10}$，$x_2=-3-\sqrt{10}$。
(3) 配方结果为$(x+\frac{5}{2})^2=\frac{17}{4}$，解得$x_1=-\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}$，$x_2=-\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}$。
(4) 配方结果为$(x-\frac{5}{4})^2=\frac{17}{16}$，解得$x_1=\frac{5}{4}+\frac{\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{5}{4}-\frac{\sqrt{17}}{4}$。
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，覆盖了二次项系数为1和不为1的两种常见题型，能有效检验对配方法操作步骤的掌握程度，解题时要注意配方时需给等式两边同时加同一个数，二次项系数不为1时优先化1再进行后续操作，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
