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3. 定义：方程$cx^2+bx+a=0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的“倒方程”，其中$a$，$b$，$c$为常数，且$a≠0$，$c≠0$. 根据此定义回答下列问题：
(1)一元二次方程$-4x^2+3x+1=0$的“倒方程”是________；
(2)若$x=-1$是一元二次方程$x^2-2x+c=0$的“倒方程”的解，求出$c$的值；
(3)若$m$是一元二次方程$-6x^2+x+1=0$的“倒方程”的一个实数根，则$m^3+m^2-6m+2025$的值为________.
(1)一元二次方程$-4x^2+3x+1=0$的“倒方程”是________；
(2)若$x=-1$是一元二次方程$x^2-2x+c=0$的“倒方程”的解，求出$c$的值；
(3)若$m$是一元二次方程$-6x^2+x+1=0$的“倒方程”的一个实数根，则$m^3+m^2-6m+2025$的值为________.
答案
3. (1)$x^2+3x-4=0$
(2)依题意，$x=-1$是一元二次方程$cx^2-2x+1=0$的解，代入得$c=-3$.
(3)2025
(2)依题意，$x=-1$是一元二次方程$cx^2-2x+1=0$的解，代入得$c=-3$.
(3)2025
解析
【分析】
本题围绕“倒方程”的新定义展开，解题核心是准确理解定义：将原一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的二次项系数$a$和常数项$c$互换，即可得到其倒方程$cx^2+bx+a=0$。
(1) 直接对照定义，找出原方程的系数，互换二次项系数和常数项即可写出倒方程；
(2) 先根据定义写出原方程的倒方程，再将$x=-1$代入倒方程，得到关于$c$的一元一次方程，解方程即可求$c$；
(3) 先写出原方程的倒方程，利用方程根的定义得到$m$满足的关系式，再对所求代数式变形，整体代入求值即可。
【解析】
(1) 原方程$-4x^2+3x+1=0$中，二次项系数为$-4$，一次项系数为$3$，常数项为$1$，根据倒方程定义，互换二次项系数和常数项，得倒方程为$x^2+3x-4=0$。
(2) 原方程$x^2-2x+c=0$的二次项系数为$1$，一次项系数为$-2$，常数项为$c$，因此它的倒方程为$cx^2-2x+1=0$。
把$x=-1$代入倒方程得：
$c×(-1)^2 -2×(-1)+1=0$
化简得$c+2+1=0$
解得$c=-3$。
(3) 原方程$-6x^2+x+1=0$的二次项系数为$-6$，一次项系数为$1$，常数项为$1$，因此它的倒方程为$x^2+x-6=0$。
因为$m$是该倒方程的实数根，所以$m^2+m-6=0$，即$m^2+m=6$。
对所求代数式变形：
$m^3+m^2-6m+2025=m(m^2+m)-6m+2025$
将$m^2+m=6$代入得：
原式$=6m-6m+2025=2025$。
【答案】
(1)$x^2+3x-4=0$；(2)$c=-3$；(3)$2025$
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的解；代数式求值
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题关键是准确理解新定义的规则，再结合一元二次方程解的性质、整体代入法求解，侧重考查对新定义的理解能力和基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.75
本题围绕“倒方程”的新定义展开，解题核心是准确理解定义：将原一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的二次项系数$a$和常数项$c$互换，即可得到其倒方程$cx^2+bx+a=0$。
(1) 直接对照定义，找出原方程的系数，互换二次项系数和常数项即可写出倒方程；
(2) 先根据定义写出原方程的倒方程，再将$x=-1$代入倒方程，得到关于$c$的一元一次方程，解方程即可求$c$；
(3) 先写出原方程的倒方程，利用方程根的定义得到$m$满足的关系式，再对所求代数式变形，整体代入求值即可。
【解析】
(1) 原方程$-4x^2+3x+1=0$中，二次项系数为$-4$，一次项系数为$3$，常数项为$1$，根据倒方程定义，互换二次项系数和常数项，得倒方程为$x^2+3x-4=0$。
(2) 原方程$x^2-2x+c=0$的二次项系数为$1$，一次项系数为$-2$，常数项为$c$，因此它的倒方程为$cx^2-2x+1=0$。
把$x=-1$代入倒方程得：
$c×(-1)^2 -2×(-1)+1=0$
化简得$c+2+1=0$
解得$c=-3$。
(3) 原方程$-6x^2+x+1=0$的二次项系数为$-6$，一次项系数为$1$，常数项为$1$，因此它的倒方程为$x^2+x-6=0$。
因为$m$是该倒方程的实数根，所以$m^2+m-6=0$，即$m^2+m=6$。
对所求代数式变形：
$m^3+m^2-6m+2025=m(m^2+m)-6m+2025$
将$m^2+m=6$代入得：
原式$=6m-6m+2025=2025$。
【答案】
(1)$x^2+3x-4=0$；(2)$c=-3$；(3)$2025$
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的解；代数式求值
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题关键是准确理解新定义的规则，再结合一元二次方程解的性质、整体代入法求解，侧重考查对新定义的理解能力和基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.75
25.2 降次——解一元二次方程
内容提要
1. 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法。
内容提要
1. 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法。
答案
1. 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法。
解析
【分析】
本题考查配方法的基础定义，属于识记类题型，解题时只需要回忆教材中关于配方法的概念表述，直接对应填写即可，不需要额外计算推导。
【解析】
根据教材中配方法的明确定义，直接对应题干空缺内容填写即可，不需要额外变形或运算。
【答案】
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法。
【知识点】
配方法的定义；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础概念考查题，是学习配方法解一元二次方程的入门知识点，掌握该定义是后续运用配方法解方程、推导求根公式的重要前提。
【难度系数】
0.9
本题考查配方法的基础定义，属于识记类题型，解题时只需要回忆教材中关于配方法的概念表述，直接对应填写即可，不需要额外计算推导。
【解析】
根据教材中配方法的明确定义，直接对应题干空缺内容填写即可，不需要额外变形或运算。
【答案】
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法。
【知识点】
配方法的定义；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础概念考查题，是学习配方法解一元二次方程的入门知识点，掌握该定义是后续运用配方法解方程、推导求根公式的重要前提。
【难度系数】
0.9
2. 一元二次方程的根的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 可以判别方程的根的情况：
(1) 当 $\Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数根；
(2) 当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根；
(3) 当 $\Delta ＜ 0$ 时，方程没有实数根。
(1) 当 $\Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数根；
(2) 当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根；
(3) 当 $\Delta ＜ 0$ 时，方程没有实数根。
答案
(1) 当 $\Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数根；
(2) 当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根；
(3) 当 $\Delta ＜ 0$ 时，方程没有实数根。
(2) 当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根；
(3) 当 $\Delta ＜ 0$ 时，方程没有实数根。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的基本性质，解题可从配方法推导一元二次方程求根公式的过程切入，结合完全平方的非负性与平方根的存在条件，理解判别式Δ的取值和方程根的情况的对应关系，直接对应判别式的三类结论即可完成作答。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），通过配方法变形可得到：
1. 移项：$ax^2+bx=-c$；
2. 二次项系数化为1：$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$；
3. 配方，左右两边同时加上一次项系数一半的平方：$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$；
4. 整理得：$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$。
因为$a≠0$，所以$4a^2＞0$，等式左侧是完全平方式，取值非负，因此右侧分式的符号由分子$b^2-4ac$（即判别式$\Delta$）决定：
(1) 当$\Delta＞0$时，右侧$\frac{\Delta}{4a^2}＞0$，方程可开平方得到两个不同的实数解，即方程有两个不相等的实数根；
(2) 当$\Delta=0$时，右侧$\frac{\Delta}{4a^2}=0$，可得$x=-\frac{b}{2a}$，即方程有两个相等的实数根；
(3) 当$\Delta＜0$时，右侧$\frac{\Delta}{4a^2}＜0$，完全平方式不可能为负数，因此方程没有实数根。
【答案】
(1) 当 $\Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数根；
(2) 当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根；
(3) 当 $\Delta ＜ 0$ 时，方程没有实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；配方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对一元二次方程根的判别式相关结论的理解与记忆，该知识点是解决一元二次方程根的存在性判定、含参一元二次方程参数取值范围求解等问题的核心依据，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根的判别式的基本性质，解题可从配方法推导一元二次方程求根公式的过程切入，结合完全平方的非负性与平方根的存在条件，理解判别式Δ的取值和方程根的情况的对应关系，直接对应判别式的三类结论即可完成作答。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），通过配方法变形可得到：
1. 移项：$ax^2+bx=-c$；
2. 二次项系数化为1：$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$；
3. 配方，左右两边同时加上一次项系数一半的平方：$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$；
4. 整理得：$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$。
因为$a≠0$，所以$4a^2＞0$，等式左侧是完全平方式，取值非负，因此右侧分式的符号由分子$b^2-4ac$（即判别式$\Delta$）决定：
(1) 当$\Delta＞0$时，右侧$\frac{\Delta}{4a^2}＞0$，方程可开平方得到两个不同的实数解，即方程有两个不相等的实数根；
(2) 当$\Delta=0$时，右侧$\frac{\Delta}{4a^2}=0$，可得$x=-\frac{b}{2a}$，即方程有两个相等的实数根；
(3) 当$\Delta＜0$时，右侧$\frac{\Delta}{4a^2}＜0$，完全平方式不可能为负数，因此方程没有实数根。
【答案】
(1) 当 $\Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数根；
(2) 当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根；
(3) 当 $\Delta ＜ 0$ 时，方程没有实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；配方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对一元二次方程根的判别式相关结论的理解与记忆，该知识点是解决一元二次方程根的存在性判定、含参一元二次方程参数取值范围求解等问题的核心依据，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
3. 当$\Delta ≥ 0$时，方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a ≠ 0$）的实数根可以写为$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，这种解一元二次方程的方法叫作公式法。
答案
当$\Delta ≥ 0$时，方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a ≠ 0$）的实数根可以写为$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，这种解一元二次方程的方法叫作公式法。
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程公式法的基本定义，解题时可先回忆求根公式的推导逻辑：首先明确一元二次方程一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，只有当根的判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$时，方程才有实数根，通过配方法推导可得到实根的通用表达式，直接利用该表达式求解方程的方法就是公式法，题目表述与标准定义完全匹配。
【解析】
我们可以通过配方法推导求根公式验证该定义的准确性：
1. 对一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$移项，得$ax^2+bx=-c$；
2. 二次项系数化为1，得$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$；
3. 方程两边同时加上$(\frac{b}{2a})^2$配方，得$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}$，即$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$；
4. 当$\Delta=b^2-4ac≥0$时，右边为非负数，开方后移项可得$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；
我们把这种直接利用上述求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法，与题目表述一致。
【答案】
当$\Delta ≥ 0$时，方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a ≠ 0$）的实数根可以写为$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，这种解一元二次方程的方法叫作公式法。
【知识点】
一元二次方程求根公式，公式法解一元二次方程，根的判别式
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心是对公式法定义的识记与理解，掌握求根公式的推导过程和适用前提，是后续熟练运用公式法解方程的基础。
【难度系数】
0.9
这道题考查一元二次方程公式法的基本定义，解题时可先回忆求根公式的推导逻辑：首先明确一元二次方程一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，只有当根的判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$时，方程才有实数根，通过配方法推导可得到实根的通用表达式，直接利用该表达式求解方程的方法就是公式法，题目表述与标准定义完全匹配。
【解析】
我们可以通过配方法推导求根公式验证该定义的准确性：
1. 对一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$移项，得$ax^2+bx=-c$；
2. 二次项系数化为1，得$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$；
3. 方程两边同时加上$(\frac{b}{2a})^2$配方，得$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}$，即$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$；
4. 当$\Delta=b^2-4ac≥0$时，右边为非负数，开方后移项可得$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；
我们把这种直接利用上述求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法，与题目表述一致。
【答案】
当$\Delta ≥ 0$时，方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a ≠ 0$）的实数根可以写为$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，这种解一元二次方程的方法叫作公式法。
【知识点】
一元二次方程求根公式，公式法解一元二次方程，根的判别式
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心是对公式法定义的识记与理解，掌握求根公式的推导过程和适用前提，是后续熟练运用公式法解方程的基础。
【难度系数】
0.9
4. 先分解因式，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
答案
4. 先分解因式，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
解析
【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程的概念，解题时可结合因式分解法的原理推导概念：我们知道若两个整式的乘积为0，则至少其中一个整式的值为0，基于这个原理，解一元二次方程时，先把方程整理为右边为0的形式，再将左边分解成两个一次因式的乘积，之后分别令两个一次因式等于0，就能得到两个一元一次方程，将二次方程降次为一次方程求解，这种方法就是因式分解法，题干表述完全对应该概念的内容，直接核对即可。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的定义：
1. 先将一元二次方程变形为右边等于0的形式；
2. 把方程左边的二次多项式分解为两个一次整式的乘积；
3. 令两个一次整式分别等于0，得到两个一元一次方程，实现将二次方程降次的目的，进而求解。
题干的表述完整准确地描述了该方法的操作流程和核心逻辑，符合因式分解法的定义。
【答案】
先分解因式，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 一元二次方程降次
3. 因式分解的应用
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求大家理解因式分解法的核心原理和操作步骤，体会解高次方程时的降次转化思想，熟练掌握基础概念才能灵活运用方法求解各类一元二次方程。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解法解一元二次方程的概念，解题时可结合因式分解法的原理推导概念：我们知道若两个整式的乘积为0，则至少其中一个整式的值为0，基于这个原理，解一元二次方程时，先把方程整理为右边为0的形式，再将左边分解成两个一次因式的乘积，之后分别令两个一次因式等于0，就能得到两个一元一次方程，将二次方程降次为一次方程求解，这种方法就是因式分解法，题干表述完全对应该概念的内容，直接核对即可。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的定义：
1. 先将一元二次方程变形为右边等于0的形式；
2. 把方程左边的二次多项式分解为两个一次整式的乘积；
3. 令两个一次整式分别等于0，得到两个一元一次方程，实现将二次方程降次的目的，进而求解。
题干的表述完整准确地描述了该方法的操作流程和核心逻辑，符合因式分解法的定义。
【答案】
先分解因式，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 一元二次方程降次
3. 因式分解的应用
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求大家理解因式分解法的核心原理和操作步骤，体会解高次方程时的降次转化思想，熟练掌握基础概念才能灵活运用方法求解各类一元二次方程。
【难度系数】
0.9
5. 一元二次方程的根与系数的关系：对一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，若该方程的两个根分别为$x_1$，$x_2$，则$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
答案
一元二次方程的根与系数的关系：对一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，若该方程的两个根分别为$x_1$，$x_2$，则$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
解析
【分析】
要推导一元二次方程根与系数的关系，可借助已学的一元二次方程求根公式，先写出方程两个实根的表达式，再分别计算两根之和与两根之积，通过代数化简消去根号部分，即可得到根与系数的对应关系。推导时注意先确认方程有两个实根的前提是判别式$\Delta≥0$，计算两根乘积时利用平方差公式可简化运算。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$时，方程有两个实数根$x_1$、$x_2$，由求根公式可得：
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
1. 计算两根之和：
$\begin{aligned}x_1 + x_2 &= \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\&= \frac{-b + \sqrt{\Delta} -b - \sqrt{\Delta}}{2a}\quad(\Delta = b^2-4ac)\\&= \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}\end{aligned}$
2. 计算两根之积：
$\begin{aligned}x_1x_2 &= \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} · \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\&= \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2}{(2a)^2}\\&= \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2}\\&= \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}\end{aligned}$
综上可得题目给出的根与系数关系结论。
【答案】
一元二次方程的根与系数的关系：对一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，若该方程的两个根分别为$x_1$，$x_2$，则$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
【知识点】
1. 韦达定理（根与系数关系）
2. 一元二次方程求根公式
3. 代数式化简
【点评】
该结论是一元二次方程的核心基础结论之一，无需解方程即可直接得到两根的和与积，在代数式求值、方程构造等题型中应用十分广泛，需熟练掌握其推导过程和结论内容。
【难度系数】
0.85
要推导一元二次方程根与系数的关系，可借助已学的一元二次方程求根公式，先写出方程两个实根的表达式，再分别计算两根之和与两根之积，通过代数化简消去根号部分，即可得到根与系数的对应关系。推导时注意先确认方程有两个实根的前提是判别式$\Delta≥0$，计算两根乘积时利用平方差公式可简化运算。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$时，方程有两个实数根$x_1$、$x_2$，由求根公式可得：
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
1. 计算两根之和：
$\begin{aligned}x_1 + x_2 &= \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\&= \frac{-b + \sqrt{\Delta} -b - \sqrt{\Delta}}{2a}\quad(\Delta = b^2-4ac)\\&= \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}\end{aligned}$
2. 计算两根之积：
$\begin{aligned}x_1x_2 &= \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} · \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\&= \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2}{(2a)^2}\\&= \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2}\\&= \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}\end{aligned}$
综上可得题目给出的根与系数关系结论。
【答案】
一元二次方程的根与系数的关系：对一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，若该方程的两个根分别为$x_1$，$x_2$，则$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
【知识点】
1. 韦达定理（根与系数关系）
2. 一元二次方程求根公式
3. 代数式化简
【点评】
该结论是一元二次方程的核心基础结论之一，无需解方程即可直接得到两根的和与积，在代数式求值、方程构造等题型中应用十分广泛，需熟练掌握其推导过程和结论内容。
【难度系数】
0.85
