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6. 已知$x$，$x+2$是两个连续的偶数，它们的积是288，求这两个偶数.
答案
依题意，$x(x+2)=288$，解得$x_1=16$，$x_2=-18$，所以这两个偶数为16，18或$-18$，$-16$。
解析
【分析】
解题首先抓住题目核心等量关系：两个连续偶数的乘积为288，已知较小偶数为x，则较大偶数为x+2，据此可列出一元二次方程；接下来用配方法求解该一元二次方程，得到x的两个解后，分别计算对应的x+2的值即可，注意偶数包含正偶数和负偶数，不要遗漏负根对应的解。
【解析】
解：根据两个连续偶数的积为288，列方程得：
$x(x+2)=288$
整理方程：$x^2 + 2x = 288$
配方，等式两边同时加1得：$x^2 + 2x + 1 = 288 + 1$
即：$(x+1)^2 = 289$
开平方得：$x+1 = ±17$
当$x+1=17$时，解得$x_1=16$，对应较大偶数为$16+2=18$；
当$x+1=-17$时，解得$x_2=-18$，对应较大偶数为$-18+2=-16$。
【答案】
这两个偶数为16，18或$-18$，$-16$
【知识点】
一元二次方程的应用，配方法解方程，偶数的概念
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，解题关键是找准等量关系列方程，需要注意偶数包含正偶数、负偶数和0，避免仅考虑正偶数导致漏解，同时要熟练掌握配方法解一元二次方程的操作步骤。
【难度系数】
0.7
解题首先抓住题目核心等量关系：两个连续偶数的乘积为288，已知较小偶数为x，则较大偶数为x+2，据此可列出一元二次方程；接下来用配方法求解该一元二次方程，得到x的两个解后，分别计算对应的x+2的值即可，注意偶数包含正偶数和负偶数，不要遗漏负根对应的解。
【解析】
解：根据两个连续偶数的积为288，列方程得：
$x(x+2)=288$
整理方程：$x^2 + 2x = 288$
配方，等式两边同时加1得：$x^2 + 2x + 1 = 288 + 1$
即：$(x+1)^2 = 289$
开平方得：$x+1 = ±17$
当$x+1=17$时，解得$x_1=16$，对应较大偶数为$16+2=18$；
当$x+1=-17$时，解得$x_2=-18$，对应较大偶数为$-18+2=-16$。
【答案】
这两个偶数为16，18或$-18$，$-16$
【知识点】
一元二次方程的应用，配方法解方程，偶数的概念
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，解题关键是找准等量关系列方程，需要注意偶数包含正偶数、负偶数和0，避免仅考虑正偶数导致漏解，同时要熟练掌握配方法解一元二次方程的操作步骤。
【难度系数】
0.7
1. 已知a，b，c是三边都不相等的△ABC的三边长，且满足$a^2 + b^2 = 6a + 8b - 25$，则最长边c的取值范围是(
A.$1 ＜ c ＜ 7$
B.$4 ≤ c ＜ 7$
C.$4 ＜ c ＜ 7$
D.$1 ＜ c ≤ 4$
C
).A.$1 ＜ c ＜ 7$
B.$4 ≤ c ＜ 7$
C.$4 ＜ c ＜ 7$
D.$1 ＜ c ≤ 4$
答案
1. C
解析
【分析】
首先观察已知等式的结构，等式含有a、b的二次项和一次项，优先考虑用配方法将等式变形为完全平方和为0的形式，利用非负数的性质求出a、b的长度；再根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得到c的初步范围，最后结合“c是最长边、三边都不相等”的限制条件，进一步缩小c的范围即可得到答案。
【解析】
1. 对已知等式变形：
将等式右侧的项移到左侧，得$a^2 -6a + b^2 -8b +25=0$。
2. 凑完全平方：
把25拆分为9+16，分别和a、b的项凑完全平方，可得：
$a^2 -6a +9 + b^2 -8b +16=0$，即$(a-3)^2 + (b-4)^2=0$。
3. 求a、b的值：
根据偶次幂的非负性，$(a-3)^2≥0$，$(b-4)^2≥0$，两个非负数的和为0，则每一项都为0，因此：
$a-3=0$，解得$a=3$；$b-4=0$，解得$b=4$。
4. 结合三角形三边关系和限定条件求c的范围：
① 根据三边关系，两边之差＜第三边＜两边之和，得$4-3 ＜ c ＜ 4+3$，即$1＜c＜7$；
② 因为c是最长边，且三边都不相等，所以c要大于a、b中较大的数4，即$c＞4$。
综合两个条件可得，最长边c的取值范围是$4 ＜ c ＜ 7$。
【答案】
C
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题综合了代数变形与几何性质的考点，解题的关键是先通过配方法求出a、b的定值，再结合题干中“最长边”“三边都不相等”的限定条件筛选c的范围，解题时要注意不要漏看限定条件导致范围判断错误。
【难度系数】
0.7
首先观察已知等式的结构，等式含有a、b的二次项和一次项，优先考虑用配方法将等式变形为完全平方和为0的形式，利用非负数的性质求出a、b的长度；再根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得到c的初步范围，最后结合“c是最长边、三边都不相等”的限制条件，进一步缩小c的范围即可得到答案。
【解析】
1. 对已知等式变形：
将等式右侧的项移到左侧，得$a^2 -6a + b^2 -8b +25=0$。
2. 凑完全平方：
把25拆分为9+16，分别和a、b的项凑完全平方，可得：
$a^2 -6a +9 + b^2 -8b +16=0$，即$(a-3)^2 + (b-4)^2=0$。
3. 求a、b的值：
根据偶次幂的非负性，$(a-3)^2≥0$，$(b-4)^2≥0$，两个非负数的和为0，则每一项都为0，因此：
$a-3=0$，解得$a=3$；$b-4=0$，解得$b=4$。
4. 结合三角形三边关系和限定条件求c的范围：
① 根据三边关系，两边之差＜第三边＜两边之和，得$4-3 ＜ c ＜ 4+3$，即$1＜c＜7$；
② 因为c是最长边，且三边都不相等，所以c要大于a、b中较大的数4，即$c＞4$。
综合两个条件可得，最长边c的取值范围是$4 ＜ c ＜ 7$。
【答案】
C
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题综合了代数变形与几何性质的考点，解题的关键是先通过配方法求出a、b的定值，再结合题干中“最长边”“三边都不相等”的限定条件筛选c的范围，解题时要注意不要漏看限定条件导致范围判断错误。
【难度系数】
0.7
2. 若方程$x^2 + 4x -16=0$能配方成$(x+p)^2 + q=0$的形式，则直线$y=px+q$不经过的象限是
第二象限
。答案
2. 第二象限
解析
【分析】
解题分两步思考：第一步先利用配方法将给定的一元二次方程变形为$(x+p)^2+q=0$的形式，对比系数得到$p$、$q$的值；第二步将$p$、$q$代入直线解析式，根据一次函数的一次项系数、常数项的正负判断图像经过的象限，即可得到不经过的象限。配方法核心是给二次项系数为1的式子加一次项系数一半的平方凑完全平方，一次函数象限判断可直接通过$k$、$b$的符号推导。
【解析】
1. 对一元二次方程$x^2 + 4x -16=0$配方：
移项得：$x^2 + 4x = 16$
两边加一次项系数一半的平方$(\frac{4}{2})^2=4$，得：
$x^2 +4x +4 =16 +4$
整理为完全平方式：$(x+2)^2 =20$
移项得：$(x+2)^2 -20 =0$
2. 对比$(x+p)^2 +q=0$，可得$p=2$，$q=-20$
3. 直线解析式为$y=2x-20$，其中一次项系数$k=2＞0$，直线呈上升趋势，过第一、三象限；常数项$b=-20＜0$，直线与y轴交于负半轴，还过第四象限，因此直线不经过第二象限。
【答案】
第二象限
【知识点】
配方法解一元二次方程；一次函数的图像与性质
【点评】
本题属于基础综合题，结合了配方法和一次函数性质两个考点，只要熟练掌握配方法的操作步骤，以及一次函数$k$、$b$符号对图像象限的影响，就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题分两步思考：第一步先利用配方法将给定的一元二次方程变形为$(x+p)^2+q=0$的形式，对比系数得到$p$、$q$的值；第二步将$p$、$q$代入直线解析式，根据一次函数的一次项系数、常数项的正负判断图像经过的象限，即可得到不经过的象限。配方法核心是给二次项系数为1的式子加一次项系数一半的平方凑完全平方，一次函数象限判断可直接通过$k$、$b$的符号推导。
【解析】
1. 对一元二次方程$x^2 + 4x -16=0$配方：
移项得：$x^2 + 4x = 16$
两边加一次项系数一半的平方$(\frac{4}{2})^2=4$，得：
$x^2 +4x +4 =16 +4$
整理为完全平方式：$(x+2)^2 =20$
移项得：$(x+2)^2 -20 =0$
2. 对比$(x+p)^2 +q=0$，可得$p=2$，$q=-20$
3. 直线解析式为$y=2x-20$，其中一次项系数$k=2＞0$，直线呈上升趋势，过第一、三象限；常数项$b=-20＜0$，直线与y轴交于负半轴，还过第四象限，因此直线不经过第二象限。
【答案】
第二象限
【知识点】
配方法解一元二次方程；一次函数的图像与性质
【点评】
本题属于基础综合题，结合了配方法和一次函数性质两个考点，只要熟练掌握配方法的操作步骤，以及一次函数$k$、$b$符号对图像象限的影响，就能快速解题。
【难度系数】
0.7
3. 如果$(a^2 + b^2 + 1)(a^2 + b^2 - 1) = 80$，那么$a^2 + b^2$的值为
9
。答案
3. 9
解析
【分析】
观察等式左边的结构，两个因式中都含有相同的整体$a^2 + b^2$，且符合平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$的形式，因此我们可以将$a^2 + b^2$看作一个整体，先利用平方差公式展开等式，再求解关于$a^2 + b^2$的方程，最后结合平方的非负性对结果进行取舍即可。
【解析】
设$x = a^2 + b^2$，根据平方的非负性可知$x ≥ 0$。
原等式可转化为：
$(x + 1)(x - 1) = 80$
由平方差公式展开得：
$x^2 - 1 = 80$
移项计算得：
$x^2 = 81$
解得$x = 9$或$x = -9$。
因为$x = a^2 + b^2 ≥ 0$，所以$x = -9$不符合题意，舍去。
因此$a^2 + b^2 = 9$。
【答案】
9
【知识点】
平方差公式，整体思想，平方的非负性
【点评】
本题是代数基础计算类题型，核心是运用整体思想简化运算，解题时需注意平方结果的非负性，避免忽略取值范围导致多解错误。
【难度系数】
0.8
观察等式左边的结构，两个因式中都含有相同的整体$a^2 + b^2$，且符合平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$的形式，因此我们可以将$a^2 + b^2$看作一个整体，先利用平方差公式展开等式，再求解关于$a^2 + b^2$的方程，最后结合平方的非负性对结果进行取舍即可。
【解析】
设$x = a^2 + b^2$，根据平方的非负性可知$x ≥ 0$。
原等式可转化为：
$(x + 1)(x - 1) = 80$
由平方差公式展开得：
$x^2 - 1 = 80$
移项计算得：
$x^2 = 81$
解得$x = 9$或$x = -9$。
因为$x = a^2 + b^2 ≥ 0$，所以$x = -9$不符合题意，舍去。
因此$a^2 + b^2 = 9$。
【答案】
9
【知识点】
平方差公式，整体思想，平方的非负性
【点评】
本题是代数基础计算类题型，核心是运用整体思想简化运算，解题时需注意平方结果的非负性，避免忽略取值范围导致多解错误。
【难度系数】
0.8
4. 阅读材料：形如 $a^2 + 2ab + b^2$ 的式子叫作完全平方式. 有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫作配方法. 配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用.
（一）用配方法分解因式：$a^2 + 4a + 3$.
解： $\quad a^2 + 4a + 3$
$=a^2 + 4a + 4 - 1$
$=(a + 2)^2 - 1$
$=(a + 2)^2 - 1^2$
$=(a + 2 + 1)(a + 2 - 1)$
$=(a + 3)(a + 1)$.
（二）用配方法求代数式 $a^2 + 4a + 3$ 的最小值.
解： $\quad a^2 + 4a + 3$
$=a^2 + 4a + 4 - 1$
$=(a + 2)^2 - 1$
$\because (a + 2)^2 ≥ 0,$
$\therefore (a + 2)^2 - 1 ≥ -1,$
$\therefore a^2 + 4a + 3 ≥ -1.$
即 $a^2 + 4a + 3$ 的最小值为 $-1$.
请仿照以上例子解答下列问题：
(1)若代数式 $x^2 - 8x + k$ 是完全平方式，则常数 $k$ 的值为 ______（直接写出结果）；
(2)用配方法分解因式：$a^2 - 10a + 21$；
(3)用配方法求代数式 $a^2 - 10a + 21$ 的最小值.
（一）用配方法分解因式：$a^2 + 4a + 3$.
解： $\quad a^2 + 4a + 3$
$=a^2 + 4a + 4 - 1$
$=(a + 2)^2 - 1$
$=(a + 2)^2 - 1^2$
$=(a + 2 + 1)(a + 2 - 1)$
$=(a + 3)(a + 1)$.
（二）用配方法求代数式 $a^2 + 4a + 3$ 的最小值.
解： $\quad a^2 + 4a + 3$
$=a^2 + 4a + 4 - 1$
$=(a + 2)^2 - 1$
$\because (a + 2)^2 ≥ 0,$
$\therefore (a + 2)^2 - 1 ≥ -1,$
$\therefore a^2 + 4a + 3 ≥ -1.$
即 $a^2 + 4a + 3$ 的最小值为 $-1$.
请仿照以上例子解答下列问题：
(1)若代数式 $x^2 - 8x + k$ 是完全平方式，则常数 $k$ 的值为 ______（直接写出结果）；
(2)用配方法分解因式：$a^2 - 10a + 21$；
(3)用配方法求代数式 $a^2 - 10a + 21$ 的最小值.
答案
(1) 16
(2) $a^2 - 10a + 21 = a^2 - 10a + 25 - 4 = (a - 5)^2 - 2^2 = (a - 5 + 2)(a - 5 - 2) = (a - 3)(a - 7)$
(3) $a^2 - 10a + 21 = (a - 5)^2 - 4$。$\because (a - 5)^2 ≥ 0$，$\therefore (a - 5)^2 - 4 ≥ -4$，$\therefore a^2 - 10a + 21 ≥ -4$，故$a^2 - 10a + 21$的最小值为$-4$。
(2) $a^2 - 10a + 21 = a^2 - 10a + 25 - 4 = (a - 5)^2 - 2^2 = (a - 5 + 2)(a - 5 - 2) = (a - 3)(a - 7)$
(3) $a^2 - 10a + 21 = (a - 5)^2 - 4$。$\because (a - 5)^2 ≥ 0$，$\therefore (a - 5)^2 - 4 ≥ -4$，$\therefore a^2 - 10a + 21 ≥ -4$，故$a^2 - 10a + 21$的最小值为$-4$。
解析
【分析】
(1) 完全平方式的结构为$a^2\pm2ab+b^2$，对于代数式$x^2-8x+k$，$x^2$对应$a^2$，$-8x$对应$-2ab$，先求出$b$的值，即可计算$k=b^2$。
(2) 配方法分解因式的思路：先提取二次项和一次项，加上一次项系数一半的平方凑出完全平方式，再减去这个数保证原式值不变，将式子转化为平方差结构，再用平方差公式分解即可。
(3) 求代数式最值的思路：先通过配方法将代数式转化为“完全平方式+常数”的形式，再利用平方数的非负性，即可求出代数式的最小值。
【解析】
(1) 完全平方式满足$x^2-2bx+b^2$，本题中一次项为$-8x$，即$2b=8$，解得$b=4$，因此$k=b^2=4^2=16$。
(2) 分解因式过程：
$\begin{aligned}a^2 - 10a + 21&=a^2 - 10a + 25 - 4\\&=(a - 5)^2 - 2^2\\&=(a - 5 + 2)(a - 5 - 2)\\&=(a - 3)(a - 7)\end{aligned}$
(3) 求最小值过程：
先对代数式配方：$a^2 - 10a + 21=(a - 5)^2 - 4$
$\because$ 平方数具有非负性，即$(a - 5)^2 ≥ 0$
$\therefore (a - 5)^2 - 4 ≥ 0 - 4 = -4$
即$a^2 - 10a + 21 ≥ -4$，因此该代数式的最小值为$-4$。
【答案】
(1) $\boxed{16}$
(2) $\boxed{(a-3)(a-7)}$
(3) $\boxed{-4}$
【知识点】
完全平方式，配方法，平方的非负性
【点评】
本题属于材料迁移类基础题，核心考查对配方法的理解和应用，只要掌握完全平方式的结构特征，仿照材料给出的方法变形计算即可，能有效锻炼知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.8
(1) 完全平方式的结构为$a^2\pm2ab+b^2$，对于代数式$x^2-8x+k$，$x^2$对应$a^2$，$-8x$对应$-2ab$，先求出$b$的值，即可计算$k=b^2$。
(2) 配方法分解因式的思路：先提取二次项和一次项，加上一次项系数一半的平方凑出完全平方式，再减去这个数保证原式值不变，将式子转化为平方差结构，再用平方差公式分解即可。
(3) 求代数式最值的思路：先通过配方法将代数式转化为“完全平方式+常数”的形式，再利用平方数的非负性，即可求出代数式的最小值。
【解析】
(1) 完全平方式满足$x^2-2bx+b^2$，本题中一次项为$-8x$，即$2b=8$，解得$b=4$，因此$k=b^2=4^2=16$。
(2) 分解因式过程：
$\begin{aligned}a^2 - 10a + 21&=a^2 - 10a + 25 - 4\\&=(a - 5)^2 - 2^2\\&=(a - 5 + 2)(a - 5 - 2)\\&=(a - 3)(a - 7)\end{aligned}$
(3) 求最小值过程：
先对代数式配方：$a^2 - 10a + 21=(a - 5)^2 - 4$
$\because$ 平方数具有非负性，即$(a - 5)^2 ≥ 0$
$\therefore (a - 5)^2 - 4 ≥ 0 - 4 = -4$
即$a^2 - 10a + 21 ≥ -4$，因此该代数式的最小值为$-4$。
【答案】
(1) $\boxed{16}$
(2) $\boxed{(a-3)(a-7)}$
(3) $\boxed{-4}$
【知识点】
完全平方式，配方法，平方的非负性
【点评】
本题属于材料迁移类基础题，核心考查对配方法的理解和应用，只要掌握完全平方式的结构特征，仿照材料给出的方法变形计算即可，能有效锻炼知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.8
