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1.若$∠ A=78°$,则$∠ A$的补角是（
A.$22°$
B.$12°$
C.$112°$
D.$102°$
D
）A.$22°$
B.$12°$
C.$112°$
D.$102°$
答案
1. D
解析
【分析】
首先明确补角的定义：互为补角的两个角的和为180°，要求∠A的补角，只需用180°减去∠A的度数，计算出结果后匹配对应选项即可。
【解析】
根据补角的定义可知，若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。
因此∠A的补角 = 180° - ∠A
已知∠A=78°，代入得：
∠A的补角 = 180° - 78° = 102°
故选：D
【答案】
D
【知识点】
补角的定义、角度的运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对补角定义的理解与简单应用，熟练掌握相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
首先明确补角的定义：互为补角的两个角的和为180°，要求∠A的补角，只需用180°减去∠A的度数，计算出结果后匹配对应选项即可。
【解析】
根据补角的定义可知，若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。
因此∠A的补角 = 180° - ∠A
已知∠A=78°，代入得：
∠A的补角 = 180° - 78° = 102°
故选：D
【答案】
D
【知识点】
补角的定义、角度的运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对补角定义的理解与简单应用，熟练掌握相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 下列说法中，正确的是 （
A.一个锐角大于它的余角
B.一个钝角大于它的补角
C.若$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，则$∠ A, ∠ B, ∠ C$互为补角
D.等于直角的角是余角
B
）A.一个锐角大于它的余角
B.一个钝角大于它的补角
C.若$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，则$∠ A, ∠ B, ∠ C$互为补角
D.等于直角的角是余角
答案
2. B
解析
【分析】
拿到这道题首先要回忆余角、补角的核心概念：互余是指两个角的和为90°，互补是指两个角的和为180°；同时要注意互余、互补都是两个角之间的相互关系，既不能单独描述单个角为余角/补角，也不适用于三个及以上角的关系。接下来我们逐一判断每个选项，判断错误选项时可以通过举反例的方法快速排除。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 锐角是大于0°小于90°的角，它的余角为90°减去这个锐角。例如30°是锐角，它的余角是60°，30°＜60°，因此锐角不一定大于它的余角，A错误。
B. 钝角是大于90°小于180°的角，它的补角为180°减去这个钝角，计算得到的补角是小于90°的锐角，因此钝角一定大于它的补角，B正确。
C. 补角的定义是两个角的和为180°时，这两个角互为补角，仅适用于两个角的关系，三个角的和为180°不符合补角的定义，C错误。
D. 余角是两个角之间的相互关系，必须表述为“某角是另一角的余角”，不能单独说某个角是余角，D错误。
【答案】
B
【知识点】
余角的定义；补角的定义；互余互补的关系
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，重点考查对余角、补角定义的理解，解题的关键是明确互余、互补的适用前提是两个角，且是相互依存的关系，掌握基础概念即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先要回忆余角、补角的核心概念：互余是指两个角的和为90°，互补是指两个角的和为180°；同时要注意互余、互补都是两个角之间的相互关系，既不能单独描述单个角为余角/补角，也不适用于三个及以上角的关系。接下来我们逐一判断每个选项，判断错误选项时可以通过举反例的方法快速排除。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 锐角是大于0°小于90°的角，它的余角为90°减去这个锐角。例如30°是锐角，它的余角是60°，30°＜60°，因此锐角不一定大于它的余角，A错误。
B. 钝角是大于90°小于180°的角，它的补角为180°减去这个钝角，计算得到的补角是小于90°的锐角，因此钝角一定大于它的补角，B正确。
C. 补角的定义是两个角的和为180°时，这两个角互为补角，仅适用于两个角的关系，三个角的和为180°不符合补角的定义，C错误。
D. 余角是两个角之间的相互关系，必须表述为“某角是另一角的余角”，不能单独说某个角是余角，D错误。
【答案】
B
【知识点】
余角的定义；补角的定义；互余互补的关系
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，重点考查对余角、补角定义的理解，解题的关键是明确互余、互补的适用前提是两个角，且是相互依存的关系，掌握基础概念即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
3. 将一副三角尺按如图所示方式摆放，则下列结论一定正确的是 （
A.$∠α + ∠β = 90°$
B.$∠α ＞ ∠β$
C.$∠α = ∠β$
D.$∠α = 45°$
C
）A.$∠α + ∠β = 90°$
B.$∠α ＞ ∠β$
C.$∠α = ∠β$
D.$∠α = 45°$
答案
3. C
解析
【分析】
首先观察图形可知，两个直角三角尺的直角顶点重合，两个直角均为90°，∠α和∠β分别与两个直角之间的公共角相加都等于90°，即∠α和∠β都是这个公共角的余角，根据余角的性质“同角的余角相等”即可判断∠α和∠β的关系，再逐一排查各选项即可得到答案。
【解析】
设两个直角重叠部分的公共角为∠γ，
由三角尺的特征可知两个直角均为90°，因此：
$∠α + ∠\gamma = 90°$，
$∠β + ∠\gamma = 90°$，
根据“同角的余角相等”，可得$∠α = ∠β$。
再逐一分析选项：
A选项：只有当$∠\gamma=45°$时，$∠α+∠β=90°$，不是必然成立，故A错误；
B选项：由推导可知$∠α=∠β$，故B错误；
C选项：推导可得$∠α=∠β$，故C正确；
D选项：$∠α$的度数随三角板摆放位置变化，不一定为$45°$，故D错误。
综上选C。
【答案】
C
【知识点】
同角的余角相等，直角的特征
【点评】
本题结合三角板的摆放考查余角的性质，解题的关键是找到两个角共同的余角，利用余角的性质快速判断角的大小关系，是余角相关知识的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知，两个直角三角尺的直角顶点重合，两个直角均为90°，∠α和∠β分别与两个直角之间的公共角相加都等于90°，即∠α和∠β都是这个公共角的余角，根据余角的性质“同角的余角相等”即可判断∠α和∠β的关系，再逐一排查各选项即可得到答案。
【解析】
设两个直角重叠部分的公共角为∠γ，
由三角尺的特征可知两个直角均为90°，因此：
$∠α + ∠\gamma = 90°$，
$∠β + ∠\gamma = 90°$，
根据“同角的余角相等”，可得$∠α = ∠β$。
再逐一分析选项：
A选项：只有当$∠\gamma=45°$时，$∠α+∠β=90°$，不是必然成立，故A错误；
B选项：由推导可知$∠α=∠β$，故B错误；
C选项：推导可得$∠α=∠β$，故C正确；
D选项：$∠α$的度数随三角板摆放位置变化，不一定为$45°$，故D错误。
综上选C。
【答案】
C
【知识点】
同角的余角相等，直角的特征
【点评】
本题结合三角板的摆放考查余角的性质，解题的关键是找到两个角共同的余角，利用余角的性质快速判断角的大小关系，是余角相关知识的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
4. $11° 30'$的余角是
78°30'
，$110.2°$的补角是69.8°
，$60°$的余角的补角是150°
。答案
4. 78°30' 69.8° 150°
解析
【分析】
解题前首先明确核心概念：互为余角的两个角之和为90°，互为补角的两个角之和为180°。求解时对应根据概念用90°减已知角得余角，用180°减已知角得补角即可。注意角度运算中1°=60'，计算带分的角度减法时可先把90°转化为89°60'再计算，避免单位换算错误；第三个空需要先求60°的余角，再求所得角的补角，分两步计算即可。
【解析】
1. 计算$11° 30'$的余角：
余角 = $90° - 11°30'$，将$90°$换算为$89°60'$，则$89°60' - 11°30' = 78°30'$；
2. 计算$110.2°$的补角：
补角 = $180° - 110.2° = 69.8°$；
3. 计算$60°$的余角的补角：
先算$60°$的余角：$90° - 60° = 30°$，
再算$30°$的补角：$180° - 30° = 150°$。
【答案】
$78°30'$；$69.8°$；$150°$
【知识点】
余角的定义；补角的定义；角度运算
【点评】
本题属于基础概念类题型，解题核心是牢记余角和补角的定义，计算时注意角度的60进制换算规则，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.85
解题前首先明确核心概念：互为余角的两个角之和为90°，互为补角的两个角之和为180°。求解时对应根据概念用90°减已知角得余角，用180°减已知角得补角即可。注意角度运算中1°=60'，计算带分的角度减法时可先把90°转化为89°60'再计算，避免单位换算错误；第三个空需要先求60°的余角，再求所得角的补角，分两步计算即可。
【解析】
1. 计算$11° 30'$的余角：
余角 = $90° - 11°30'$，将$90°$换算为$89°60'$，则$89°60' - 11°30' = 78°30'$；
2. 计算$110.2°$的补角：
补角 = $180° - 110.2° = 69.8°$；
3. 计算$60°$的余角的补角：
先算$60°$的余角：$90° - 60° = 30°$，
再算$30°$的补角：$180° - 30° = 150°$。
【答案】
$78°30'$；$69.8°$；$150°$
【知识点】
余角的定义；补角的定义；角度运算
【点评】
本题属于基础概念类题型，解题核心是牢记余角和补角的定义，计算时注意角度的60进制换算规则，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.85
5. 如图，$∠ AOB = ∠ COD = 90°$，$∠ BOD = 140°$，则$∠ AOD =$ 
（第5题）
50°
，$∠ BOC =$ 130°
。（第5题）答案
5. 50° 130°
解析
【分析】
解题时先观察图形中各角的位置关系：首先求∠AOD，发现∠BOD由∠AOD和直角∠AOB组成，因此用∠BOD的度数减去∠AOB的度数即可得到∠AOD；再求∠BOC，围绕点O的所有角之和为周角360°，已知其中三个角的度数，用周角减去这三个角的度数就能算出∠BOC的大小。
【解析】
1. 计算$\boldsymbol{∠AOD}$：
由图可知，$∠ BOD = ∠ AOD + ∠ AOB$，
已知$∠ BOD=140°$，$∠ AOB=90°$，
代入得：$∠ AOD = ∠ BOD - ∠ AOB = 140° - 90° = 50°$。
2. 计算$\boldsymbol{∠BOC}$：
围绕点O的所有角的和为周角，即$∠ COD + ∠ AOD + ∠ AOB + ∠ BOC = 360°$，
已知$∠ COD=90°$，$∠ AOD=50°$，$∠ AOB=90°$，
代入得：$∠ BOC = 360° - 90° - 50° - 90° = 130°$。
【答案】
$50°$；$130°$
【知识点】
角的和差计算；周角的定义；直角的特征
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查角的和差运算，解题的关键是准确梳理图中各角的位置关系，结合周角、直角的固定度数进行计算，只要掌握角的基本概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
解题时先观察图形中各角的位置关系：首先求∠AOD，发现∠BOD由∠AOD和直角∠AOB组成，因此用∠BOD的度数减去∠AOB的度数即可得到∠AOD；再求∠BOC，围绕点O的所有角之和为周角360°，已知其中三个角的度数，用周角减去这三个角的度数就能算出∠BOC的大小。
【解析】
1. 计算$\boldsymbol{∠AOD}$：
由图可知，$∠ BOD = ∠ AOD + ∠ AOB$，
已知$∠ BOD=140°$，$∠ AOB=90°$，
代入得：$∠ AOD = ∠ BOD - ∠ AOB = 140° - 90° = 50°$。
2. 计算$\boldsymbol{∠BOC}$：
围绕点O的所有角的和为周角，即$∠ COD + ∠ AOD + ∠ AOB + ∠ BOC = 360°$，
已知$∠ COD=90°$，$∠ AOD=50°$，$∠ AOB=90°$，
代入得：$∠ BOC = 360° - 90° - 50° - 90° = 130°$。
【答案】
$50°$；$130°$
【知识点】
角的和差计算；周角的定义；直角的特征
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查角的和差运算，解题的关键是准确梳理图中各角的位置关系，结合周角、直角的固定度数进行计算，只要掌握角的基本概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
6. 已知一个角的余角比它的补角的$\frac{1}{3}$还大$6°$，求这个角的度数。
答案
6. 36°
解析
【分析】
解题时首先回忆余角和补角的定义：如果两个角的和为90°，则这两个角互余；如果两个角的和为180°，则这两个角互补。我们可以先设这个角的度数为x°，分别用含x的式子表示出它的余角和补角，再根据题目给出的“余角比补角的$\frac{1}{3}$还大6°”这一等量关系列一元一次方程，最后解方程即可求出这个角的度数。
【解析】
解：设这个角的度数为$x$°，则它的余角为$(90-x)$°，补角为$(180-x)$°。
根据题意列方程得：
$90 - x = \frac{1}{3}(180 - x) + 6$
去括号得：
$90 - x = 60 - \frac{1}{3}x + 6$
整理得：
$90 - x = 66 - \frac{1}{3}x$
移项得：
$x - \frac{1}{3}x = 90 - 66$
合并同类项得：
$\frac{2}{3}x = 24$
系数化为1得：
$x = 24 × \frac{3}{2} = 36$
经检验，结果符合题意。
【答案】
36°
【知识点】
余角的定义，补角的定义，列方程解应用题
【点评】
本题是余角、补角相关的基础应用题，解题核心是准确掌握余角、补角的定义，正确梳理题目中的等量关系，是对基础概念和方程应用能力的常规考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆余角和补角的定义：如果两个角的和为90°，则这两个角互余；如果两个角的和为180°，则这两个角互补。我们可以先设这个角的度数为x°，分别用含x的式子表示出它的余角和补角，再根据题目给出的“余角比补角的$\frac{1}{3}$还大6°”这一等量关系列一元一次方程，最后解方程即可求出这个角的度数。
【解析】
解：设这个角的度数为$x$°，则它的余角为$(90-x)$°，补角为$(180-x)$°。
根据题意列方程得：
$90 - x = \frac{1}{3}(180 - x) + 6$
去括号得：
$90 - x = 60 - \frac{1}{3}x + 6$
整理得：
$90 - x = 66 - \frac{1}{3}x$
移项得：
$x - \frac{1}{3}x = 90 - 66$
合并同类项得：
$\frac{2}{3}x = 24$
系数化为1得：
$x = 24 × \frac{3}{2} = 36$
经检验，结果符合题意。
【答案】
36°
【知识点】
余角的定义，补角的定义，列方程解应用题
【点评】
本题是余角、补角相关的基础应用题，解题核心是准确掌握余角、补角的定义，正确梳理题目中的等量关系，是对基础概念和方程应用能力的常规考查。
【难度系数】
0.8
7.电视塔在学校的北偏东32°,则学校在电视塔的 （
A.南偏西32°
B.北偏东32°
C.南偏东32°
D.北偏西32°
A
）A.南偏西32°
B.北偏东32°
C.南偏东32°
D.北偏西32°
答案
7. A
解析
【分析】
本题考查相对位置的方向角判断，解题核心是明确两个地点的相对位置规律：当观测点互换时，方向完全相反，角度大小保持不变。首先确定原观测点是学校，电视塔在学校的北偏东32°方向；现在观测点换成电视塔，只需要将原方向的南北、东西对应反转，角度不变，就能得到学校相对于电视塔的方向。
【解析】
解：在两个地点的相对位置关系中，若观测点互换，则方向相反、角度相等。
已知以学校为观测点时，电视塔在北偏东32°方向，因此以电视塔为观测点时：
“北”的反方向是“南”，“东”的反方向是“西”，角度仍为32°，即学校在电视塔的南偏西32°方向。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
方向角；相对位置
【点评】
本题属于基础题型，主要考察方向角在实际位置判断中的应用，只要掌握观测点互换时“方向相反、角度相等”的规律，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
本题考查相对位置的方向角判断，解题核心是明确两个地点的相对位置规律：当观测点互换时，方向完全相反，角度大小保持不变。首先确定原观测点是学校，电视塔在学校的北偏东32°方向；现在观测点换成电视塔，只需要将原方向的南北、东西对应反转，角度不变，就能得到学校相对于电视塔的方向。
【解析】
解：在两个地点的相对位置关系中，若观测点互换，则方向相反、角度相等。
已知以学校为观测点时，电视塔在北偏东32°方向，因此以电视塔为观测点时：
“北”的反方向是“南”，“东”的反方向是“西”，角度仍为32°，即学校在电视塔的南偏西32°方向。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
方向角；相对位置
【点评】
本题属于基础题型，主要考察方向角在实际位置判断中的应用，只要掌握观测点互换时“方向相反、角度相等”的规律，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
8. 一副三角尺按如图方式摆放，∠1的度数比∠2的度数大50°，则∠1的度数为
（
A.$60°$
B.$65°$
C.$70°$
D.$75°$
（
C
）A.$60°$
B.$65°$
C.$70°$
D.$75°$
答案
8. C
解析
【分析】
首先观察图形，平角的度数是180°，图中三角尺的直角为90°，因此∠1、∠2和直角加起来等于180°，由此可以推出∠1与∠2的和是90°；再结合题目给出的“∠1的度数比∠2大50°”的条件，我们可以用代入的方式，将∠2用含∠1的式子表示，代入和的关系中就能求出∠1的度数。
【解析】
解：根据平角的定义，可知∠1 + ∠2 + 90° = 180°，
因此∠1 + ∠2 = 180° - 90° = 90°。
由题意得∠1 = ∠2 + 50°，即∠2 = ∠1 - 50°，
将∠2 = ∠1 - 50°代入∠1 + ∠2 = 90°中，得：
$∠ 1 + (∠ 1 - 50°) = 90°$
$2∠ 1 = 90° + 50°$
$2∠ 1 = 140°$
$∠ 1 = 70°$
【答案】
C
【知识点】
平角的定义；角的和差计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合三角尺的摆放考查角度的基础计算，解题的关键是从图形中找到∠1和∠2的和为90°的隐含条件，再结合已知的数量关系列式求解，属于角度计算类的常考基础题。
【难度系数】
0.75
首先观察图形，平角的度数是180°，图中三角尺的直角为90°，因此∠1、∠2和直角加起来等于180°，由此可以推出∠1与∠2的和是90°；再结合题目给出的“∠1的度数比∠2大50°”的条件，我们可以用代入的方式，将∠2用含∠1的式子表示，代入和的关系中就能求出∠1的度数。
【解析】
解：根据平角的定义，可知∠1 + ∠2 + 90° = 180°，
因此∠1 + ∠2 = 180° - 90° = 90°。
由题意得∠1 = ∠2 + 50°，即∠2 = ∠1 - 50°，
将∠2 = ∠1 - 50°代入∠1 + ∠2 = 90°中，得：
$∠ 1 + (∠ 1 - 50°) = 90°$
$2∠ 1 = 90° + 50°$
$2∠ 1 = 140°$
$∠ 1 = 70°$
【答案】
C
【知识点】
平角的定义；角的和差计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合三角尺的摆放考查角度的基础计算，解题的关键是从图形中找到∠1和∠2的和为90°的隐含条件，再结合已知的数量关系列式求解，属于角度计算类的常考基础题。
【难度系数】
0.75
9. 已知$∠α$与$∠β$互补，且$∠α＞∠β$，则下列式子中：①$90° - ∠β$；②$∠α - 90°$；③$\frac{1}{2}(∠α + ∠β)$；④$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$，可以表示$∠β$的余角的有（
A.①②
B.①②③
C.①②④
D.①②③④
C
）A.①②
B.①②③
C.①②④
D.①②③④
答案
9. C
解析
【分析】
解题首先要明确两个核心概念：一是互为补角的两个角和为180°，可得∠α+∠β=180°；二是∠β的余角指的是与∠β相加等于90°的角，标准形式为$90°-∠β$，且结果必须为正角。接下来我们利用∠α和∠β的互补关系，对四个式子逐一化简变形，判断是否能转化为$90°-∠β$的形式即可。
【解析】
解：
∵∠α与∠β互补，
∴$∠α + ∠β = 180°$，即$∠α = 180° - ∠β$。
∠β的余角为$90° - ∠β$，且结果为正角。
①$90° - ∠β$：直接符合∠β余角的定义，正确；
②$∠α - 90°$：将$∠α = 180° - ∠β$代入，得$180° - ∠β - 90° = 90° - ∠β$，符合余角定义，正确；
③$\frac{1}{2}(∠α + ∠β)$：代入$∠α + ∠β=180°$，得$\frac{1}{2}×180°=90°$，$90° + ∠β ≠ 90°$，不符合，错误；
④$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$：将$∠α = 180° - ∠β$代入，得$\frac{1}{2}(180° - ∠β - ∠β)=\frac{1}{2}(180° - 2∠β)=90° - ∠β$，又
∵$∠α＞∠β$，
∴$∠α - ∠β＞0$，式子结果为正，符合余角要求，正确。
综上，①②④可表示∠β的余角。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义、补角的定义、角度运算
【点评】
本题重点考查余角、补角概念的灵活应用，解题关键是利用补角的数量关系对各式做代换变形，结合余角定义判断即可，注意要验证角的结果为正才符合实际意义。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确两个核心概念：一是互为补角的两个角和为180°，可得∠α+∠β=180°；二是∠β的余角指的是与∠β相加等于90°的角，标准形式为$90°-∠β$，且结果必须为正角。接下来我们利用∠α和∠β的互补关系，对四个式子逐一化简变形，判断是否能转化为$90°-∠β$的形式即可。
【解析】
解：
∵∠α与∠β互补，
∴$∠α + ∠β = 180°$，即$∠α = 180° - ∠β$。
∠β的余角为$90° - ∠β$，且结果为正角。
①$90° - ∠β$：直接符合∠β余角的定义，正确；
②$∠α - 90°$：将$∠α = 180° - ∠β$代入，得$180° - ∠β - 90° = 90° - ∠β$，符合余角定义，正确；
③$\frac{1}{2}(∠α + ∠β)$：代入$∠α + ∠β=180°$，得$\frac{1}{2}×180°=90°$，$90° + ∠β ≠ 90°$，不符合，错误；
④$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$：将$∠α = 180° - ∠β$代入，得$\frac{1}{2}(180° - ∠β - ∠β)=\frac{1}{2}(180° - 2∠β)=90° - ∠β$，又
∵$∠α＞∠β$，
∴$∠α - ∠β＞0$，式子结果为正，符合余角要求，正确。
综上，①②④可表示∠β的余角。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义、补角的定义、角度运算
【点评】
本题重点考查余角、补角概念的灵活应用，解题关键是利用补角的数量关系对各式做代换变形，结合余角定义判断即可，注意要验证角的结果为正才符合实际意义。
【难度系数】
0.7
