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10. 如图所示，$∠ ABD$与$∠ DBC$互余，若$∠ ABD:∠ DBC=7:2$，则$∠ ABD=$
70°
，$∠ DBC=$20°
。答案
10. 70° 20°
解析
【分析】
解题先从已知条件入手：首先明确互余的定义，若两个角互余，则它们的度数之和为90°，由此可得∠ABD+∠DBC=90°；再结合两个角的比例关系7:2，可通过设未知数的方法，将两个角用含同一个未知数的式子表示，再根据角度和列方程求解，也可以用按比例分配的方法直接计算两个角的度数。
【解析】
解：
∵∠ABD与∠DBC互余，
∴∠ABD + ∠DBC = 90°，
又
∵∠ABD:∠DBC = 7:2，
设∠ABD = 7x，∠DBC = 2x（x＞0），
则7x + 2x = 90°，
解得x=10°，
∴∠ABD = 7×10° = 70°，∠DBC = 2×10° = 20°。
【答案】
70°；20°
【知识点】
余角的定义；比例的应用；角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查余角概念和比例计算的结合运用，解题关键是牢记互余的两个角和为90°，注意不要和补角的概念混淆，结合给出的比例关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题先从已知条件入手：首先明确互余的定义，若两个角互余，则它们的度数之和为90°，由此可得∠ABD+∠DBC=90°；再结合两个角的比例关系7:2，可通过设未知数的方法，将两个角用含同一个未知数的式子表示，再根据角度和列方程求解，也可以用按比例分配的方法直接计算两个角的度数。
【解析】
解：
∵∠ABD与∠DBC互余，
∴∠ABD + ∠DBC = 90°，
又
∵∠ABD:∠DBC = 7:2，
设∠ABD = 7x，∠DBC = 2x（x＞0），
则7x + 2x = 90°，
解得x=10°，
∴∠ABD = 7×10° = 70°，∠DBC = 2×10° = 20°。
【答案】
70°；20°
【知识点】
余角的定义；比例的应用；角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查余角概念和比例计算的结合运用，解题关键是牢记互余的两个角和为90°，注意不要和补角的概念混淆，结合给出的比例关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
11. 已知∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，∠1=65°，则∠3的余角等于
25°
。答案
11. 25°
解析
【分析】
解题时先回忆补角的相关性质：如果两个角都是同一个角的补角，那么这两个角相等。本题中∠1和∠3都与∠2互补，因此可先推出∠1和∠3相等，再结合已知∠1的度数得到∠3的度数，最后根据余角的定义（两个角的和为90°则互为余角），用90°减去∠3的度数就能求出∠3的余角。
【解析】
∵ ∠1与∠2互补，∠2与∠3互补
∴ 根据“同角的补角相等”可得：∠1 = ∠3
又
∵ ∠1 = 65°
∴ ∠3 = 65°
根据余角的定义，∠3的余角 = 90° - ∠3 = 90° - 65° = 25°
【答案】
25°
【知识点】
同角的补角相等；余角的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是熟练掌握余角、补角的相关性质，计算时注意角度的运算规则即可。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆补角的相关性质：如果两个角都是同一个角的补角，那么这两个角相等。本题中∠1和∠3都与∠2互补，因此可先推出∠1和∠3相等，再结合已知∠1的度数得到∠3的度数，最后根据余角的定义（两个角的和为90°则互为余角），用90°减去∠3的度数就能求出∠3的余角。
【解析】
∵ ∠1与∠2互补，∠2与∠3互补
∴ 根据“同角的补角相等”可得：∠1 = ∠3
又
∵ ∠1 = 65°
∴ ∠3 = 65°
根据余角的定义，∠3的余角 = 90° - ∠3 = 90° - 65° = 25°
【答案】
25°
【知识点】
同角的补角相等；余角的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是熟练掌握余角、补角的相关性质，计算时注意角度的运算规则即可。
【难度系数】
0.8
12. 如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，OE在∠BOC内部，且∠DOE＝90°。
(1)OE平分∠BOC吗？说明理由。
(2)写出所有的互余的角。
(1)OE平分∠BOC吗？说明理由。
(2)写出所有的互余的角。
答案
12. (1)OE平分∠BOC。理由如下:
∵OD平分∠AOC,
∴∠AOD=∠COD。
∵∠DOE=90°,
∴∠COD+∠COE=∠DOE=90°。
∵∠AOB=180°,
∴∠AOD+∠BOE=∠AOB−∠DOE=180°−90°=90°,
∴∠COE=∠BOE,
∴OE平分∠BOC (2)∠AOD与∠COE互余，∠AOD与∠EOB互余，∠DOC与∠COE互余，∠DOC与∠EOB互余
∵OD平分∠AOC,
∴∠AOD=∠COD。
∵∠DOE=90°,
∴∠COD+∠COE=∠DOE=90°。
∵∠AOB=180°,
∴∠AOD+∠BOE=∠AOB−∠DOE=180°−90°=90°,
∴∠COE=∠BOE,
∴OE平分∠BOC (2)∠AOD与∠COE互余，∠AOD与∠EOB互余，∠DOC与∠COE互余，∠DOC与∠EOB互余
解析
【分析】
(1)要判断OE是否平分∠BOC，只需证明∠COE=∠BOE即可。首先根据角平分线的定义得到∠AOD=∠COD，再结合∠DOE=90°、平角∠AOB为180°，可推出∠COD+∠COE=90°，∠AOD+∠BOE=90°，利用等角的余角相等就能得到∠COE=∠BOE，从而得出结论。
(2)互余的角是指和为90°的两个角，结合(1)中推导得到的相等的角，找出所有和为90°的角对即可。
【解析】
(1) OE平分∠BOC，理由如下：
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD。
∵∠DOE=90°，
∴∠COD+∠COE=∠DOE=90°。
∵O在直线AB上，∠AOB=180°，
∴∠AOD+∠BOE=∠AOB−∠DOE=180°−90°=90°，
∴∠COE=∠BOE，
∴OE平分∠BOC。
(2) 互为余角的两个角和为90°，结合上述推导可得所有互余的角如下：
∠AOD与∠COE互余，∠AOD与∠EOB互余，∠DOC与∠COE互余，∠DOC与∠EOB互余。
【答案】
(1)OE平分∠BOC，理由：
∵OD平分∠AOC,
∴∠AOD=∠COD。
∵∠DOE=90°,
∴∠COD+∠COE=∠DOE=90°。
∵∠AOB=180°,
∴∠AOD+∠BOE=∠AOB−∠DOE=180°−90°=90°,
∴∠COE=∠BOE,
∴OE平分∠BOC
(2)∠AOD与∠COE互余，∠AOD与∠EOB互余，∠DOC与∠COE互余，∠DOC与∠EOB互余
【知识点】
角平分线的定义，余角的性质，平角的定义
【点评】
本题考查角的关系推导，解题的核心是梳理清楚图中角的和差关系，熟练运用角平分线、余角的相关性质即可快速求解，属于角的计算类基础题型。
【难度系数】
0.7
(1)要判断OE是否平分∠BOC，只需证明∠COE=∠BOE即可。首先根据角平分线的定义得到∠AOD=∠COD，再结合∠DOE=90°、平角∠AOB为180°，可推出∠COD+∠COE=90°，∠AOD+∠BOE=90°，利用等角的余角相等就能得到∠COE=∠BOE，从而得出结论。
(2)互余的角是指和为90°的两个角，结合(1)中推导得到的相等的角，找出所有和为90°的角对即可。
【解析】
(1) OE平分∠BOC，理由如下：
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD。
∵∠DOE=90°，
∴∠COD+∠COE=∠DOE=90°。
∵O在直线AB上，∠AOB=180°，
∴∠AOD+∠BOE=∠AOB−∠DOE=180°−90°=90°，
∴∠COE=∠BOE，
∴OE平分∠BOC。
(2) 互为余角的两个角和为90°，结合上述推导可得所有互余的角如下：
∠AOD与∠COE互余，∠AOD与∠EOB互余，∠DOC与∠COE互余，∠DOC与∠EOB互余。
【答案】
(1)OE平分∠BOC，理由：
∵OD平分∠AOC,
∴∠AOD=∠COD。
∵∠DOE=90°,
∴∠COD+∠COE=∠DOE=90°。
∵∠AOB=180°,
∴∠AOD+∠BOE=∠AOB−∠DOE=180°−90°=90°,
∴∠COE=∠BOE,
∴OE平分∠BOC
(2)∠AOD与∠COE互余，∠AOD与∠EOB互余，∠DOC与∠COE互余，∠DOC与∠EOB互余
【知识点】
角平分线的定义，余角的性质，平角的定义
【点评】
本题考查角的关系推导，解题的核心是梳理清楚图中角的和差关系，熟练运用角平分线、余角的相关性质即可快速求解，属于角的计算类基础题型。
【难度系数】
0.7
13. 如图，AB是街道，点O表示街道上的一家超市，点C，D表示位于街道同侧的两个居民小区，连结OC，OD，设计人员不小心把∠1，∠2，∠3的度数弄丢了，身边没有量角器，只知道∠1−∠2=∠2−∠3，则∠2的度数是
60°
。答案
13. 60°
解析
【分析】
首先观察图形可得A、O、B三点共线，因此∠1、∠2、∠3共同组成平角，和为180°；再结合题目给出的∠1−∠2=∠2−∠3的等量关系，通过移项可得到∠1+∠3与∠2的数量关系，最后将其代入三个角的和为180°的式子中，即可求出∠2的度数。
【解析】
∵ 点A、O、B在同一条直线上，∠AOB为平角
∴ $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180°$
已知 $∠ 1 - ∠ 2 = ∠ 2 - ∠ 3$，移项可得：
$∠ 1 + ∠ 3 = 2∠ 2$
将$∠ 1 + ∠ 3 = 2∠ 2$代入$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180°$得：
$2∠ 2 + ∠ 2 = 180°$
即 $3∠ 2 = 180°$
解得 $∠ 2 = 60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
平角的定义；角的和差计算
【点评】
本题属于基础的角度计算问题，解题的关键是结合图形得到三个角的和为平角，再根据已知的角的等量关系进行代换计算，掌握平角的性质和简单的等式变形是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可得A、O、B三点共线，因此∠1、∠2、∠3共同组成平角，和为180°；再结合题目给出的∠1−∠2=∠2−∠3的等量关系，通过移项可得到∠1+∠3与∠2的数量关系，最后将其代入三个角的和为180°的式子中，即可求出∠2的度数。
【解析】
∵ 点A、O、B在同一条直线上，∠AOB为平角
∴ $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180°$
已知 $∠ 1 - ∠ 2 = ∠ 2 - ∠ 3$，移项可得：
$∠ 1 + ∠ 3 = 2∠ 2$
将$∠ 1 + ∠ 3 = 2∠ 2$代入$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180°$得：
$2∠ 2 + ∠ 2 = 180°$
即 $3∠ 2 = 180°$
解得 $∠ 2 = 60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
平角的定义；角的和差计算
【点评】
本题属于基础的角度计算问题，解题的关键是结合图形得到三个角的和为平角，再根据已知的角的等量关系进行代换计算，掌握平角的性质和简单的等式变形是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.8
14. 有两个角，若第一个角割去它的$\frac{1}{3}$后与第二个角互余，第一个角补上它的$\frac{2}{3}$后与第二个角互补，求这两个角的度数。
15. 在数学活动课上，老师将两个直角三角尺按如图所示方式摆放，探究$∠ AOD$与$∠ BOC$的数量关系。
【特殊情况，探索结论】
(1) 如图①，已知$∠ AOB = ∠ COD = 90°$，若$∠ AOD = 25°$，则$∠ BOC =$
(2) 如图②，已知$∠ AOB = ∠ COD = 45°$，若$∠ AOD = 25°$，则$∠ BOC =$
【特例启发，拓展应用】
(3) 如图③，已知$∠ AOB = α$，$∠ COD = β$，则$∠ AOD$与$∠ BOC$又有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明理由。
15. 在数学活动课上，老师将两个直角三角尺按如图所示方式摆放，探究$∠ AOD$与$∠ BOC$的数量关系。
【特殊情况，探索结论】
(1) 如图①，已知$∠ AOB = ∠ COD = 90°$，若$∠ AOD = 25°$，则$∠ BOC =$
155°
，$∠ AOD$与$∠ BOC$的数量关系为∠AOD+∠BOC=180°
。(2) 如图②，已知$∠ AOB = ∠ COD = 45°$，若$∠ AOD = 25°$，则$∠ BOC =$
65°
，$∠ AOD$与$∠ BOC$的数量关系为∠AOD+∠BOC=90°
。【特例启发，拓展应用】
(3) 如图③，已知$∠ AOB = α$，$∠ COD = β$，则$∠ AOD$与$∠ BOC$又有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明理由。
答案
14. 30°,90° 15. (1)155° ∠AOD+∠BOC=180° (2)65° ∠AOD+∠BOC=90° (3)∠AOD+∠BOC=α+β。理由如下:设∠AOD=x,则∠BOD=∠AOB−∠AOD=α−x,
∴∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠BOD+∠COD=x+(α−x)+β=α+β
∴∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠BOD+∠COD=x+(α−x)+β=α+β
解析
【分析】
对于第14题，我们可以通过设未知数，利用互余（两个角的和为90°）、互补（两个角的和为180°）的定义列二元一次方程组求解。对于第15题，(1)(2)小问先根据已知角的度数，结合角的和差关系计算出∠BOC的度数，再观察∠AOD与∠BOC的和的规律；第(3)小问用字母代替具体度数，类比前两问的角的拆分方法，推导得到两个角的通用数量关系即可。
【解析】
第14题
解：设第一个角的度数为$x$，第二个角的度数为$y$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}(1-\dfrac{1}{3})x + y = 90° \\(1+\dfrac{2}{3})x + y = 180°\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}\dfrac{2}{3}x + y = 90° ①\\\dfrac{5}{3}x + y = 180° ②\end{cases}$
用②-①消去$y$，得：$x = 90°$。
将$x=90°$代入①，得：$\dfrac{2}{3}×90° + y = 90°$，解得$y=30°$。
第15题
(1) 已知$∠ AOB=∠ COD=90°$，$∠ AOD=25°$，则$∠ BOD = ∠ AOB - ∠ AOD = 90°-25°=65°$，因此$∠ BOC = ∠ COD + ∠ BOD = 90°+65°=155°$。计算得$∠ AOD+∠ BOC=25°+155°=180°$，故二者关系为$∠ AOD+∠ BOC=180°$。
(2) 已知$∠ AOB=∠ COD=45°$，$∠ AOD=25°$，则$∠ BOD = ∠ AOB - ∠ AOD = 45°-25°=20°$，因此$∠ BOC = ∠ COD + ∠ BOD = 45°+20°=65°$。计算得$∠ AOD+∠ BOC=25°+65°=90°$，故二者关系为$∠ AOD+∠ BOC=90°$。
(3) 结论：$∠ AOD+∠ BOC=α+β$。
理由：设$∠ AOD=x$，则$∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD=α - x$，因此$∠ BOC=∠ BOD+∠ COD=α - x + β$。则$∠ AOD+∠ BOC = x + (α - x + β) = α + β$，得证。
【答案】
14. $30°$，$90°$
15. (1) $155°$；$∠ AOD+∠ BOC=180°$
(2) $65°$；$∠ AOD+∠ BOC=90°$
(3) $∠ AOD+∠ BOC=α+β$，理由见解析
【知识点】
余角与补角的定义，角的和差计算，二元一次方程组的应用
【点评】
题目从基础计算到规律探究，结合了方程思想和从特殊到一般的数学思想，既巩固了角的相关基础概念，也锻炼了逻辑推导和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.7
对于第14题，我们可以通过设未知数，利用互余（两个角的和为90°）、互补（两个角的和为180°）的定义列二元一次方程组求解。对于第15题，(1)(2)小问先根据已知角的度数，结合角的和差关系计算出∠BOC的度数，再观察∠AOD与∠BOC的和的规律；第(3)小问用字母代替具体度数，类比前两问的角的拆分方法，推导得到两个角的通用数量关系即可。
【解析】
第14题
解：设第一个角的度数为$x$，第二个角的度数为$y$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}(1-\dfrac{1}{3})x + y = 90° \\(1+\dfrac{2}{3})x + y = 180°\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}\dfrac{2}{3}x + y = 90° ①\\\dfrac{5}{3}x + y = 180° ②\end{cases}$
用②-①消去$y$，得：$x = 90°$。
将$x=90°$代入①，得：$\dfrac{2}{3}×90° + y = 90°$，解得$y=30°$。
第15题
(1) 已知$∠ AOB=∠ COD=90°$，$∠ AOD=25°$，则$∠ BOD = ∠ AOB - ∠ AOD = 90°-25°=65°$，因此$∠ BOC = ∠ COD + ∠ BOD = 90°+65°=155°$。计算得$∠ AOD+∠ BOC=25°+155°=180°$，故二者关系为$∠ AOD+∠ BOC=180°$。
(2) 已知$∠ AOB=∠ COD=45°$，$∠ AOD=25°$，则$∠ BOD = ∠ AOB - ∠ AOD = 45°-25°=20°$，因此$∠ BOC = ∠ COD + ∠ BOD = 45°+20°=65°$。计算得$∠ AOD+∠ BOC=25°+65°=90°$，故二者关系为$∠ AOD+∠ BOC=90°$。
(3) 结论：$∠ AOD+∠ BOC=α+β$。
理由：设$∠ AOD=x$，则$∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD=α - x$，因此$∠ BOC=∠ BOD+∠ COD=α - x + β$。则$∠ AOD+∠ BOC = x + (α - x + β) = α + β$，得证。
【答案】
14. $30°$，$90°$
15. (1) $155°$；$∠ AOD+∠ BOC=180°$
(2) $65°$；$∠ AOD+∠ BOC=90°$
(3) $∠ AOD+∠ BOC=α+β$，理由见解析
【知识点】
余角与补角的定义，角的和差计算，二元一次方程组的应用
【点评】
题目从基础计算到规律探究，结合了方程思想和从特殊到一般的数学思想，既巩固了角的相关基础概念，也锻炼了逻辑推导和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.7
