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回顾与思考(四) 基本平面图形
——大单元知识结构图——
——大单元知识结构图——
答案
①一条 ②线段 ③60 ④60 ⑤$\frac{1}{60}$
解析
【分析】
本题考查基本平面图形的基础知识点，可根据对应概念和规则逐一填空：
1. 定位空①：属于直线的基本事实，回忆直线公理即可得出结果；
2. 定位空②：属于线段的基本性质，回忆线段的公理即可得出结果；
3. 定位空③④⑤：属于角度单位换算，度、分、秒是60进制单位，大单位转小单位乘进率60，小单位转大单位除以进率60，据此计算即可。
【解析】
①根据直线的基本事实：两点确定一条直线，因此此处填“一条”；
②根据线段的基本性质：两点之间线段最短，因此此处填“线段”；
③度与分的换算进率为60，即$1°=60'$，因此此处填60；
④分与秒的换算进率为60，即$1'=60''$，因此此处填60；
⑤分换算为度是小单位转大单位，除以进率60，即$1'=(\frac{1}{60})°$，因此此处填$\frac{1}{60}$。
【答案】
①一条 ②线段 ③60 ④60 ⑤$\frac{1}{60}$
【知识点】
直线的基本事实，线段的基本性质，度分秒单位换算
【点评】
本题属于基础概念考查题，所涉及的公理和单位换算规则是几何学习的基础内容，需要准确记忆、熟练运用，为后续复杂几何问题的学习打好基础。
【难度系数】
0.9
本题考查基本平面图形的基础知识点，可根据对应概念和规则逐一填空：
1. 定位空①：属于直线的基本事实，回忆直线公理即可得出结果；
2. 定位空②：属于线段的基本性质，回忆线段的公理即可得出结果；
3. 定位空③④⑤：属于角度单位换算，度、分、秒是60进制单位，大单位转小单位乘进率60，小单位转大单位除以进率60，据此计算即可。
【解析】
①根据直线的基本事实：两点确定一条直线，因此此处填“一条”；
②根据线段的基本性质：两点之间线段最短，因此此处填“线段”；
③度与分的换算进率为60，即$1°=60'$，因此此处填60；
④分与秒的换算进率为60，即$1'=60''$，因此此处填60；
⑤分换算为度是小单位转大单位，除以进率60，即$1'=(\frac{1}{60})°$，因此此处填$\frac{1}{60}$。
【答案】
①一条 ②线段 ③60 ④60 ⑤$\frac{1}{60}$
【知识点】
直线的基本事实，线段的基本性质，度分秒单位换算
【点评】
本题属于基础概念考查题，所涉及的公理和单位换算规则是几何学习的基础内容，需要准确记忆、熟练运用，为后续复杂几何问题的学习打好基础。
【难度系数】
0.9
A 考点针对练
考点1 线段、射线、直线
考点1 线段、射线、直线
答案
1.D
2.两点确定一条直线
3.(1)①图略. ②两点之间线段最短 (2)8
4.A
5.7 cm
6.6
7.12
8.解:(1)$\frac{1}{8}$ (2)$\frac{1}{2^n}$ (3)$AA_1+A_1A_2+A_2A_3+\dots+A_6A_7=AB-A_7B=1-\frac{1}{2^7}=\frac{127}{128}$.
9.B
10.B
11.A
12.$99°$
13.$137.5°$
14.解:(1)$\because$点A位于点O的北偏西$65°$方向上,点B位于点O的北偏东$25°$方向上,$\therefore ∠ AOB=65°+25°=90°$.
(2)小华家C在学校的南偏东$30°$方向上.
15.解:(1)$\because ∠ AOB$与$∠ COD$都是直角,$\therefore ∠ AOB=∠ COD=90°$.$\because ∠ BOC=113°$,$\therefore ∠ BOD=∠ BOC-∠ COD=113°-90°=23°$.$\therefore ∠ AOD=∠ AOB-∠ BOD=90°-23°=67°$.
(2)图略.
(3)$50°$
16.$45\quad \frac{π}{2}$
17.C
2.两点确定一条直线
3.(1)①图略. ②两点之间线段最短 (2)8
4.A
5.7 cm
6.6
7.12
8.解:(1)$\frac{1}{8}$ (2)$\frac{1}{2^n}$ (3)$AA_1+A_1A_2+A_2A_3+\dots+A_6A_7=AB-A_7B=1-\frac{1}{2^7}=\frac{127}{128}$.
9.B
10.B
11.A
12.$99°$
13.$137.5°$
14.解:(1)$\because$点A位于点O的北偏西$65°$方向上,点B位于点O的北偏东$25°$方向上,$\therefore ∠ AOB=65°+25°=90°$.
(2)小华家C在学校的南偏东$30°$方向上.
15.解:(1)$\because ∠ AOB$与$∠ COD$都是直角,$\therefore ∠ AOB=∠ COD=90°$.$\because ∠ BOC=113°$,$\therefore ∠ BOD=∠ BOC-∠ COD=113°-90°=23°$.$\therefore ∠ AOD=∠ AOB-∠ BOD=90°-23°=67°$.
(2)图略.
(3)$50°$
16.$45\quad \frac{π}{2}$
17.C
解析
【分析】
本题是线段中点结合规律探究的综合题，解题思路分三步：第一步先明确线段中点的定义，中点将线段分为长度相等的两段，每段是原线段的$\frac{1}{2}$；第二步推导每次取中点后所得线段长度的变化规律，得到$A_nB$的通用表达式；第三步处理线段和的计算，利用线段和差的性质，将多个小线段的和转化为$AB$与$A_7B$的差，简化计算避免逐项求和。
【解析】
(1) 已知$AB=1$，$A_1$是$AB$的中点，根据中点定义得：$A_1B = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}$；
$A_2$是$A_1B$的中点，因此$A_2B = \frac{1}{2}A_1B = \frac{1}{2}×\frac{1}{2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$；
$A_3$是$A_2B$的中点，因此$A_3B = \frac{1}{2}A_2B = \frac{1}{2}×\frac{1}{4} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$。
(2) 由上述计算规律可得，第$n$次取点后，$A_nB$的长度是前一次对应线段长度的$\frac{1}{2}$，因此$A_nB = \frac{1}{2^n}$。
(3) 观察线段和的结构：$AA_1 + A_1A_2 + A_2A_3 + … + A_6A_7$，根据线段和的定义，这些小线段首尾相接拼接后对应的总长度为$AB - A_7B$；
当$n=7$时，$A_7B = \frac{1}{2^7} = \frac{1}{128}$，代入得：
$AA_1 + A_1A_2 + … + A_6A_7 = 1 - \frac{1}{128} = \frac{127}{128}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{8}$ (2)$\frac{1}{2^n}$ (3)$\frac{127}{128}$
【知识点】
线段中点定义,规律探究,线段和差计算
【点评】
本题将线段基本性质和规律探究结合考查，解题的核心是找准每次取中点后线段长度的变化规律，同时灵活运用线段和差的转化技巧，避免繁琐的逐项计算，是基础规律题的典型考法。
【难度系数】
0.65
本题是线段中点结合规律探究的综合题，解题思路分三步：第一步先明确线段中点的定义，中点将线段分为长度相等的两段，每段是原线段的$\frac{1}{2}$；第二步推导每次取中点后所得线段长度的变化规律，得到$A_nB$的通用表达式；第三步处理线段和的计算，利用线段和差的性质，将多个小线段的和转化为$AB$与$A_7B$的差，简化计算避免逐项求和。
【解析】
(1) 已知$AB=1$，$A_1$是$AB$的中点，根据中点定义得：$A_1B = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}$；
$A_2$是$A_1B$的中点，因此$A_2B = \frac{1}{2}A_1B = \frac{1}{2}×\frac{1}{2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$；
$A_3$是$A_2B$的中点，因此$A_3B = \frac{1}{2}A_2B = \frac{1}{2}×\frac{1}{4} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$。
(2) 由上述计算规律可得，第$n$次取点后，$A_nB$的长度是前一次对应线段长度的$\frac{1}{2}$，因此$A_nB = \frac{1}{2^n}$。
(3) 观察线段和的结构：$AA_1 + A_1A_2 + A_2A_3 + … + A_6A_7$，根据线段和的定义，这些小线段首尾相接拼接后对应的总长度为$AB - A_7B$；
当$n=7$时，$A_7B = \frac{1}{2^7} = \frac{1}{128}$，代入得：
$AA_1 + A_1A_2 + … + A_6A_7 = 1 - \frac{1}{128} = \frac{127}{128}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{8}$ (2)$\frac{1}{2^n}$ (3)$\frac{127}{128}$
【知识点】
线段中点定义,规律探究,线段和差计算
【点评】
本题将线段基本性质和规律探究结合考查，解题的核心是找准每次取中点后线段长度的变化规律，同时灵活运用线段和差的转化技巧，避免繁琐的逐项计算，是基础规律题的典型考法。
【难度系数】
0.65
1. 下列语言描述中，与如图所示的几何图形相符的是（）
A.如图1，延长线段AB到点C
B.如图2，点B在射线CA上
C.如图3，直线AB的延长线与直线CD的延长线相交于点P
D.如图4，射线CD和线段AB没有交点
A.如图1，延长线段AB到点C
B.如图2，点B在射线CA上
C.如图3，直线AB的延长线与直线CD的延长线相交于点P
D.如图4，射线CD和线段AB没有交点
答案
D
解析
【分析】
解题时需先明确线段、射线、直线的基本特性：线段有两个端点，可向两个方向延长；射线有一个端点，仅向无端点的一侧无限延伸；直线无端点，向两侧无限延伸，不存在“延长线”的说法。接下来逐一将每个选项的描述和对应图形匹配，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：图1中点C在线段AB的反向延长线上，若要得到点C，应描述为“延长线段BA到点C”，“延长线段AB到点C”的描述与图1不符，A错误。
选项B：射线CA的端点为C，向A所在的方向无限延伸，图2中点B在点C的另一侧，不在射线CA上，描述与图2不符，B错误。
选项C：直线本身向两端无限延伸，不存在“延长线”的说法，描述不符合直线的特性，C错误。
选项D：射线CD以C为端点，仅向D所在的方向无限延伸，线段AB是两端固定的水平线段，二者不存在交点，描述与图4相符，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 线段射线直线的概念
2. 射线的方向性
3. 直线的延伸性
【点评】
本题是几何入门的基础题，重点考查对线段、射线、直线基础概念的辨析，尤其要注意射线的方向、直线不可延长这两个易错点，解题时结合图形对照概念判断即可。
【难度系数】
0.7
解题时需先明确线段、射线、直线的基本特性：线段有两个端点，可向两个方向延长；射线有一个端点，仅向无端点的一侧无限延伸；直线无端点，向两侧无限延伸，不存在“延长线”的说法。接下来逐一将每个选项的描述和对应图形匹配，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：图1中点C在线段AB的反向延长线上，若要得到点C，应描述为“延长线段BA到点C”，“延长线段AB到点C”的描述与图1不符，A错误。
选项B：射线CA的端点为C，向A所在的方向无限延伸，图2中点B在点C的另一侧，不在射线CA上，描述与图2不符，B错误。
选项C：直线本身向两端无限延伸，不存在“延长线”的说法，描述不符合直线的特性，C错误。
选项D：射线CD以C为端点，仅向D所在的方向无限延伸，线段AB是两端固定的水平线段，二者不存在交点，描述与图4相符，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 线段射线直线的概念
2. 射线的方向性
3. 直线的延伸性
【点评】
本题是几何入门的基础题，重点考查对线段、射线、直线基础概念的辨析，尤其要注意射线的方向、直线不可延长这两个易错点，解题时结合图形对照概念判断即可。
【难度系数】
0.7
2. 下列三种实践方式:木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等,反映了直线的一个基本事实是 .
答案
解：两点确定一条直线
解析
【分析】
解题时先观察三个生活实例的共同操作特点：木匠弹墨线需要固定两个端点才能得到直的墨线，打靶瞄准需要对齐准星和靶心两个点才能命中，拉绳插秧需要固定绳子两端的两个点拉直得到直线，三者都通过两个点确定了唯一的一条直线，对应直线的基本事实即可得出结论。
【解析】
我们分别分析三个实践的原理：
1. 木匠弹墨线：在木料两端确定两个点，经过这两点绷紧的墨线是唯一的直线，说明经过两点有且只有一条直线；
2. 打靶瞄准：瞄准时让准星、靶心两个点处于同一条视线上即可命中，利用了两点确定一条直线的规律；
3. 拉绳插秧：在田地两端固定两个点，拉直绳子得到唯一的直线，沿绳子插秧就能保证秧苗整齐成排，同样应用该规律。
综上，三个实践反映的直线基本事实为两点确定一条直线。
【答案】
两点确定一条直线
【知识点】
两点确定一条直线
【点评】
本题结合生活常见的实践场景考查直线的基本性质，体现了数学与生活的紧密联系，需要学生善于从生活现象中提炼数学规律，加深对基础概念的理解。
【难度系数】
0.9
解题时先观察三个生活实例的共同操作特点：木匠弹墨线需要固定两个端点才能得到直的墨线，打靶瞄准需要对齐准星和靶心两个点才能命中，拉绳插秧需要固定绳子两端的两个点拉直得到直线，三者都通过两个点确定了唯一的一条直线，对应直线的基本事实即可得出结论。
【解析】
我们分别分析三个实践的原理：
1. 木匠弹墨线：在木料两端确定两个点，经过这两点绷紧的墨线是唯一的直线，说明经过两点有且只有一条直线；
2. 打靶瞄准：瞄准时让准星、靶心两个点处于同一条视线上即可命中，利用了两点确定一条直线的规律；
3. 拉绳插秧：在田地两端固定两个点，拉直绳子得到唯一的直线，沿绳子插秧就能保证秧苗整齐成排，同样应用该规律。
综上，三个实践反映的直线基本事实为两点确定一条直线。
【答案】
两点确定一条直线
【知识点】
两点确定一条直线
【点评】
本题结合生活常见的实践场景考查直线的基本性质，体现了数学与生活的紧密联系，需要学生善于从生活现象中提炼数学规律，加深对基础概念的理解。
【难度系数】
0.9
3. 根据条件画出图形，并解答问题：
(1)如图，已知四个点A,B,C,D.
①连接BC，画射线AD.
②画出一点P，使点P到A,B,C,D四点的距离之和最小，理由是
.
(2)在(1)的条件下填空：图中共有条线段.
(1)如图，已知四个点A,B,C,D.
①连接BC，画射线AD.
②画出一点P，使点P到A,B,C,D四点的距离之和最小，理由是
.
(2)在(1)的条件下填空：图中共有条线段.
答案
解：
(1) ① 用直尺连接点B、C得到线段BC，以A为端点，经过点D向D所在一侧延伸，画出射线AD。
② 连接AC、BD，两条线段的交点即为所求的点P。
理由是：两点之间，线段最短。
(2) 8
(1) ① 用直尺连接点B、C得到线段BC，以A为端点，经过点D向D所在一侧延伸，画出射线AD。
② 连接AC、BD，两条线段的交点即为所求的点P。
理由是：两点之间，线段最短。
(2) 8
解析
【分析】
(1)①根据线段、射线的定义作图：线段有两个端点，直接连接B、C两点即可得到线段BC；射线有1个端点，因此射线AD需以A为端点，向经过D的方向无限延伸绘制即可。
②要使点P到A、B、C、D四点的距离之和最小，可将距离和拆分为(PA+PC)+(PB+PD)两部分：根据两点之间线段最短，当P在线段AC上时，PA+PC的和最小，等于AC的长度；当P在线段BD上时，PB+PD的和最小，等于BD的长度。因此同时满足两个条件的点就是AC与BD的交点，此时总距离和最小。
(2)数线段时按照分类有序的原则计数：先分别数出相交线段AC、BD上的线段，再加上单独的线段BC、AD，汇总即可得到总线段数。
【解析】
(1)①作图：用直尺连接B、C两点得到线段BC；以A为端点，过点D向D所在方向延伸，画出射线AD。
②作图：连接AC、BD，两条线段的交点即为所求点P。
理由：两点之间，线段最短。
(2)按顺序数线段：
线段AC上有AP、PC、AC，共3条；
线段BD上有BP、PD、BD，共3条；
还有单独的线段BC、AD，共2条；
总线段数为$3+3+2=8$条。
【答案】
(1)①作图见解析；②两点之间，线段最短；(2)$8$
【知识点】
1. 线段与射线的定义
2. 两点之间线段最短
3. 线段计数
【点评】
本题属于几何基础题，既考查了基本几何图形的作图能力，也考查了线段性质的实际应用，计数线段时注意有序分类，避免漏数、多数。
【难度系数】
0.7
(1)①根据线段、射线的定义作图：线段有两个端点，直接连接B、C两点即可得到线段BC；射线有1个端点，因此射线AD需以A为端点，向经过D的方向无限延伸绘制即可。
②要使点P到A、B、C、D四点的距离之和最小，可将距离和拆分为(PA+PC)+(PB+PD)两部分：根据两点之间线段最短，当P在线段AC上时，PA+PC的和最小，等于AC的长度；当P在线段BD上时，PB+PD的和最小，等于BD的长度。因此同时满足两个条件的点就是AC与BD的交点，此时总距离和最小。
(2)数线段时按照分类有序的原则计数：先分别数出相交线段AC、BD上的线段，再加上单独的线段BC、AD，汇总即可得到总线段数。
【解析】
(1)①作图：用直尺连接B、C两点得到线段BC；以A为端点，过点D向D所在方向延伸，画出射线AD。
②作图：连接AC、BD，两条线段的交点即为所求点P。
理由：两点之间，线段最短。
(2)按顺序数线段：
线段AC上有AP、PC、AC，共3条；
线段BD上有BP、PD、BD，共3条；
还有单独的线段BC、AD，共2条；
总线段数为$3+3+2=8$条。
【答案】
(1)①作图见解析；②两点之间，线段最短；(2)$8$
【知识点】
1. 线段与射线的定义
2. 两点之间线段最短
3. 线段计数
【点评】
本题属于几何基础题，既考查了基本几何图形的作图能力，也考查了线段性质的实际应用，计数线段时注意有序分类，避免漏数、多数。
【难度系数】
0.7
4.如图,点B,C在线段AD上,$AC=BD$,$BC=3AB$.如果$CD=\frac{1}{5}$,那么线段BC的长为（）
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{5}{4}$
D.1
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{5}{4}$
D.1
答案
A
解析
【分析】
首先观察线段的组成，AC由AB和BC组成，BD由BC和CD组成，已知AC=BD，我们可以通过拆分两条线段，消去公共部分BC，得到AB与CD的等量关系；再结合已知CD的长度求出AB的长度，最后根据BC与AB的倍数关系即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵ 线段$AC = AB + BC$，线段$BD = BC + CD$，且已知$AC=BD$
∴ $AB + BC = BC + CD$
等式两边同时减去$BC$，可得：$AB = CD$
∵ $CD = \frac{1}{5}$
∴ $AB = \frac{1}{5}$
又
∵ $BC = 3AB$
∴ $BC = 3 × \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$
【答案】
A
【知识点】
线段的和差运算；等量代换
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题的核心是利用相等线段推导出未知线段间的等量关系，理清各线段的和差、倍数关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先观察线段的组成，AC由AB和BC组成，BD由BC和CD组成，已知AC=BD，我们可以通过拆分两条线段，消去公共部分BC，得到AB与CD的等量关系；再结合已知CD的长度求出AB的长度，最后根据BC与AB的倍数关系即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵ 线段$AC = AB + BC$，线段$BD = BC + CD$，且已知$AC=BD$
∴ $AB + BC = BC + CD$
等式两边同时减去$BC$，可得：$AB = CD$
∵ $CD = \frac{1}{5}$
∴ $AB = \frac{1}{5}$
又
∵ $BC = 3AB$
∴ $BC = 3 × \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$
【答案】
A
【知识点】
线段的和差运算；等量代换
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题的核心是利用相等线段推导出未知线段间的等量关系，理清各线段的和差、倍数关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5.在直线$l$上顺次取$A$，$B$，$C$三点，使得$AB=8\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$.如果$O$是线段$AC$的中点，那么线段$AO$的长为.
答案
$\boldsymbol{7\ \mathrm{cm}}$
解析
【分析】
解题时首先根据“顺次取A、B、C三点”的条件，可知线段AC的长度等于AB与BC的长度之和，先求出AC的总长度；再根据线段中点的性质：中点将线段分成两条长度相等的线段，可知AO的长度为AC长度的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 点A、B、C是直线l上顺次排列的三点
∴ $AC = AB + BC$
又
∵ $AB=8\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$
∴ $AC = 8 + 6 = 14\ \mathrm{cm}$
∵ O是线段AC的中点
∴ $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×14 = 7\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\boldsymbol{7\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的性质
【点评】
本题属于基础类题型，解题的核心是明确顺次共线三点的线段和关系，熟练掌握线段中点的性质即可快速求解，计算时注意数值代入准确即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先根据“顺次取A、B、C三点”的条件，可知线段AC的长度等于AB与BC的长度之和，先求出AC的总长度；再根据线段中点的性质：中点将线段分成两条长度相等的线段，可知AO的长度为AC长度的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 点A、B、C是直线l上顺次排列的三点
∴ $AC = AB + BC$
又
∵ $AB=8\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$
∴ $AC = 8 + 6 = 14\ \mathrm{cm}$
∵ O是线段AC的中点
∴ $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×14 = 7\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\boldsymbol{7\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的性质
【点评】
本题属于基础类题型，解题的核心是明确顺次共线三点的线段和关系，熟练掌握线段中点的性质即可快速求解，计算时注意数值代入准确即可。
【难度系数】
0.9
